2023-2024学年甘肃省平凉十中九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年甘肃省平凉十中九年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+2y＝0B．ax2+bx+c＝0
C．2x2﹣x＝0D．+5x﹣1＝0
2．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
3．二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+4）2＝5D．（x﹣4）2＝5
5．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
6．若a为关于x的一元二次方程x2+x﹣5＝0的一个根，则a2+a+1的值为（ ）
A．12B．10C．9D．6
7．若a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个根，那么a2+b2＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
A．1B．1.5C．2D．2.5
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形DEFG的边长为2，CA与GF在同一直线上，△ABC的顶点A从点G出发，沿GF方向平移．设GA的长度为x，△ABC在平移过程中与正方形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程2x2﹣5＝3x，化成一元二次方程的一般形式是 ．
12．（4分）若函数y＝（m﹣1）xm2+1+3x的图象是抛物线，则m值为 ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a＝ ．
14．（4分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 ．
15．（4分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 ．
16．（4分）抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交点A1、A2的坐标记为x1、x2，将x1≤x≤x2部分的抛物线记为C1；将抛物线C1绕点A2旋转180°得C2，交x轴于点A3；将C2绕点A3旋转180°得C3，交x轴于点A4，……，如此进行下去，若P（2018，m）在其中某段抛物线上，则m＝ ．
三、解答题（共6小题，共44分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程．
（1）2（x+1）2＝8；
（2）2x2+3x＝2．
18．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1．
（1）完成如表，并根据列表，在所给的平面直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣1的图象；
（2）当x在什么范围内时，y随x增大而减小．
20．（8分）已知关于x的方程x2+9x+25+m＝0．
（1）若此方程有实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解．
21．（8分）抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）求抛物线与y轴的交点坐标．
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
四、解答题（共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．为进一步发展基础教育，自2019年以来，某县加大了教育经费的投入，2019年该县投入教育经费6000万元．2021年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该县投入教育经费多少万元．
24．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由．
25．如图，学校要用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，矩形的边AD为围墙的一部分，已知墙长为26m．要想使花圃的面积最大，求AD边的长及花圃的最大面积．
26．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
27．（12分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求二次函数解析式；
（2）求出顶点坐标和点D的坐标；
（3）二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使△BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年甘肃省平凉十中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+2y＝0B．ax2+bx+c＝0
C．2x2﹣x＝0D．+5x﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、是二元二次方程，故A错误，不符合题意；
B、a＝0时，是一元一次方程，故B错误，不符合题意；
C、是一元二次方程，故C正确，符合题意；
D、是分式方程，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
【分析】把a＝2，b＝﹣3，c＝1代入判别式Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．掌握当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题关键．
3．二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据顶点式的意义直接解答即可．
解：二次函数y＝（x﹣2）2+1的图象的顶点坐标是（2，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x+4）2＝5D．（x﹣4）2＝5
【分析】移项，配方，即可得出选项．
解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是关键．
5．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
6．若a为关于x的一元二次方程x2+x﹣5＝0的一个根，则a2+a+1的值为（ ）
A．12B．10C．9D．6
【分析】根据题意可得：把x＝a代入方程x2+x﹣5＝0中得：a2+a﹣5＝0，从而可得：a2+a＝5，然后代入式子中进行计算即可解答．
解：由题意得：把x＝a代入方程x2+x﹣5＝0中得：a2+a﹣5＝0，
解得：a2+a＝5，
∴a2+a+1＝5+1＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．若a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个根，那么a2+b2＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】首先根据根与系数得到a+b＝﹣1，ab＝﹣3，再把a2+b2转化为（a+b）2﹣2ab，最后整体代值计算．
解：∵a，b是方程x2+x﹣3＝0的两个根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）＝7，
故选：D．
【点评】此题考查根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝
8．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．
9．如图，在长为32m，宽为20m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则道路的宽（ ）m．
A．1B．1.5C．2D．2.5
【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．
解：原图经过平移转化为图1．
设道路宽为x m，
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
整理得x2﹣52x+100＝0．
解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．
则道路宽为2m，
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．
10．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形DEFG的边长为2，CA与GF在同一直线上，△ABC的顶点A从点G出发，沿GF方向平移．设GA的长度为x，△ABC在平移过程中与正方形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】按照x的取值范围分为当0≤x＜2时，当2＜x≤4时，分段根据重合部分的图形求面积，得出y是x的二次函数，即可得出结论．
解：当0≤x≤2时，重合部分是边长为x的等腰直角三角形，
面积为：y＝x2，图象是一个开口向上的抛物线的一部分；
当2＜x≤4时，重合部分是直角梯形，
面积为：y＝2﹣（x﹣2）2，图象是一个开口向下的抛物线的一部分．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、正方形及等腰直角三角形的性质．关键是根据图形的特点，分段求函数关系式．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程2x2﹣5＝3x，化成一元二次方程的一般形式是 2x2﹣3x﹣5＝0 ．
【分析】通过移项，得到一元二次方程的一般形式．
解：方程2x2﹣5＝3x，化成一元二次方程的一般形式是2x2﹣3x﹣5＝0．
故答案为：2x2﹣3x﹣5＝0．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
12．（4分）若函数y＝（m﹣1）xm2+1+3x的图象是抛物线，则m值为 ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的定义得到m﹣1≠0且m2+1＝2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
解：∵函数y＝（m﹣1）xm2+1+3x的图象是抛物线，
∴m﹣1≠0且m2+1＝2，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的定义：函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）叫二次函数，其图象为抛物线．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a＝ 2 ．
【分析】首先根据根与方程的关系，将x＝0代入方程求得a的值；又由一元二次方程的二次项系数不能为0，最终确定a的值．
解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，
∴a2﹣4＝0，
∴a＝±2，
∵a+2≠0，
即a≠﹣2，
∴a＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了根与方程的关系．解题时要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．
14．（4分）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 14 ．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
15．（4分）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 y3＞y1＞y2 ．
【分析】分别计算出自变量为4，和﹣2时的函数值，然后比较函数值得大小即可．
解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得：
y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，
∵5﹣4＜3＜15，
所以y3＞y1＞y2．
故答案为y3＞y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
16．（4分）抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交点A1、A2的坐标记为x1、x2，将x1≤x≤x2部分的抛物线记为C1；将抛物线C1绕点A2旋转180°得C2，交x轴于点A3；将C2绕点A3旋转180°得C3，交x轴于点A4，……，如此进行下去，若P（2018，m）在其中某段抛物线上，则m＝ ﹣2 ．
【分析】解方程x2﹣5x+4＝0得A1（1，0），A2（4，0），则A1A2＝3，再利用中心对称的性质得到A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝3，由于2018﹣1＝2017，2017＝3×672+1，可判断P（2018，m）在C673上，利用交点式表示出抛物线C673的解析式为y＝（x﹣2017）（x﹣2020），然后把x＝2018代入计算即可得到m的值．
解：解方程x2﹣5x+4＝0得x1＝1，x2＝4，则A1（1，0），A2（4，0），
∴A1A2＝3，
∵将抛物线C1绕点A2旋转180°得C2，交x轴于点A3；将C2绕点A3旋转180°得C3，交x轴于点A4，……，如此进行下去，
∴A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝3，
∵2018﹣1＝2017，
2017＝3×672+1，
∴P（2018，m）在C673上
抛物线C673的解析式为y＝（x﹣2017）（x﹣2020），
当x＝2018时，y＝（x﹣2017）（x﹣2020）＝2．
即m＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
三、解答题（共6小题，共44分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程．
（1）2（x+1）2＝8；
（2）2x2+3x＝2．
【分析】（1）先把方程变形为（x+1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法解方程即可．
解：（1）2（x+1）2＝8，
（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
所以x1＝1，x2＝﹣3；
（2）2x2+3x＝2，
2x2+3x﹣2＝0，
（2x﹣1）（x+2）＝0，
2x﹣1＝0或x+2＝0，
所以x1＝，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
18．（6分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集．
【分析】（1）观察图形可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），即可解题；
（2）根据抛物线y＝ax2+bx+c，求得y＞0的x取值范围即可解题．
解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；
（2）不等式ax2+bx+c＞0时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y的值＞0，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1．
（1）完成如表，并根据列表，在所给的平面直角坐标系中画出y＝x2﹣2x﹣1的图象；
（2）当x在什么范围内时，y随x增大而减小．
【分析】（1）代入计算即可，根据所求各点，描点，连线，作图即可．
（2）结合图象及性质即可解答．
解：（1）当x＝1时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝2，
故答案为：﹣2，﹣1，2．
所作图象如图所示：
（2）由图得，对称轴为x＝1，∵a＝1＞0，∴当x＜1时，y随x增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数的性质，准确作图并掌握二次函数的性质是解题关键．
20．（8分）已知关于x的方程x2+9x+25+m＝0．
（1）若此方程有实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下m取满足条件的最大整数时，求此时方程的解．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）找出m的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解该方程即可得出结论．
解：（1）∵关于x的方程x2+9x+25+m＝0有实数根，
∴Δ＝92﹣4×1×（25+m）＝﹣19﹣4m≥0，
解得：m≤﹣，
∴m的取值范围为m≤﹣．
（2）由（1）得m＝﹣5，
∴原方程为x2+9x+20＝0，即（x+4）（x+5）＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝﹣5，
∴当m＝﹣5时，方程的解为﹣4和﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）代入m的值，利用因式分解法解方程．
21．（8分）抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）求抛物线与y轴的交点坐标．
【分析】（1）由抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），得出h＝﹣2，抛物线y＝a（x+h）2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反，得出a＝﹣3，从而确定该抛物线的函数表达式；
（2）根据图象上点的坐标特征求得即可．
解：（1）∵抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），
∴﹣h＝2，
∴h＝﹣2，
抛物线y＝a（x+h）2的形状与y＝3x2的相同，开口方向相反
∴a＝﹣3，
则该抛物线的函数表达式是y＝﹣3（x﹣2）2．
（2）在函数y＝﹣3（x﹣2）2中，令x＝0，则y＝﹣12，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣12）．
【点评】主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．要求掌握二次函数图象的性质，并会利用性质得出系数之间的数量关系进行解题．
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据方程解的定义把x＝﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，整理得a﹣b＝0，即a＝b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，整理得a2＝b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x＝﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）＝0，
∴a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴4b2﹣4a2+4c2＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
四、解答题（共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23．为进一步发展基础教育，自2019年以来，某县加大了教育经费的投入，2019年该县投入教育经费6000万元．2021年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该县投入教育经费多少万元．
【分析】（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，利用2021年该县投入教育经费金额＝2019年该县投入教育经费金额×（1+这两年该县投入教育经费的年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用2022年该县投入教育经费金额＝2021年该县投入教育经费金额×（1+这两年该县投入教育经费的年平均增长率），即可求出结论．
解：（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：6000（1+x）2＝8640，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）8640×（1+20%）＝10368（万元）．
答：预算2022年该县投入教育经费10368万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由．
【分析】（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2＝BM2，可判定△ABM为直角三角形．
解：（1）∵A点为直线y＝x+1与x轴的交点，
∴A（﹣1，0），
又B点横坐标为2，代入y＝x+1可求得y＝3，
∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y＝ax2+c，
把A、B两点坐标代入可得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣1；
（2）△ABM为直角三角形．理由如下：
由（1）知抛物线解析式为y＝x2﹣1，可知M点坐标为（0，﹣1），
∴AM2＝12+12＝2，AB2＝（2+1）2+32＝18，BM2＝22+（3+1）2＝20，
∴AM2+AB2＝2+18＝20＝BM2，
∴△ABM为直角三角形．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理及其逆定理等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中．
25．如图，学校要用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD，矩形的边AD为围墙的一部分，已知墙长为26m．要想使花圃的面积最大，求AD边的长及花圃的最大面积．
【分析】设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，可以得到y与x的函数关系式，在x的取值范围内求出函数的最大值即可．
解：设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC＝（36﹣2x）米，
∴y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，
∵36﹣2x＞0且36﹣2x≤26，
∴5≤x＜18，
∵﹣2＜0，故抛物线开口向下，
∴当x＝9时，y有最大值是162，此时AD＝BC＝18（米），
答：AD边的长为18米时，有最大面积，且最大面积为162平方米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【分析】（1）利用每件的利润乘以每月的销售量，可得w关于x的二次函数，由每件的利润不高于成本价的60%及进价为每件20元可得自变量x的取值范围．
（2）先确定二次函数的对称轴，再根据开口方向及函数的增减变化可得出答案．
解：（1）由题意得：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000．
∵每件的利润不高于成本价的60%．
∴20≤x≤20（1+60%），
∴20≤x≤32，
∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）．
（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32），
∴对称轴为直线x＝﹣＝35，
又∵a＝﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，
∴当x＝32时，w有最大值，最大值为﹣10×322+700×32﹣10000＝2160（元）．
∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
27．（12分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D．
（1）求二次函数解析式；
（2）求出顶点坐标和点D的坐标；
（3）二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使△BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标A（﹣3，0）和B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将点C（0，3）代入求得a的值，即可得到答案；
（2）由y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，得到点D的坐标；
（3）要使△BCM的周长最小，只需MB+MC最小即可，点A和B关于直线x＝﹣1对称，连接AC交直线x＝﹣1于点M，求出直线AC的解析式，求得交点M的坐标即可；
解：（1）由抛物线与x轴的交点坐标A（﹣3，0）和B（1，0），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
将点C（0，3）代入，得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴点C（0，3）关于对称轴的对称点D的坐标为（﹣2，3）；
（3）存在，要使△BCM的周长最小，只需MB+MC最小即可，
∵点A和B关于直线x＝﹣1对称，连接AC交直线x＝﹣1于点M，
∴MB＝MA，
则MB+MC＝MA+MC≥AC，
∴点M满足题意，
设直线AC的解析式为y＝kx+m，把点A（﹣3，0）和C（0，3）代入得，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设点M的坐标是M（﹣1，n），
则n＝﹣1+3＝2，
即点M（﹣1，2）为所求．
【点评】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
2
﹣1



…
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
2
﹣1
﹣2
﹣1
2
…