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冀教版八年级上册数学第十七章特殊三角形（A卷）含解析答案
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第十七章�特殊三角形（A卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．下列几组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ）A．5、12、13 B．6、8、10 C．9、40、41 D．、、2．如图，在中，，为内的一点，且，，则的大小为（ ）A． B． C． D．3．五根小木棒，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）A． B．C． D．4．如图，E、F分别是等边边，上的动点，且，连接、，交点为P，则的度数是（ ）A．120° B．60° C．150° D．无法确定5．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是( )①平分；②；③点在的中垂线上；④．A．4 B．3 C．2 D．16．如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为（ ）A． B． C． D．7．如图所示，中，，，D为BC边上一点，连接AD，若，，则的面积为（ ）A．15 B．7.5 C．13 D．6.58．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2022B2022A2023的边长为（ ）A．22021 B．22022 C．22023 D．20229．已知是边长为9的等边三角形，D为的中点，，交线段于E，交的延长线于F．若，则的长为（ ）A．1 B．1.5 C．2 D．2.510．如图，在正方形中，，与交于点，，分别为边，上的点（点，不与线段，的端点重合），，连接，，．关于以下三个结论，下列判断正确的是 结论I：始终是等腰直角三角形；结论Ⅱ：面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形的面积始终是4．A．三个结论都对 B．结论I和Ⅲ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论I错 D．结论I和Ⅱ都对，结论Ⅲ错11．对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 ．12．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，这两个滑梯与地面夹角中，则 ．13．如图，三角形的面积为．垂直的平分线BP于点P．则三角形的面积是 14．如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是 （填写序号）．15．如图，长方形中，，，E为边上的动点，F为的中点，连接、，则的最小值为 ．16． 把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转得到△（如图乙），此时与交于点，则线段的长度为 ．17．如图所示的一块土地，测量得，求这块土地的面积．18．如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，．(1)求的度数；(2)求的周长．19．已知如图，中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作，交DE的延长线于点F，连接交于点G．探究和有什么数量关系和位置关系？并证明你的猜想．20．如图，在等腰中，，点，，在的边上，满足．(1)求证：；(2)当时，求的大小．21．如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动．(1)当点的运动速度是，点的运动速度是，当到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为（），当时，判断的形状，并说明理由．(2)当它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为（），则当为何值时，是直角三角形22．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．(1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ___________≌___________．(2)如图，已知，以为边分别向外作等边和等边并连接，则 ___________°．(3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点P，请判断和的关系，并说明理由．23．【情境呈现】如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕着点旋转．【初步探究】（1）如图2，当绕点旋转，点恰好落在边上．①若点恰好落在边的中点时，求此时旋转角的度数；②若旋转角为，则的度数为________（用含的式子表示）．【拓展提升】（2）当绕点旋转到如图3所示的位置时，求证：． 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．D【分析】判断三条线段能不能作为直角三角形的三边，依据勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形即可．【详解】A、因为，所以5、12、13能构成直角三角形，不符合题意；B、因为，所以6、8、10能构成直角三角形，不符合题意；C、因为，所以 9、40、41能构成直角三角形，不符合题意；D、因为，所以 、、不能构成直角三角形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，运用定理时使用最小的两个数的平方和与最大数的平方比较可以一次完成判断．2．B【分析】由题可知，，根据可得，，由，从而可得出，由三角形的内角和等于，即可得出答案．【详解】解：在中，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在中，．故选B．【点睛】本题考查三角形的综合知识，掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．3．D【分析】根据勾股定理的逆定理分析选项即可．【详解】解：A．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；B．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；C．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；D．摆放正确，因为由图形可知：满足勾股定理逆定理，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是理解勾股定理的逆定理，结合图形分析．4．A【分析】证明，利用全等三角形的性质得到，则由图示知，即，所以根据三角形内角和定理求得．【详解】解：是等边三角形，，，在与中，，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是证明．5．B【分析】先根据三角形内角和计算出，再利用基本作图对①进行判断；利用得到，则可对②进行判断；利用得到，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，平分，所以①正确；∵，∴，∴，∴，所以②正确；∵，∴，∴点在的垂直平分线上，所以③正确；∵如图，在直角中，，∴，∴，∴，∴，∴．故④错误． 故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．6．C【分析】由于点，得，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，，则，于是得到问题的答案．【详解】解：于点，，在和中，，，，，，，与的和为，故选：C．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明是解题的关键．7．B【分析】过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过作于，中，，，，，设，则，，，，，，，，（负值舍去），，，，的面积，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．8．A【分析】先利用三角形外角的性质和等边三角形的性质依次得到，,，再得出规律，依据规律求解即可．【详解】解:∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，∴它们的内角都是60°,每个三角形的三条边都分别相等,∵30°，∴30°,∴,同理可以得出: ,∴,∴,,,∴,,∴,故选:A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质等，解题关键是发现规律，本题涉及到了数形结合的思想方法．9．B【分析】过点D作交于K，先证明三角形是等边三角形，再结合D是的中点得出，再由证明得出，再根据，得出的长即可推出结果．【详解】解：如图，过点D作交于K，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵D为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，证明是解题的关键．10．A【分析】由题意易证得，则可证得结论Ⅰ正确；由的最小值是到的距离，即可求得的最小值2，根据三角形面积公式即可判断选项Ⅱ正确；由，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项Ⅲ错误．【详解】解：四边形是正方形，，相交于点，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形；故Ⅰ正确；当时，最小，此时，面积的最小值是，故Ⅱ正确；，，故Ⅲ正确；故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．11．四边形ABCD是平行四边形【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，故答案为：四边形ABCD是平行四边形．【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．12．60【分析】根据可得，再根据全等三角形对应角相等即可进行解答．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴．故答案为：60．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用判定三角形全等的方法，以及全等三角形对应角相等的性质．13．1【分析】延长交于点，由角平分线的定义可知，结合以及即可证出，进而可得出，根据三角形的面积即可得出，再根据即可得出结论．【详解】解：延长交于点，如图所示．垂直的平分线于点，．在和中，，∴，．和等底同高，∴，．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形全等的判定方法，根据三角形间的关系找出．14．①②③【分析】根据等边对等角，以及的度数求出三角形两个底角的度数，进而求出∠ABD的度数，进而判断①②③，根据判断④．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故①正确，∴，∴，即平分，故②正确，∵，∴，故③正确，∵，∴不是等边三角形，∴，∴，故④不正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．15．15【详解】作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．【分析】解：作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．∵长方形中，，F为的中点，∴， ∴， ∴，即的最小值为15．故答案为：15．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E，F'的位置是解题的关键．16．10【分析】先求出，由，得到，又由 ，得到，由，得到 ，在中，由勾股定理即可得到答案．【详解】如图所示，由题意得，，， ∴， 又∵，∴， ∴， ∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，在中，．故答案为：10【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．17．这块土地的面积是．【分析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再分别求出和的面积即可求解．【详解】解：连接，∵，∴，∵,，∴，∴是直角三角形，且，∴这块土地的面积，答：这块土地的面积是．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出是直角三角形是解此题的关键．18．(1)；(2)的周长为12．【分析】（1）根据三角形的内角和为及角平分线的定义即可得出答案；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，进而可得，进行计算即可解答．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，，∴，∵，，∴，∴的周长为12．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．19．，；证明见解析【分析】利用，，，得出，再通过证明为等腰直角三角形，，进而可以证明，结合三角形全等的性质及互余的关系即可证明．【详解】解：，． 证明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，，∵D为的中点，∴．在和中∴∴，∴，∵，即，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，能够熟练推理出边及角度的等量关系来判定三角形全等是解题关键．20．(1)见解析(2)【分析】（1）由已知等腰中，，可得，再证明，即得；（2）在中，由，，求得，再结合，可得，在中，有，再由，推导得到，最后由及三角形内角和定理，得到的大小．【详解】（1）证明：∵等腰中，， ∴，在与中，∵，∴，∴．（2）解：∵等腰中，，∴，∵在中，，又∵，∴，∵，∴．∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．21．(1)等边三角形，理由见解析(2)或【分析】（1）根据题意，得，，则，根据是等边三角形，则，根据，可求出，的值，根据等边三角形的判定，即可；（2）当是直角三角形，分类讨论或；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，即可．【详解】（1）由题意得，，，∴，∵是边长为等边三角形，∴，当时，∴，，∴是等边三角形．（2）由题意得，，，∴，∵，∴当是直角三角形，∴当，∴，∴，∴，∴；当，∴，∴，∴，∴．综上所述，当或，是直角三角形．【点睛】本题考查动点与几何的综合，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．22．(1)，(2)(3)，，理由见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可；（2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解；（3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可．【详解】（1）解：，，，在和中，，，故答案为：，；（2）解：等边和等边，，，，，即，在和中，，，，故答案为：；（3）证明：，理由：，，即，在和中，，，，，，∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键23．（1）①旋转角为； ②；（2）见解析【分析】（1）①根据旋转的性质，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到：，得到为等边三角形，即可得解；②利用旋转的性质，得到，利用三角形的内角和定理，求出，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出，即可得解；（2）如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，证明，利用旋转的性质和全等三角形的性质，得到两个三角形等底等高，即可得证．【详解】解：（1）①由旋转可知：，∵，是的中点，∴，∴， ∴是等边三角形， ∴，∴旋转角为． ②由旋转可知：，∴，∴，∴，故答案为：；（2）证明：如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，由旋转可得：，∴在和中，∴ ∴，∵，，，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理．综合性较强，熟练掌握旋转的性质：对应边相等，对应角相等，是解题的关键．
第十七章�特殊三角形（A卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．下列几组数据中不能作为直角三角形三边长的是（ ）A．5、12、13 B．6、8、10 C．9、40、41 D．、、2．如图，在中，，为内的一点，且，，则的大小为（ ）A． B． C． D．3．五根小木棒，现将它们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）A． B．C． D．4．如图，E、F分别是等边边，上的动点，且，连接、，交点为P，则的度数是（ ）A．120° B．60° C．150° D．无法确定5．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是( )①平分；②；③点在的中垂线上；④．A．4 B．3 C．2 D．16．如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为（ ）A． B． C． D．7．如图所示，中，，，D为BC边上一点，连接AD，若，，则的面积为（ ）A．15 B．7.5 C．13 D．6.58．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，依此类推，若OA1=1，则△A2022B2022A2023的边长为（ ）A．22021 B．22022 C．22023 D．20229．已知是边长为9的等边三角形，D为的中点，，交线段于E，交的延长线于F．若，则的长为（ ）A．1 B．1.5 C．2 D．2.510．如图，在正方形中，，与交于点，，分别为边，上的点（点，不与线段，的端点重合），，连接，，．关于以下三个结论，下列判断正确的是 结论I：始终是等腰直角三角形；结论Ⅱ：面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形的面积始终是4．A．三个结论都对 B．结论I和Ⅲ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论I错 D．结论I和Ⅱ都对，结论Ⅲ错11．对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设 ．12．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，这两个滑梯与地面夹角中，则 ．13．如图，三角形的面积为．垂直的平分线BP于点P．则三角形的面积是 14．如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是 （填写序号）．15．如图，长方形中，，，E为边上的动点，F为的中点，连接、，则的最小值为 ．16． 把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点顺时针旋转得到△（如图乙），此时与交于点，则线段的长度为 ．17．如图所示的一块土地，测量得，求这块土地的面积．18．如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，．(1)求的度数；(2)求的周长．19．已知如图，中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作，交DE的延长线于点F，连接交于点G．探究和有什么数量关系和位置关系？并证明你的猜想．20．如图，在等腰中，，点，，在的边上，满足．(1)求证：；(2)当时，求的大小．21．如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动．(1)当点的运动速度是，点的运动速度是，当到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为（），当时，判断的形状，并说明理由．(2)当它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为（），则当为何值时，是直角三角形22．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．(1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ___________≌___________．(2)如图，已知，以为边分别向外作等边和等边并连接，则 ___________°．(3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点P，请判断和的关系，并说明理由．23．【情境呈现】如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中．若固定，将绕着点旋转．【初步探究】（1）如图2，当绕点旋转，点恰好落在边上．①若点恰好落在边的中点时，求此时旋转角的度数；②若旋转角为，则的度数为________（用含的式子表示）．【拓展提升】（2）当绕点旋转到如图3所示的位置时，求证：． 评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．D【分析】判断三条线段能不能作为直角三角形的三边，依据勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形即可．【详解】A、因为，所以5、12、13能构成直角三角形，不符合题意；B、因为，所以6、8、10能构成直角三角形，不符合题意；C、因为，所以 9、40、41能构成直角三角形，不符合题意；D、因为，所以 、、不能构成直角三角形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，运用定理时使用最小的两个数的平方和与最大数的平方比较可以一次完成判断．2．B【分析】由题可知，，根据可得，，由，从而可得出，由三角形的内角和等于，即可得出答案．【详解】解：在中，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在中，．故选B．【点睛】本题考查三角形的综合知识，掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．3．D【分析】根据勾股定理的逆定理分析选项即可．【详解】解：A．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；B．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；C．摆放错误，因为由图形可知：，不满足勾股定理逆定理，故不符合题意；D．摆放正确，因为由图形可知：满足勾股定理逆定理，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是理解勾股定理的逆定理，结合图形分析．4．A【分析】证明，利用全等三角形的性质得到，则由图示知，即，所以根据三角形内角和定理求得．【详解】解：是等边三角形，，，在与中，，，，，，．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是证明．5．B【分析】先根据三角形内角和计算出，再利用基本作图对①进行判断；利用得到，则可对②进行判断；利用得到，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．利用度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．【详解】解：由作法得，平分，所以①正确；∵，∴，∴，∴，所以②正确；∵，∴，∴点在的垂直平分线上，所以③正确；∵如图，在直角中，，∴，∴，∴，∴，∴．故④错误． 故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．6．C【分析】由于点，得，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，，则，于是得到问题的答案．【详解】解：于点，，在和中，，，，，，，与的和为，故选：C．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明是解题的关键．7．B【分析】过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程得到，，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：过作于，中，，，，，设，则，，，，，，，，（负值舍去），，，，的面积，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．8．A【分析】先利用三角形外角的性质和等边三角形的性质依次得到，,，再得出规律，依据规律求解即可．【详解】解:∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形，∴它们的内角都是60°,每个三角形的三条边都分别相等,∵30°，∴30°,∴,同理可以得出: ,∴,∴,,,∴,,∴,故选:A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质等，解题关键是发现规律，本题涉及到了数形结合的思想方法．9．B【分析】过点D作交于K，先证明三角形是等边三角形，再结合D是的中点得出，再由证明得出，再根据，得出的长即可推出结果．【详解】解：如图，过点D作交于K，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵D为的中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，证明是解题的关键．10．A【分析】由题意易证得，则可证得结论Ⅰ正确；由的最小值是到的距离，即可求得的最小值2，根据三角形面积公式即可判断选项Ⅱ正确；由，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项Ⅲ错误．【详解】解：四边形是正方形，，相交于点，，，在和中，，，，，，是等腰直角三角形；故Ⅰ正确；当时，最小，此时，面积的最小值是，故Ⅱ正确；，，故Ⅲ正确；故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．11．四边形ABCD是平行四边形【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形，故答案为：四边形ABCD是平行四边形．【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．12．60【分析】根据可得，再根据全等三角形对应角相等即可进行解答．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴．故答案为：60．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用判定三角形全等的方法，以及全等三角形对应角相等的性质．13．1【分析】延长交于点，由角平分线的定义可知，结合以及即可证出，进而可得出，根据三角形的面积即可得出，再根据即可得出结论．【详解】解：延长交于点，如图所示．垂直的平分线于点，．在和中，，∴，．和等底同高，∴，．故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和三角形全等的判定方法，根据三角形间的关系找出．14．①②③【分析】根据等边对等角，以及的度数求出三角形两个底角的度数，进而求出∠ABD的度数，进而判断①②③，根据判断④．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故①正确，∴，∴，即平分，故②正确，∵，∴，故③正确，∵，∴不是等边三角形，∴，∴，故④不正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．15．15【详解】作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．【分析】解：作F关于的对称点，连接，交于点E，则的长即为的最小值．∵长方形中，，F为的中点，∴， ∴， ∴，即的最小值为15．故答案为：15．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E，F'的位置是解题的关键．16．10【分析】先求出，由，得到，又由 ，得到，由，得到 ，在中，由勾股定理即可得到答案．【详解】如图所示，由题意得，，， ∴， 又∵，∴， ∴， ∵，∴， 又∵，∴， ∵，∴，∵， ∴，在中，．故答案为：10【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．17．这块土地的面积是．【分析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再分别求出和的面积即可求解．【详解】解：连接，∵，∴，∵,，∴，∴是直角三角形，且，∴这块土地的面积，答：这块土地的面积是．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出是直角三角形是解此题的关键．18．(1)；(2)的周长为12．【分析】（1）根据三角形的内角和为及角平分线的定义即可得出答案；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，进而可得，进行计算即可解答．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，，∴，∵，，∴，∴的周长为12．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．19．，；证明见解析【分析】利用，，，得出，再通过证明为等腰直角三角形，，进而可以证明，结合三角形全等的性质及互余的关系即可证明．【详解】解：，． 证明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，，∵D为的中点，∴．在和中∴∴，∴，∵，即，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，能够熟练推理出边及角度的等量关系来判定三角形全等是解题关键．20．(1)见解析(2)【分析】（1）由已知等腰中，，可得，再证明，即得；（2）在中，由，，求得，再结合，可得，在中，有，再由，推导得到，最后由及三角形内角和定理，得到的大小．【详解】（1）证明：∵等腰中，， ∴，在与中，∵，∴，∴．（2）解：∵等腰中，，∴，∵在中，，又∵，∴，∵，∴．∵，∴，∵在中，，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．21．(1)等边三角形，理由见解析(2)或【分析】（1）根据题意，得，，则，根据是等边三角形，则，根据，可求出，的值，根据等边三角形的判定，即可；（2）当是直角三角形，分类讨论或；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，即可．【详解】（1）由题意得，，，∴，∵是边长为等边三角形，∴，当时，∴，，∴是等边三角形．（2）由题意得，，，∴，∵，∴当是直角三角形，∴当，∴，∴，∴，∴；当，∴，∴，∴，∴．综上所述，当或，是直角三角形．【点睛】本题考查动点与几何的综合，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．22．(1)，(2)(3)，，理由见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可；（2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解；（3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可．【详解】（1）解：，，，在和中，，，故答案为：，；（2）解：等边和等边，，，，，即，在和中，，，，故答案为：；（3）证明：，理由：，，即，在和中，，，，，，∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键23．（1）①旋转角为； ②；（2）见解析【分析】（1）①根据旋转的性质，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到：，得到为等边三角形，即可得解；②利用旋转的性质，得到，利用三角形的内角和定理，求出，再根据直角三角形的两个锐角互余，求出，即可得解；（2）如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，证明，利用旋转的性质和全等三角形的性质，得到两个三角形等底等高，即可得证．【详解】解：（1）①由旋转可知：，∵，是的中点，∴，∴， ∴是等边三角形， ∴，∴旋转角为． ②由旋转可知：，∴，∴，∴，故答案为：；（2）证明：如图，过点作，垂足为，过点作交的延长线于点，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，由旋转可得：，∴在和中，∴ ∴，∵，，，∴．【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的内角和定理．综合性较强，熟练掌握旋转的性质：对应边相等，对应角相等，是解题的关键．
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