人教版高中物理新教材同步讲义选修第二册 第2章　专题强化8　电磁感应中的图像问题（含解析）

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电磁感应中的图像问题 [学习目标]　1.进一步掌握楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律的应用.2.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决图像问题．1．电磁感应中的图像问题2.解决此类问题的一般步骤(1)明确图像的类型，是B－t图像、Φ－t图像、E－t图像还是I－t图像等；(2)分析电磁感应的具体过程，合理分段、选取典型过程；根据法拉第电磁感应定律分析电动势大小，由楞次定律分析感应电流(或感应电动势)方向；(3)由欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数方程；根据函数方程进行数学分析，例如分析斜率的变化、截距等；(4)画图像或判断图像．一、E－t或I－t图像例1　在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向以及磁感应强度的正方向如图甲所示，当磁场的磁感应强度B随时间t按图乙变化时，下列四幅图中可以正确表示线圈中感应电动势E变化的是(　　)答案　A解析　由题图乙可知，在0～1 s内，磁感应强度均匀增大，穿过线圈的磁通量均匀增大，由楞次定律可知线圈中产生恒定电流的方向与正方向一致；1～3 s内，穿过线圈的磁通量不变，故感应电动势为0；在3～5 s内，线圈中的磁通量均匀减小，由楞次定律可知线圈中产生恒定电流的方向与正方向相反．由题图乙可知0～1 s内磁感应强度变化率是3～5 s内磁感应强度变化率的2倍，由E＝neq \f(ΔB,Δt)·S可知，0～1 s内产生的感应电动势是3～5 s内产生的感应电动势的2倍，故A选项正确．例2　如图所示，一底边长为L、底边上的高也为L的等腰三角形导体线框以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2L、宽为L的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．t＝0时刻，三角形导体线框的右边刚进入磁场，取沿逆时针方向的感应电流为正方向，则在三角形导体线框穿过磁场区域的过程中，感应电流i随时间t变化的图线可能是(　　)答案　A解析　根据E＝BL有v，I＝eq \f(E,R)＝eq \f(BL有v,R)可知，三角形导体线框进、出磁场时，有效切割长度L有都变小，则I也变小．再根据楞次定律及安培定则，可知进、出磁场时感应电流的方向相反，进磁场时感应电流方向为正方向，出磁场时感应电流方向为负方向，故选A.例3　如图所示，虚线上方空间有垂直线框平面向里的匀强磁场，直角扇形导线框绕垂直于线框平面的轴O以角速度ω匀速转动．设线框中感应电流方向以逆时针为正，那么在下面的选项图中能正确描述线框从图中所示位置开始转动一周的过程中，线框内感应电流随时间变化情况的是(　　)答案　A解析　扇形导线框的右边到达磁场边界前，线框内无感应电流，当线框进入磁场时，切割磁感线的有效长度不变，即电动势及电流大小不变；由右手定则可知，电流沿逆时针方向，故为正值；当线框全部进入磁场后，磁通量不变，无感应电流；当线框穿出磁场时，切割磁感线的有效长度不变，即电动势及电流大小不变，由右手定则可知，电流沿顺时针方向，故为负值；当线框全部穿出磁场后，磁通量变化量为零，则无感应电流．故选A.二、i－x图像例4　(2021·茂名市高二期末)如图所示，纸面内两个宽度均为a的区域内存在着方向相反、磁感应强度大小相等的匀强磁场，纸面内一个边长为eq \f(2\r(3),3)a的等边三角形闭合金属线框水平向右匀速通过两个磁场区域．已知运动过程中线框的BC边始终与虚线边界平行，若规定逆时针方向为感应电流i的正方向，则从线框的A点进入磁场开始，线框中的感应电流i随线框移动距离x变化的i－x图像正确的是(　　)答案　C解析　线框进磁场和出磁场时，有效切割长度都是均匀增加的，由楞次定律知进出磁场时感应电流的方向均为逆时针，故A错误；在a～2a的过程中，线框的有效切割长度也是均匀增加的，但在左右两个磁场中均切割磁感线，产生的最大感应电流为进出磁场时最大感应电流的2倍，电流方向为顺时针方向，故C正确，B、D错误．三、F－t图像例5　如图甲所示，光滑导轨水平放置在竖直方向的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示(规定向下为正方向)，导体棒ab垂直导轨放置，除电阻R的阻值外，其余电阻不计，导体棒ab在水平外力F的作用下始终处于静止状态．规定a→b的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在0～2t0时间内，能正确反映流过导体棒ab的电流与时间或外力与时间关系的图线是(　　)答案　D解析　在0～t0时间内磁通量为向上减少，t0～2t0时间内磁通量为向下增加，两者等效，且根据B－t图线可知，两段时间内磁通量的变化率相等，根据楞次定律可判断0～2t0时间内均产生由b到a的大小、方向均不变的感应电流，选项A、B错误．在0～t0时间内可判断ab所受安培力的方向水平向右，则所受水平外力方向向左，大小F＝BIL随B的减小呈线性减小；在t0～2t0时间内，可判断所受安培力的方向水平向左，则所受水平外力方向向右，大小F＝BIL随B的增加呈线性增加，选项C错误，D正确．求解图像类选择题的两种常用方法1．排除法：定性分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化情况(变化快慢及均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项．2．函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断．1．在竖直方向的匀强磁场中，水平放置一个面积不变的单匝金属线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图甲所示，取线圈中磁场的方向向上为正方向，磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示，以下四图中正确表示线圈中感应电流变化的是(　　)答案　A解析　在前半个周期内，磁场方向向上且磁感应强度逐渐减小，根据楞次定律可知感应电流的方向为负方向；后半个周期内磁场方向向下且磁感应强度逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为负方向，且后半个周期内磁感应强度的变化率为前半个周期内的两倍，故电流也为前半个周期的两倍，选项A正确．2．如图甲所示，矩形导线框abcd固定在变化的磁场中，产生了感应电流(电流方向沿abcda为正方向)．若规定垂直纸面向里的方向为磁场的正方向，能够产生如图乙所示电流的磁场为(　　)答案　D解析　由题图乙可知，0～t1内，线框中电流的大小与方向都不变，根据法拉第电磁感应定律可知，线框中磁通量的变化率不变，故0～t1内磁感应强度与时间的关系图线是一条倾斜的直线，A、B错；又由于0～t1时间内电流的方向为正，即沿abcda方向，由楞次定律可知，电路中感应电流的磁场方向垂直纸面向里，故0～t1内原磁场磁感应强度垂直纸面向里逐渐减小或垂直纸面向外逐渐增大，C错，D对．3．如图所示，两个相邻的有界匀强磁场区域，方向相反，且垂直于纸面，磁感应强度的大小均为B0，以磁场区域左边界为y轴建立坐标系，磁场区域在y轴方向足够长，在x轴方向宽度均为a.矩形导线框ABCD的CD边与y轴重合，AD边长为a.线框从图示位置水平向右匀速穿过两磁场区域，且线框平面始终保持与磁场垂直，线框中感应电流i与线框移动距离x的关系图像正确的是(以逆时针方向为电流的正方向)(　　)答案　C解析　在CD边进入磁场后，根据右手定则可得产生的感应电流由D到C，所以为正，产生的电流大小设为I0，当AB边进入磁场后，CD进入右边磁场，两边切割磁感线，所以产生的电流大小为2I0，根据楞次定律可知，产生的感应电流方向为顺时针，所以选C.4.如图所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一个电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴匀速转动(O轴位于磁场边界)，周期为T，t＝0时刻线框置于如图所示位置，则线框内产生的感应电流随时间变化的图像为(规定电流顺时针方向为正)(　　)答案　A解析　由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的．线框在进入磁场和离开磁场时，有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生．由右手定则可判断导线框进入磁场时，电流方向为逆时针，出磁场时电流方向为顺时针，故选项A正确．5．(多选)(2022·仁寿一中高二月考)一矩形线圈位于一个方向垂直线圈平面向里的磁场中，如图a所示，磁感应强度B随时间t的变化规律如图b所示．以i表示线圈中的感应电流，以图a线圈上箭头所示方向(即顺时针方向)为电流的正方向；MN边所受的安培力为F(以水平向左为力F的正方向)，则以下的i－t、F－t图中正确的是(　　)答案　AC6.(2022·哈尔滨六中高二月考)如图所示，一正方形闭合导线框abcd，边长为L＝0.1 m，各边电阻均为1 Ω，bc边位于x轴上，在x轴原点右侧有宽为0.2 m、磁感应强度大小为1 T的垂直纸面向里的匀强磁场区域．当线框以4 m/s的恒定速度沿x轴正方向穿越磁场区域的过程中，ab边两端电势差Uab随ab边位置变化的情况正确的是(　　)答案　B解析　分三个阶段研究，线框进磁场过程中(ab边切割磁感线)、线框整体在磁场中运动、线框出磁场过程中(cd边切割磁感线)．ab边切割磁感线时，x在0～L范围，由楞次定律可知，线框中的感应电流方向是逆时针，ab相当于电源，a点的电势高于b点的电势，Uab>0，感应电动势E＝BLv＝1×0.1×4 V＝0.4 V，Uab是外电压，则有Uab＝eq \f(3,4)E＝0.3 V；线框全部在磁场中运动时，x在L～2L范围，穿过线框的磁通量不变，没有感应电流产生，ab边两端电势差等于电动势，Uab＝E＝0.4 V；dc边切割磁感线时，x在2L～3L范围，由楞次定律可知线框中的感应电流方向是顺时针，dc相当于电源，a点的电势高于b点的电势，Uab>0，感应电动势E＝BLv＝1×0.1×4 V＝0.4 V，Uab＝eq \f(1,4)E＝0.1 V，A、C、D错误，B正确．7.如图所示，有一个等腰直角三角形的匀强磁场区域，其直角边长为L，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，一边长为L，总电阻为R的正方形导线框abcd，从图示位置开始沿x轴正方向以速度v匀速穿过磁场区域．取沿a→b→c→d→a的方向为感应电流的正方向，则图中表示线框中电流i随bc边的位置坐标x变化的图像，正确的是(　　)答案　C解析　在0～L内，导线框未进入磁场，无感应电流产生；在L～2L内，bc边切割磁感线，切割磁感线的有效长度随x增大而均匀增大，根据楞次定律可知线框中的感应电流为正方向，bc边到达x＝2L的位置时，感应电流达到最大值，im＝eq \f(BLv,R)；在2L～3L内，ad边切割磁感线，切割磁感线的有效长度随x增大而均匀增大，感应电流为负方向，当bc边到达x＝3L位置时，感应电流达到最大值，im＝eq \f(BLv,R).综上所述，选项C正确．8．矩形导线框abcd放在匀强磁场中，磁场范围足够大，磁感线方向与导线框所在平面垂直，如图甲所示．在外力控制下线框处于静止状态．磁感应强度B随时间t变化的图像如图乙所示，t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直导线框平面向里．在0～4 s内，导线框ad边所受安培力随时间变化的图像(规定向左为安培力正方向)应该是下图中的(　　)答案　D解析　设题图乙中的B－t图像斜率大小为k，k＝eq \f(ΔB,Δt)，则线框的感应电动势E＝Seq \f(ΔB,Δt)＝Sk，感应电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(Sk,R)，ad边受到的安培力F安＝BIL＝Beq \f(Sk,R)Lad，0～1 s内，随着磁感应强度逐渐减小，安培力逐渐减小，A、B错；0～1 s内，线框磁通量减小，根据楞次定律“增缩减扩”，线框有扩张趋势，即ad边受到的安培力水平向左，为正方向，大小逐渐减小；1～2 s内，线框磁通量增大，线框有缩小趋势，即ad边受到的安培力水平向右，为负方向，大小逐渐增大；2～4 s内ad边所受安培力的大小及方向，先逐渐减小，后逐渐增大；先水平向左，后水平向右，C错，D对．9．(2018·全国卷Ⅱ)如图所示，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下．一边长为eq \f(3,2)l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动．线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是(　　)答案　D解析　设线路中只有一边切割磁感线时产生的感应电流为I0.由分析知，只有选项D符合要求．10.(多选)如图所示，虚线右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，正方形金属框电阻为R，边长为L，线框在外力作用下由静止开始，以垂直于磁场边界的恒定加速度a进入磁场区域并开始计时，t1时刻线框全部进入磁场．规定顺时针方向为感应电流i的正方向，外力大小为F，线框中电功率的瞬时值为P，通过线框横截面的电荷量为q，则这些量随时间t变化的关系正确的是(其中P－t图像为抛物线)(　　)答案　BC解析　线框做匀加速直线运动，其速度v＝at，感应电动势E＝BLv，感应电流i＝eq \f(E,R)＝eq \f(BLat,R)，i与t成正比，选项A错误；线框进入磁场过程中受到的安培力F安＝BiL＝eq \f(B2L2at,R)，由牛顿第二定律得F－F安＝ma，得F＝ma＋eq \f(B2L2at,R)，可知F－t图线是不过原点的倾斜直线，选项B正确；线框中电功率P＝i2R＝eq \f(BLat2,R)∝t2，选项C正确；线框通过的位移x＝eq \f(1,2)at2，通过线框横截面的电荷量q＝eq \x\to(I)Δt＝eq \f(\x\to(E),R)Δt＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(BLx,R)＝eq \f(BL·\f(1,2)at2,R)∝t2，q－t图像应是抛物线，选项D错误．图像类型(1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B－t图像、Φ－t图像、E－t图像和I－t图像(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E－x图像和I－x图像问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像(2)由给定的有关图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量应用知识左手定则、右手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律、相关数学知识等线框位移等效电路图感应电流0～eq \f(l,2)I＝2I0(顺时针)eq \f(l,2)～lI＝0l～eq \f(3l,2)I＝2I0(逆时针)eq \f(3l,2)～2lI＝0