选择性必修 第二册第二章 电磁感应综合与测试学案

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习题课二　电磁感应中的电路及图像问题1．进一步熟练掌握法拉第电磁感应定律、楞次定律、闭合电路欧姆定律。2．掌握电磁感应现象中电路问题和电荷量求解问题的基本思路和方法，建立解决电磁感应现象中电路问题的思维模型。3．将抽象思维与形象思维相结合，综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图像问题。 [问题探究]如图所示，一圆形线圈的面积为S，匝数为n，电阻为r，线圈外接一个阻值为R的电阻，把线圈放入一方向垂直线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度随时间变化规律如图所示：(1)比较a、b两点的电势高低；(2)求t0时流过R的电流大小。提示：(1)φa<φb；(2)感应电流为I＝eq \f(E,R＋r)＝nSeq \f(B－B0,R＋rt0)。[要点归纳]1．电磁感应问题常与电路知识综合考查，解决此类问题的基本方法是(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路。(2)画等效电路图，分清内、外电路。(3)用法拉第电磁感应定律E＝neq \f(ΔΦ,Δt)或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。在等效电源内部，电流方向从负极指向正极。(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。2．闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt时间内迁移的电荷量(感应电荷量)q＝I·Δt＝eq \f(E,R总)·Δt＝neq \f(ΔΦ,Δt)·eq \f(1,R总)·Δt＝eq \f(nΔΦ,R总)。(1)从上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。(2)求解电路中通过的电荷量时，I、E均为平均值。[例题1]　如图所示，用相同的均匀导线制成的两个圆环a和b，已知b的半径是a的两倍。若在a内存在随时间均匀变化的磁场，b在磁场外，M、N两点间的电势差为U；若该磁场存在于b内，a在磁场外，M、N两点间的电势差为多大？(M、N在连接两环的导线的中点，该连接导线的长度不计)[思路点拨]　解答本题时可按以下思路分析：eq \x(\a\al(确定,电源))―→eq \x(\a\al(感应电动,势的大小))―→eq \x(\a\al(内、外电阻,的大小))―→eq \x(\a\al(路端,电压))[解析]　磁场的变化引起磁通量的变化，从而使闭合电路产生感应电流。由题意知，磁场随时间均匀变化，设磁场的变化率为eq \f(ΔB,Δt)，a的半径为r，则b的半径为2r，圆环导线单位长度电阻为R0。圆环a的电阻Ra＝2πrR0，圆环b的电阻Rb＝4πrR0。因此有Rb＝2Ra。磁场在a中时，a相当于电源，根据法拉第电磁感应定律，可知感应电动势Ea＝eq \f(ΔB,Δt)πr2，当磁场在b中时，b相当于电源，所以Eb＝eq \f(ΔB,Δt)π(2r)2＝4Ea，U是a为电源时的路端电压，由闭合电路欧姆定律，得U＝eq \f(Ea,Ra＋Rb)Rb，设Ub是b为电源时的路端电压，同理有Ub＝eq \f(Eb,Rb＋Ra)Ra，将上面各式联立解得Ub＝2U。[答案]　2U[针对训练]1．[多选]如图所示，矩形金属框架三个竖直边ab、cd、ef的长都是l，电阻都是R，其余电阻不计。框架以速度v匀速平动地穿过磁感应强度为B的匀强磁场，设ab、cd、ef三条边先后进入磁场时，ab边两端电压分别为U1、U2、U3，则下列判断结果正确的是(　　)A．U1＝eq \f(1,3)Blv　　　　 B．U2＝2U1C．U3＝0 D．U1＝U2＝U3解析：选AB　当ab边进入磁场时，I＝eq \f(E,R＋\f(R,2))＝eq \f(2Blv,3R)，则U1＝E－IR＝eq \f(1,3)Blv。当cd边也进入磁场时，I＝eq \f(2Blv,3R)，U2＝E－I·eq \f(R,2)＝eq \f(2,3)Blv。三条边都进入磁场时，U3＝Blv，故选项A、B正确。2．一个阻值为R、匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R1、电容为C的电容器连接成如图(a)所示的回路。金属线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图像如图(b)所示。图像与横、纵轴的截距分别为t0和B0。导线的电阻不计。求：(1)通过电阻R1的电流大小和方向；(2)0～t1时间内通过电阻R1的电荷量q；(3)t1时刻电容器所带电荷量Q。解析：(1)由B­t图像可知，磁感应强度的变化率eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(B0,t0)，根据法拉第电磁感应定律，得感应电动势E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝nπr22eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(nπB0r22,t0)根据闭合电路的欧姆定律，得感应电流I1＝eq \f(E,3R)联立解得I1＝eq \f(nπB0r22,3Rt0)根据楞次定律，可知通过R1的电流方向为从b到a。(2)通过R1的电荷量q＝I1t1，得q＝eq \f(nπB0r22t1,3Rt0)。(3)电容器两板间电压U＝I1R1＝eq \f(2nB0πr22,3t0)则电容器所带的电荷量Q＝CU＝eq \f(2nπCB0r22,3t0)。答案：(1)eq \f(nπB0r22,3Rt0)　方向从b到a　(2)eq \f(nπB0r22t1,3Rt0)　(3)eq \f(2nπCB0r22,3t0)[问题探究]如图甲所示，abcd中的磁场按图乙的形式随时间变化，磁场垂直纸面向里为正方向，则矩形线框内的感应电流方向是怎样的，以及bc边受到的安培力的方向是怎样的？提示：0～1 s电流的方向为逆时针方向，1 s～3 s为顺时针方向，3 s～4 s为逆时针方向；0～1 s内bc边受到的安培力向左，1 s～2 s内向右，2 s～3 s内向左，3 s～4 s内向右。[要点归纳]1．图像问题2．解决此类问题的一般步骤解决电磁感应的图像问题常采用定性分析与定量计算相结合的方法分段处理。需特别注意物理量的大小、正负，图像为直线还是曲线，有什么样的变化趋势等。具体步骤如下：[例题2]　如图所示，有两个相邻的有界匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，磁场方向相反，且与纸面垂直，两磁场边界均与x轴垂直且宽度均为L，在y轴方向足够长。现有一高和底均为L的等腰三角形导线框，顶点a在y轴上，从图示x＝0位置开始，在大小为F的外力作用下向右沿x轴正方向匀速穿过磁场区域。在运动过程中，线框bc边始终与磁场的边界平行。则下列选项所示线框中感应电动势大小E、感应电流大小I、线框所受安培力大小F安、外力大小F与线框顶点a移动的位移x的关系图像中，正确的是(　　)[解析]　线框刚进入磁场时有效切割长度为L，感应电动势大小为E0＝BLv，随着线框的进入感应电动势逐渐减小；当线框右移L后，两边有效切割的长度都为L，感应电动势大小为线框刚进入磁场时的2倍，即E＝2E0＝2BLv，随后逐渐减小；线框刚开始离开磁场的瞬间，感应电动势大小为E0＝BLv，以后有效切割长度逐渐减小，感应电动势逐渐减小，故A错误。线框刚进入磁场时感应电流大小为I0＝eq \f(BLv,R)，随着线框的进入感应电流逐渐减小；当线框进入磁场的长度为L后，I＝2I0＝eq \f(2BLv,R)，随后逐渐减小；线框刚开始离开磁场的瞬间，感应电流大小为I0＝eq \f(BLv,R)，以后感应电动势逐渐减小，感应电流减小，故B正确；电流和有效切割长度均变化，分析可知安培力大小与x不是线性关系，故C错误；根据平衡条件可知，外力始终与安培力等大反向，F与x不是线性关系，故D错误。[答案]　B解决线框进出磁场的问题可以借鉴以下思路(1)观察线框是什么形状的，判断切割磁感线的有效长度是否变化、如何变化；(2)若只有一个磁场且足够宽，关注两个过程即可：进入磁场的过程，离开磁场的过程；(3)若有两个不同的磁场，还需注意两条边分别在不同磁场时产生感应电流方向的关系。　　　　 [针对训练]1．如图所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L。现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图中所示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，下列选项中能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的安培力随时间变化的图像是(　　)解析：选D　当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，感应电流的大小在中间时是最大的，所以选项A、B错误。由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和出磁场时，磁场力总是阻碍线圈的运动，方向始终向左，所以外力始终水平向右，因安培力的大小不同且在中间时最大，由左手定则知，在中间时安培力的方向也向左，故选项C错误，选项D正确。2．如图甲所示，在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图甲所示。当磁场的磁感应强度B随时间t做如图乙所示的变化时，选项图中能正确表示线圈中感应电动势E变化的是(　　)解析：选A　由题图乙知，0～1 s内磁通量向上均匀增加，根据楞次定律知，电流方向为正且保持不变；1～3 s内磁通量不变，故感应电动势为0；3～5 s内磁通量向上均匀减少，由楞次定律知，电流方向为负且保持不变。由法拉第电磁感应定律知，感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比，所以3～5 s内的感应电动势是0～1 s内的感应电动势的eq \f(1,2)，故选项A正确。3．[多选]在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，线圈所围的面积为0.1 m2，线圈电阻为1 Ω。规定线圈中感应电流I的正方向从上往下看是顺时针方向，如图甲所示。磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示。以下说法正确的是(　　)A．在0～2 s时间内，I的最大值为0.01 AB．在3～5 s时间内，I的大小越来越小C．前2 s内，通过线圈某截面的总电荷量为0.01 CD．第3 s内，线圈的发热功率最大解析：选AC　0～2 s时间内，t＝0时刻磁感应强度变化率最大，感应电流最大，即I＝eq \f(E,R)＝eq \f(ΔB·S,ΔtR)＝0.01 A，A正确；3～5 s时间内电流大小不变，B错误；前2 s内通过线圈的电荷量q＝eq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(ΔB·S,R)＝0.01 C，C正确；第3 s内，B没有变化，线圈中没有感应电流产生，则线圈的发热功率最小，D错误。1．如图所示，磁感应强度为B，ef长为l，ef的电阻为r，定值电阻R，其余电阻不计。当ef在外力作用下向右以速度v匀速运动时，则ef两端的电压为(　　)A．Blv　　　　　　　 B．eq \f(BlvR,R＋r)C．eq \f(Blvr,R＋r) D．eq \f(Blvr,R)解析：选B　导体棒ef有电阻，将ef看成等效电源，则E＝Blv，又内阻为r，所以Uef＝IR＝eq \f(E,R＋r)R＝eq \f(BlvR,R＋r)，故B正确。2．如图所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B。一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过圆形导线环截面的电荷量为(　　)A．eq \f(πB|b2－2a2|,R) B．eq \f(πBb2＋2a2,R)C．eq \f(πBb2－a2,R) D．eq \f(πBb2＋a2,R)解析：选A　设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律，得平均感应电动势eq \x\to(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)，则通过圆形导线环截面的电荷量q＝eq \f(\x\to(E),R)·Δt＝eq \f(πB|b2－2a2|,R)，A项正确。3．用相同导线制成的边长为L或2L的4个单匝闭合线框如图所示，它们以相同的速度先后沿垂直于磁场边界的方向穿过正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，匀强磁场区域宽度大于2L，则进入磁场过程中，感应电流最大的回路是(　　)解析：选C　线框进入磁场过程中，做切割磁感线运动，设切割磁感线的有效长度为d，产生的感应电动势E＝Bdv，根据电阻定律可知，线框的电阻R＝ρeq \f(l总,S)，由闭合电路欧姆定律可知，回路中的感应电流I＝eq \f(E,R)，联立以上各式有I＝eq \f(BSv,ρ)·eq \f(d,l总)，所以线框的eq \f(d,l总)越大，线框中的感应电流就越大，对照4种图形可知，C正确。4．如图甲所示，一根电阻R＝4 Ω的导线绕成半径d＝2 m的圆，在圆内部分区域存在变化的匀强磁场，中间S形虚线是两个直径均为d的半圆，磁感应强度随时间变化图像如图乙所示(磁场垂直于纸面向外为正，电流逆时针方向为正)，关于圆环中的感应电流—时间图像，下列选项正确的是(　　)解析：选C　0～1 s内，感应电动势E1＝Seq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(πd2,2)×eq \f(2,1) V＝4π V，感应电流大小I1＝eq \f(E1,R)＝eq \f(4π,4) A＝π A，由楞次定律知，感应电流为顺时针方向，为负值，故C正确，A、B、D错误。5．如图所示，两条平行虚线之间存在匀强磁场，虚线间的距离为l，磁场方向垂直纸面向里。梯形线圈abcd位于纸面内，ad与bc间的距离也为l。t＝0时刻，bc边与磁场区域边界重合。现令线圈以恒定的速度v沿垂直于磁场区域边界的方向穿过磁场区域。取沿a→b→c→d→a的感应电流方向为正，则在线圈穿越磁场区域的过程中，感应电流I随时间t变化的图像可能是(　　)解析：选B　梯形线圈abcd进入磁场切割磁感线的过程，有效切割长度越来越长，根据E＝BLv可得，感应电动势越来越大，故感应电流越来越大，且根据右手定则可知电流方向为负方向；当梯形线圈abcd离开磁场的过程，有效切割长度越来越长，感应电动势越来越大，故感应电流越来越大，且电流方向为正方向，故B正确，A、C、D错误。电磁感应中的电路问题电磁感应中的图像问题图像类型(1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像，即B­t图像、Φ­t图像、E­t图像和I­t图像(2)对于导体切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像，即E­x图像和I­x图像问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像(2)由给定的图像分析电磁感应过程，求解相应的物理量应用知识安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律及数学知识