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人教版高中物理新教材同步讲义选修第二册 第2章 专题强化10 电磁感应中的能量和动量问题（含解析）
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电磁感应中的能量和动量问题[学习目标] 1.理解电磁感应现象中的能量转化，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题.2.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题．一、电磁感应中的能量问题1．电磁感应现象中的能量转化安培力做功eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(做正功：电能\o(――→,\s\up7(转化))机械能，如电动机,做负功：机械能\o(――→,\s\up7(转化))电能\o(――→,\s\up7(电流),\s\do5(做功)) 焦耳热或其他形式的能量，如发电机))2．焦耳热的计算(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.(2)感应电流变化，可用以下方法分析：①利用动能定理，求出克服安培力做的功W克安，即Q＝W克安．②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量．例1 (多选)如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，且上升的高度为h，重力加速度为g，在这一过程中( )A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热答案 AD解析 金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对金属棒做功，恒力F做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿导轨平面向下，做负功，匀速运动时，金属棒所受合力为零，故合力做功为零，A正确，B错误；克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于电阻R上产生的焦耳热，故恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，D正确；由WF－W安＝WG知，C错误．例2 如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接．右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、接入电路的电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g.则金属棒穿过磁场区域的过程中( )A．流过金属棒的最大电流为eq \f(Bd\r(2gh),2R)B．通过金属棒的电荷量为eq \f(BdL,R)C．克服安培力所做的功为mghD．金属棒产生的焦耳热为eq \f(1,2)mg(h－μd)答案 D解析 金属棒沿弯曲部分下滑过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgh＝eq \f(1,2)mv2，金属棒到达平直部分左端时的速度v＝eq \r(2gh)，金属棒到达平直部分后做减速运动，刚到达平直部分时的速度最大，则最大感应电动势E＝BLv，最大感应电流I＝eq \f(E,R＋R)＝eq \f(BL\r(2gh),2R)，故A错误；通过金属棒的电荷量q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(BdL,2R)，故B错误；金属棒在整个运动过程中，由动能定理有：mgh－W安－μmgd＝0－0，则克服安培力做功：W安＝mgh－μmgd，故C错误；金属棒克服安培力做的功转化为焦耳热，定值电阻与金属棒的电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热：Q′＝eq \f(1,2)Q＝eq \f(1,2)W安＝eq \f(1,2)mg(h－μd)，故D正确．针对训练1 (多选)如图所示，在光滑的水平地面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大．一个半径为a、质量为m、电阻为R的金属圆环垂直磁场方向，以速度v从图示位置(实线所示)开始运动，当圆环运动到直径刚好与边界线PQ重合时(虚线所示)，圆环的速度变为eq \f(v,2)，则下列说法正确的是( )A．此时圆环的电功率为eq \f(2B2a2v2,R)B．此时圆环的加速度大小为eq \f(8B2a2v,mR)C．此过程中通过圆环截面的电荷量为eq \f(πBa2,R)D．此过程中回路产生的电能为eq \f(3,4)mv2答案 BC解析 当圆环的直径与边界线重合时，圆环左右两半环均产生感应电动势，故圆环中的感应电动势E＝2B×2a×eq \f(v,2)＝2Bav，圆环的电功率P＝eq \f(E2,R)＝eq \f(4B2a2v2,R)，故A错误；此时圆环受到的安培力F＝2BI×2a＝2B×eq \f(2Bav,R)×2a＝eq \f(8B2a2v,R)，由牛顿第二定律可得，加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(8B2a2v,mR)，故B正确；圆环中的平均感应电动势eq \x\to(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)，则通过圆环截面的电荷量Q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R)Δt＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(Bπa2,R)，故C正确；此过程中回路产生的电能等于动能的减少量，即E＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)m(eq \f(v,2))2＝eq \f(3,8)mv2，故D错误．二、电磁感应中的动量问题考向1 动量定理在电磁感应中的应用导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝Beq \x\to(I)Lt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R总)Δt＝neq \f(ΔΦ,Δt·R总)·Δt＝neq \f(ΔΦ,R总)，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便．例3 (多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计．在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好．整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上．下列说法正确的是( )A．ab杆将做匀减速运动直到静止B．ab杆速度减为eq \f(v0,3)时，ab杆加速度大小为eq \f(B2L2v0,6mR)C．ab杆速度减为eq \f(v0,3)时，通过定值电阻的电荷量为eq \f(mv0,3BL)D．ab杆速度减为eq \f(v0,3)时，ab杆通过的位移为eq \f(4mRv0,3B2L2)答案 BD解析 ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为FA＝eq \f(B2L2v,2R)，加速度大小为：a＝eq \f(FA,m)＝eq \f(B2L2v,2mR)，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的变减速运动直到静止，故A错误；当ab杆的速度为eq \f(v0,3)时，安培力大小为：F＝eq \f(B2L2\f(v0,3),2R)，所以加速度大小为：a＝eq \f(F,m)＝eq \f(B2L2v0,6mR)，故B正确；对ab杆，由动量定理得：－Beq \x\to(I)L·Δt＝meq \f(v0,3)－mv0，即BLq＝eq \f(2,3)mv0，解得：q＝eq \f(2mv0,3BL)，所以通过定值电阻的电荷量为eq \f(2mv0,3BL)，故C错误；由q＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(B·Lx,2R)，解得ab杆通过的位移：x＝eq \f(2Rq,BL)＝eq \f(4mRv0,3B2L2)，故D正确．考向2 动量守恒定律在电磁感应中的应用在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．这类问题可以从以下三个观点来分析：(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动．(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒．(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和．例4 足够长的平行金属轨道M、N相距L＝0.5 m，且水平放置；M、N左端与半径R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量mb＝mc＝0.1 kg，接入电路的有效电阻Rb＝Rc＝1 Ω，轨道的电阻不计．平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图所示．若使b棒以初速度v0＝10 m/s开始向左运动，运动过程中b、c不相撞，g取10 m/s2，求：(1)c棒的最大速度大小；(2)c棒从开始到达到最大速度的过程中，此棒产生的焦耳热；(3)若c棒达到最大速度后沿半圆轨道上滑，金属棒c到达轨道最高点时对轨道的压力的大小为多少．答案 (1)5 m/s (2)1.25 J (3)1.25 N解析 (1)在安培力作用下，b棒做减速运动，c棒做加速运动，当两棒速度相等时，c棒达到最大速度．选两棒为研究对象，以v0的方向为正方向，根据动量守恒定律有mbv0＝(mb＋mc)v解得c棒的最大速度大小为：v＝eq \f(mb,mb＋mc)v0＝5 m/s.(2)从b棒开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动能转化为电能，两棒中产生的总焦耳热为：Q＝eq \f(1,2)mbv02－eq \f(1,2)(mb＋mc)v2＝2.5 J因为Rb＝Rc，所以c棒达到最大速度时此棒产生的焦耳热为Qc＝eq \f(Q,2)＝1.25 J.(3)设c棒沿半圆轨道滑到最高点时的速度为v′，从最低点上升到最高点的过程，由机械能守恒定律可得：eq \f(1,2)mcv2＝mcg·2R＋eq \f(1,2)mcv′2解得v′＝3 m/s.在最高点，设轨道对c棒的弹力为F，由牛顿第二定律得mcg＋F＝mceq \f(v′2,R)解得F＝1.25 N.由牛顿第三定律得，在最高点c棒对轨道的压力大小为1.25 N.针对训练2 (多选)如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨间距为L，电阻不计，导轨所处空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.导轨上放有质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b.开始时金属棒b静止，金属棒a获得向右的初速度v0，从金属棒a开始运动到最终两棒以相同的速度匀速运动的过程中，经过每个金属棒的电荷量为q，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是( )A．a做匀减速直线运动，b做匀加速直线运动B．最终两金属棒匀速运动的速度为eq \f(v0,2)C．两金属棒产生的焦耳热为eq \f(mv02,4)D．a和b距离的增加量为eq \f(qR,BL)答案 BC解析 金属棒a向右运动切割磁感线，根据右手定则可知在回路中产生逆时针方向的感应电流，根据左手定则可知，a棒受到向左的安培力，b棒受到向右的安培力，a棒在安培力作用下做减速运动，b棒在安培力作用下做加速运动，两棒的速度差减小，总电动势E＝Bl(va－vb)减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，即a做加速度减小的减速直线运动，b做加速度减小的加速直线运动，A错误；a、b两棒组成的系统所受合力为零，动量守恒，设最终达到的共同速度为v，由动量守恒定律，得mv0＝2mv，解得v＝eq \f(v0,2)，B正确；根据能量守恒定律，整个过程产生的焦耳热Q＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(2m)·v2＝eq \f(mv02,4)，C正确；根据电荷量的推论公式q＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(BLΔx,2R)，解得a和b距离的增加量Δx＝eq \f(2qR,BL)，D错误．1.(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中( )A．恒力F做的功等于电路产生的电能B．克服安培力做的功等于电路中产生的电能C．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和答案 BD解析 由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，即W克安＝W电，选项A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于ab棒获得的动能，即WF－Wf－W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和，选项C错误，D正确．2.两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的绝缘轻弹簧下端，金属棒和导轨垂直且接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，磁感应强度方向如图所示．金属棒和导轨的电阻不计．现将金属棒从轻弹簧原长位置由静止释放，则( )A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度gB．金属棒向下运动时，流过电阻的电流方向为a→bC．金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝eq \f(B2L2v,R)D．电阻上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量答案 AC解析 释放瞬间，金属棒只受重力作用，所以其加速度等于重力加速度，选项A正确；金属棒向下切割磁感线，由右手定则可知，流过电阻的电流方向为b→a，选项B错误；当金属棒的速度为v时，感应电流I＝eq \f(BLv,R)，则安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)，选项C正确；由能量守恒定律可知，最终稳定后，重力势能的减少量等于轻弹簧弹性势能的增加量与电阻上产生的总热量之和，选项D错误．3.(多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，在磁场中有一个边长为L的正方形刚性金属框，ab边的质量为m，电阻为R，其他三边的质量和电阻均不计．cd边上装有固定的水平轴，将金属框自水平位置由静止释放，第一次转到竖直位置时，ab边的速度为v，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是( )A．通过ab边的电流方向为a→bB．ab边经过最低点时的速度v＝eq \r(2gL)C．ab边经过最低点时的速度v＜eq \r(2gL)D．金属框中产生的焦耳热为mgL－eq \f(1,2)mv2答案 CD解析 ab边向下摆动过程中，金属框内磁通量逐渐减小，根据楞次定律及右手螺旋定则可知感应电流方向为b→a，选项A错误；ab边由水平位置到达最低点过程中，机械能一部分转化为焦耳热，故v＜eq \r(2gL)，选项B错误，C正确；根据能量守恒定律可知，金属框中产生的焦耳热应等于此过程中损失的机械能，即Q＝mgL－eq \f(1,2)mv2，选项D正确．4.如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场．现有一个边长为a(a
电磁感应中的能量和动量问题[学习目标] 1.理解电磁感应现象中的能量转化，会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题.2.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题．一、电磁感应中的能量问题1．电磁感应现象中的能量转化安培力做功eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(做正功：电能\o(――→,\s\up7(转化))机械能，如电动机,做负功：机械能\o(――→,\s\up7(转化))电能\o(――→,\s\up7(电流),\s\do5(做功)) 焦耳热或其他形式的能量，如发电机))2．焦耳热的计算(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt.(2)感应电流变化，可用以下方法分析：①利用动能定理，求出克服安培力做的功W克安，即Q＝W克安．②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量．例1 (多选)如图所示，两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计．斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．质量为m、电阻可以忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，且上升的高度为h，重力加速度为g，在这一过程中( )A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上产生的焦耳热之和C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热答案 AD解析 金属棒匀速上滑的过程中，对金属棒受力分析可知，有三个力对金属棒做功，恒力F做正功，重力做负功，安培力阻碍相对运动，沿导轨平面向下，做负功，匀速运动时，金属棒所受合力为零，故合力做功为零，A正确，B错误；克服安培力做多少功就有多少其他形式的能转化为电路中的电能，电能又等于电阻R上产生的焦耳热，故恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上产生的焦耳热，D正确；由WF－W安＝WG知，C错误．例2 如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，二者平滑连接．右端接一个阻值为R的定值电阻．平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场．质量为m、接入电路的电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止．已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g.则金属棒穿过磁场区域的过程中( )A．流过金属棒的最大电流为eq \f(Bd\r(2gh),2R)B．通过金属棒的电荷量为eq \f(BdL,R)C．克服安培力所做的功为mghD．金属棒产生的焦耳热为eq \f(1,2)mg(h－μd)答案 D解析 金属棒沿弯曲部分下滑过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgh＝eq \f(1,2)mv2，金属棒到达平直部分左端时的速度v＝eq \r(2gh)，金属棒到达平直部分后做减速运动，刚到达平直部分时的速度最大，则最大感应电动势E＝BLv，最大感应电流I＝eq \f(E,R＋R)＝eq \f(BL\r(2gh),2R)，故A错误；通过金属棒的电荷量q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(BdL,2R)，故B错误；金属棒在整个运动过程中，由动能定理有：mgh－W安－μmgd＝0－0，则克服安培力做功：W安＝mgh－μmgd，故C错误；金属棒克服安培力做的功转化为焦耳热，定值电阻与金属棒的电阻相等，通过它们的电流相等，则金属棒产生的焦耳热：Q′＝eq \f(1,2)Q＝eq \f(1,2)W安＝eq \f(1,2)mg(h－μd)，故D正确．针对训练1 (多选)如图所示，在光滑的水平地面上方，有两个磁感应强度大小均为B、方向相反的水平匀强磁场，PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大．一个半径为a、质量为m、电阻为R的金属圆环垂直磁场方向，以速度v从图示位置(实线所示)开始运动，当圆环运动到直径刚好与边界线PQ重合时(虚线所示)，圆环的速度变为eq \f(v,2)，则下列说法正确的是( )A．此时圆环的电功率为eq \f(2B2a2v2,R)B．此时圆环的加速度大小为eq \f(8B2a2v,mR)C．此过程中通过圆环截面的电荷量为eq \f(πBa2,R)D．此过程中回路产生的电能为eq \f(3,4)mv2答案 BC解析 当圆环的直径与边界线重合时，圆环左右两半环均产生感应电动势，故圆环中的感应电动势E＝2B×2a×eq \f(v,2)＝2Bav，圆环的电功率P＝eq \f(E2,R)＝eq \f(4B2a2v2,R)，故A错误；此时圆环受到的安培力F＝2BI×2a＝2B×eq \f(2Bav,R)×2a＝eq \f(8B2a2v,R)，由牛顿第二定律可得，加速度a＝eq \f(F,m)＝eq \f(8B2a2v,mR)，故B正确；圆环中的平均感应电动势eq \x\to(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)，则通过圆环截面的电荷量Q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R)Δt＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(Bπa2,R)，故C正确；此过程中回路产生的电能等于动能的减少量，即E＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)m(eq \f(v,2))2＝eq \f(3,8)mv2，故D错误．二、电磁感应中的动量问题考向1 动量定理在电磁感应中的应用导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝Beq \x\to(I)Lt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R总)Δt＝neq \f(ΔΦ,Δt·R总)·Δt＝neq \f(ΔΦ,R总)，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便．例3 (多选)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计．在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好．整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上．下列说法正确的是( )A．ab杆将做匀减速运动直到静止B．ab杆速度减为eq \f(v0,3)时，ab杆加速度大小为eq \f(B2L2v0,6mR)C．ab杆速度减为eq \f(v0,3)时，通过定值电阻的电荷量为eq \f(mv0,3BL)D．ab杆速度减为eq \f(v0,3)时，ab杆通过的位移为eq \f(4mRv0,3B2L2)答案 BD解析 ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为FA＝eq \f(B2L2v,2R)，加速度大小为：a＝eq \f(FA,m)＝eq \f(B2L2v,2mR)，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的变减速运动直到静止，故A错误；当ab杆的速度为eq \f(v0,3)时，安培力大小为：F＝eq \f(B2L2\f(v0,3),2R)，所以加速度大小为：a＝eq \f(F,m)＝eq \f(B2L2v0,6mR)，故B正确；对ab杆，由动量定理得：－Beq \x\to(I)L·Δt＝meq \f(v0,3)－mv0，即BLq＝eq \f(2,3)mv0，解得：q＝eq \f(2mv0,3BL)，所以通过定值电阻的电荷量为eq \f(2mv0,3BL)，故C错误；由q＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(B·Lx,2R)，解得ab杆通过的位移：x＝eq \f(2Rq,BL)＝eq \f(4mRv0,3B2L2)，故D正确．考向2 动量守恒定律在电磁感应中的应用在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便．这类问题可以从以下三个观点来分析：(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动．(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒．(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和．例4 足够长的平行金属轨道M、N相距L＝0.5 m，且水平放置；M、N左端与半径R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量mb＝mc＝0.1 kg，接入电路的有效电阻Rb＝Rc＝1 Ω，轨道的电阻不计．平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度大小B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图所示．若使b棒以初速度v0＝10 m/s开始向左运动，运动过程中b、c不相撞，g取10 m/s2，求：(1)c棒的最大速度大小；(2)c棒从开始到达到最大速度的过程中，此棒产生的焦耳热；(3)若c棒达到最大速度后沿半圆轨道上滑，金属棒c到达轨道最高点时对轨道的压力的大小为多少．答案 (1)5 m/s (2)1.25 J (3)1.25 N解析 (1)在安培力作用下，b棒做减速运动，c棒做加速运动，当两棒速度相等时，c棒达到最大速度．选两棒为研究对象，以v0的方向为正方向，根据动量守恒定律有mbv0＝(mb＋mc)v解得c棒的最大速度大小为：v＝eq \f(mb,mb＋mc)v0＝5 m/s.(2)从b棒开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动能转化为电能，两棒中产生的总焦耳热为：Q＝eq \f(1,2)mbv02－eq \f(1,2)(mb＋mc)v2＝2.5 J因为Rb＝Rc，所以c棒达到最大速度时此棒产生的焦耳热为Qc＝eq \f(Q,2)＝1.25 J.(3)设c棒沿半圆轨道滑到最高点时的速度为v′，从最低点上升到最高点的过程，由机械能守恒定律可得：eq \f(1,2)mcv2＝mcg·2R＋eq \f(1,2)mcv′2解得v′＝3 m/s.在最高点，设轨道对c棒的弹力为F，由牛顿第二定律得mcg＋F＝mceq \f(v′2,R)解得F＝1.25 N.由牛顿第三定律得，在最高点c棒对轨道的压力大小为1.25 N.针对训练2 (多选)如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨间距为L，电阻不计，导轨所处空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B.导轨上放有质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b.开始时金属棒b静止，金属棒a获得向右的初速度v0，从金属棒a开始运动到最终两棒以相同的速度匀速运动的过程中，经过每个金属棒的电荷量为q，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是( )A．a做匀减速直线运动，b做匀加速直线运动B．最终两金属棒匀速运动的速度为eq \f(v0,2)C．两金属棒产生的焦耳热为eq \f(mv02,4)D．a和b距离的增加量为eq \f(qR,BL)答案 BC解析 金属棒a向右运动切割磁感线，根据右手定则可知在回路中产生逆时针方向的感应电流，根据左手定则可知，a棒受到向左的安培力，b棒受到向右的安培力，a棒在安培力作用下做减速运动，b棒在安培力作用下做加速运动，两棒的速度差减小，总电动势E＝Bl(va－vb)减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，即a做加速度减小的减速直线运动，b做加速度减小的加速直线运动，A错误；a、b两棒组成的系统所受合力为零，动量守恒，设最终达到的共同速度为v，由动量守恒定律，得mv0＝2mv，解得v＝eq \f(v0,2)，B正确；根据能量守恒定律，整个过程产生的焦耳热Q＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(2m)·v2＝eq \f(mv02,4)，C正确；根据电荷量的推论公式q＝eq \f(ΔΦ,2R)＝eq \f(BLΔx,2R)，解得a和b距离的增加量Δx＝eq \f(2qR,BL)，D错误．1.(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中( )A．恒力F做的功等于电路产生的电能B．克服安培力做的功等于电路中产生的电能C．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和答案 BD解析 由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，即W克安＝W电，选项A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于ab棒获得的动能，即WF－Wf－W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和ab棒获得的动能之和，选项C错误，D正确．2.两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的绝缘轻弹簧下端，金属棒和导轨垂直且接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，磁感应强度方向如图所示．金属棒和导轨的电阻不计．现将金属棒从轻弹簧原长位置由静止释放，则( )A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度gB．金属棒向下运动时，流过电阻的电流方向为a→bC．金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝eq \f(B2L2v,R)D．电阻上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量答案 AC解析 释放瞬间，金属棒只受重力作用，所以其加速度等于重力加速度，选项A正确；金属棒向下切割磁感线，由右手定则可知，流过电阻的电流方向为b→a，选项B错误；当金属棒的速度为v时，感应电流I＝eq \f(BLv,R)，则安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)，选项C正确；由能量守恒定律可知，最终稳定后，重力势能的减少量等于轻弹簧弹性势能的增加量与电阻上产生的总热量之和，选项D错误．3.(多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向竖直向下，在磁场中有一个边长为L的正方形刚性金属框，ab边的质量为m，电阻为R，其他三边的质量和电阻均不计．cd边上装有固定的水平轴，将金属框自水平位置由静止释放，第一次转到竖直位置时，ab边的速度为v，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是( )A．通过ab边的电流方向为a→bB．ab边经过最低点时的速度v＝eq \r(2gL)C．ab边经过最低点时的速度v＜eq \r(2gL)D．金属框中产生的焦耳热为mgL－eq \f(1,2)mv2答案 CD解析 ab边向下摆动过程中，金属框内磁通量逐渐减小，根据楞次定律及右手螺旋定则可知感应电流方向为b→a，选项A错误；ab边由水平位置到达最低点过程中，机械能一部分转化为焦耳热，故v＜eq \r(2gL)，选项B错误，C正确；根据能量守恒定律可知，金属框中产生的焦耳热应等于此过程中损失的机械能，即Q＝mgL－eq \f(1,2)mv2，选项D正确．4.如图所示，在光滑的水平面上宽度为L的区域内，有竖直向下的匀强磁场．现有一个边长为a(a
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