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2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高二（上）期中数学试卷
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这是一份2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高二（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）经过两点A（4x﹣2，1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则x＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．
2．（5分）已知直线l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（5分）当圆C：x2+y2﹣2y﹣80＝0截直线l：mx﹣2y﹣m+6＝0所得的弦长最短时，实数m＝（ ）
A．B．﹣1C．D．1
4．（5分）若抛物线C：y2＝4px（p＞0）上的一点到它的焦点的距离为10，则p＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知圆与圆，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．﹣7B．9C．﹣7或9D．7或﹣9
7．（5分）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则（ ）
A．e1＜e3＜e2B．e2＜e3＜e1C．e1＜e2＜e3D．e2＜e1＜e3
8．（5分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，点P，Q均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
（多选）9．（5分）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线y＝x﹣2在y轴上的截距为2
B．经过定点A（0，2）的直线都可以用方程y＝kx+2表示
C．直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）必过定点
D．已知直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则平行线间的距离是1
（多选）10．（5分）已知过点P（4，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．|AB|的最大值为6
B．|AB|的最小值为
C．点O到直线l的距离的最大值为
D．△POC的面积为3
（多选）11．（5分）对于曲线C：+＝1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C交于A，B两点，则（ ）
A．△ABF2的周长为4
B．△ABF2的周长为8
C．椭圆C上的点到焦点的最短距离为1
D．椭圆C上的点到焦点的最短距离为3
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知平面上点P（3，3）和直线l：2y+3＝0，点P到直线l的距离为d，则d＝ ．
14．（5分）已知抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线的标准方程为 ．
15．（5分）已知两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），则过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程为 ．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为 ，三角形PAB面积的最小值为 ．
四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。）
17．（10分）写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程；
（2）过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程．
18．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC边上的中点．
（1）求AC边所在的直线方程；
（2）求中线BM的长；
（3）求AB边的高所在直线方程．
19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0和直线l：x﹣y+5＝0．
（1）求圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线l：x﹣y+5＝0对称的圆的标准方程；
（2）圆C有一动点P，直线l上有一动点Q，求PQ的最小值．
20．（12分）已知圆C1方程：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相交点A、B．
（1）求经过点A、B的直线方程．
（2）求三角形C1AB的面积．
21．（12分）双曲线，右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点，求双曲线C的方程；
（2）经过原点O倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率．
22．（12分）已知定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．
（1）求曲线E的轨迹方程．
（2）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，判断直线MN是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）经过两点A（4x﹣2，1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则x＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．
【分析】根据给定条件，可得AB⊥x轴，再列式计算作答．
【解答】解：因为直线AB倾斜角为，则AB⊥x轴，
而点A（4x﹣2，1），B（2，﹣3），
故4x﹣2＝2，解得x＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．（5分）已知直线l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式计算作答．
【解答】解：直线l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，l1⊥l2，
因此a⋅1+（﹣2）•（a﹣1）＝0，解得a＝2，
所以实数a的值为2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
3．（5分）当圆C：x2+y2﹣2y﹣80＝0截直线l：mx﹣2y﹣m+6＝0所得的弦长最短时，实数m＝（ ）
A．B．﹣1C．D．1
【分析】求出直线l所过定点A的坐标，分析可知，当AC⊥l时，直线l截圆C所得弦长最短，根据两直线垂直时，斜率的关系可求得实数m的值．
【解答】解：将直线l的方程变形为m（x﹣1）﹣2（y﹣3）＝0，由可得，
所以直线l经过定点A（1，3），
圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2＝81，圆心为C（0，1），
因为12+（3﹣1）2＜81，即点A在圆C内，
故当AC⊥l时，圆心C到直线l的距离取最大值，此时，直线l截圆C所得弦长最短，
，直线l的斜率为，所以，，解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
4．（5分）若抛物线C：y2＝4px（p＞0）上的一点到它的焦点的距离为10，则p＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据抛物线的定义，建立方程，可得答案．
【解答】解：由题意如图所示：
由抛物线上点A到焦点的距离为10，则点A到抛物线C的准线的距离为10，
由抛物线C：y2＝4px（p＞0），则其准线直线为：x＝﹣p，
由抛物线的性质可得：，解得p＝8．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
5．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、椭圆的半焦距，再列式求出a2，b2作答．
【解答】解：由椭圆得其半焦距为，依题意，，
双曲线的渐近线方程为，于是，即，
由，解得a2＝2，b2＝6，
所以双曲线C的方程为．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置，考查运算求解能力，属中档题．
6．（5分）已知圆与圆，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．﹣7B．9C．﹣7或9D．7或﹣9
【分析】根据两圆半径大小关系结合圆与圆位置关系判断，即可列方程求解实数a的值．
【解答】解：圆整理得：（x﹣1）2+（y+1）2＝25，
圆心C1（1，﹣1），半径r1＝5，
圆的圆心C2（﹣a，5），半径r2＝5，
由于两圆半径相同，故若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则两圆外切，
所以，整理得a2+2a﹣63＝0，解得a＝7或﹣9．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
7．（5分）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则（ ）
A．e1＜e3＜e2B．e2＜e3＜e1C．e1＜e2＜e3D．e2＜e1＜e3
【分析】根据长轴长与短轴长的定义，结合a，b，c的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案．
【解答】解：设椭圆标准方程为，
则c2＝a2﹣b2，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，
故离心率，
则，，，
又，
则e1＜e2＜e3．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属中档题．
8．（5分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，点P，Q均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设P（m，n），则Q（m，﹣n），根据斜率公式结合题意可得：kAP•kAQ＝，再结合椭圆方程，整理可得离心率．
【解答】解：已知A（0，a），设P（m，n），则Q（m，﹣n），
kAP＝，
kAQ＝，
故kAP•kAQ＝•＝＝①，
∵＝1，②，
②①整理得：，
e＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，离心率的求法，是基础题．
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
（多选）9．（5分）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线y＝x﹣2在y轴上的截距为2
B．经过定点A（0，2）的直线都可以用方程y＝kx+2表示
C．直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）必过定点
D．已知直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则平行线间的距离是1
【分析】利用截距的定义可判断A选项；取点A（0，2）且垂直于x轴的直线，可判断B选项；求出直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）所过定点的坐标，可判断C选项；利用两直线平行求出m的值，结合平行线间的距离公式可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，直线y＝x﹣2在y轴上的截距为﹣2，A错；
对于B选项，过点A（0，2）且垂直于x轴的直线方程为x＝0，不能用方程y＝kx+2表示，B错；
对于C选项，将直线方程6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）变形为6（x﹣2）+m（y+4）＝0，
由可得，故直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）过定点（2，﹣4），C对；
对于D选项，若直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则，解得m＝8，
直线方程6x+my﹣12＝0可化为3x+4y﹣6＝0，
故两平行直线间的距离为，D对．
故选：CD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知过点P（4，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．|AB|的最大值为6
B．|AB|的最小值为
C．点O到直线l的距离的最大值为
D．△POC的面积为3
【分析】求得圆C的圆心坐标为C（3，﹣3），半径为r＝3，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可分别求解．
【解答】解：由题意，圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9的圆心坐标为C（3，﹣3），半径为r＝3，
又，点P（4，﹣2）在圆C内部，
因为过点P（4，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B两点，
所以|AB|的最大值为2r＝6，所以A正确；
因为，
当直线l与PC垂直时，此时弦|AB|取得最小值，
最小值为，所以B错误；
当直线l与OP垂直时，点O到直线l的距离有最大值，
且最大值为，所以C错误；
由，可得kOC⋅kPC＝﹣1，即OC⊥PC，
所以△POC的面积为，所以D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，点到线的距离，属中档题．
（多选）11．（5分）对于曲线C：+＝1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
【分析】根据曲线方程的特点，结合椭圆的标准方程分别判断即可．
【解答】解：对于A，当，即k∈（1，）∪（，4）时，曲线C表示椭圆，∴A不正确；
对于B，k∈（1，）∪（，4）时，曲线C表示椭圆，∴B不正确；
对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜4﹣k＜k﹣1，解得＜k＜4，∴C正确；
对于D，当k∈（1，）时，4﹣k＞k﹣1，此时曲线表示焦点在x轴上的椭圆，∴D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的方程，熟练掌握椭圆的标准方程和定义是解决本题的关键．
（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C交于A，B两点，则（ ）
A．△ABF2的周长为4
B．△ABF2的周长为8
C．椭圆C上的点到焦点的最短距离为1
D．椭圆C上的点到焦点的最短距离为3
【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案．
【解答】解：由题意，椭圆，可得，则，
则△ABF2的周长为l＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝2a+2a＝8，
又由椭圆的几何性质，可得椭圆C上的点到焦点的最短距离为a﹣c＝1．
故选：BC．
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆方程及其应用等知识，属于中等题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知平面上点P（3，3）和直线l：2y+3＝0，点P到直线l的距离为d，则d＝ ．
【分析】根据直线l的特征，直接列式计算作答．
【解答】解：依题意，直线，而点P（3，3），
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14．（5分）已知抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线的标准方程为 x2＝﹣12y ．
【分析】根据题意，根据抛物线准线位置确定抛物线开口方向，设抛物线方程为x2＝﹣2py，由准线方程求解p的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线开口向下，
设抛物线方程为x2＝﹣2py，p＞0，则，故p＝6，
所以抛物线方程为x2＝﹣12y．
故答案为：x2＝﹣12y．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线准线的方程形式，属于基础题．
15．（5分）已知两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），则过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程为 2x+3y+4＝0 ．
【分析】由于两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），可得2a1+3b1+4＝0，2a2+3b2+4＝0，即可得出．
【解答】解：∵两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），
∴2a1+3b1+4＝0，2a2+3b2+4＝0，
因此过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程为2x+3y+4＝0．
故答案为：2x+3y+4＝0．
【点评】本题考查了直线方程，属于基础题．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为 ﹣1 ，三角形PAB面积的最小值为 ．
【分析】利用给定条件，结合直线在坐标轴上的截距的意义计算即可；求出|AB|及点P到直线AB的距离最小值即可作答．
【解答】解：因为直线交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，﹣4），
所以直线在x和y轴上的截距之和为3+（﹣4）＝﹣1，
因为圆可化为的圆心坐标为（﹣1，0），半径为，
所以点（﹣1，0）到直线AB：4x﹣3y﹣12＝0的距离，
所以圆上的动点P到直线AB的距离最小值为，
所以△PAB面积的最小值为．
故答案为：﹣1；．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。）
17．（10分）写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程；
（2）过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程．
【分析】（1）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，将A、B的坐标代入，求出m、n的值，即可得答案；
（2）利用椭圆可求得焦点坐标，设出双曲线标准方程代入点，即可求得其标准方程．
【解答】解：（1）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，
将和两点代入可得，解方程组可得；
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意可知椭圆的焦点坐标为；
所以可设双曲线标准方程为，其中a2+b2＝5；
代入点可得，联立解得a2＝1，b2＝4；
所以双曲线标准方程为．
【点评】本题考查椭圆、双曲线的标准方程，涉及椭圆、双曲线的性质，属于基础题．
18．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC边上的中点．
（1）求AC边所在的直线方程；
（2）求中线BM的长；
（3）求AB边的高所在直线方程．
【分析】（1）求出直线AC的斜率，利用点斜式可得出AC边所在的直线方程；
（2）求出点M的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得|BM|的值；
（3）求出AB边的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出AB边的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）直线AC的斜率为，
所以，直线AC的方程为，即x+2y﹣9＝0．
（2）因为点A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC边上的中点，则M（1，4），
所以，中线BM的长为．
（3）因为直线AB的斜率为，所以，AB边的高所在直线的斜率为，
因此，AB边的高所在直线方程为，即x+6y﹣21＝0．
【点评】本题考查直线方程的性质，属于基础题．
19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0和直线l：x﹣y+5＝0．
（1）求圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线l：x﹣y+5＝0对称的圆的标准方程；
（2）圆C有一动点P，直线l上有一动点Q，求PQ的最小值．
【分析】（1）设圆心关于直线对称点为C1（a，b），根据对称求解a，b，即可得对称圆心，从而求得圆的标准方程；
（2）利用圆的几何性质即可判断PQ的最小值．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0整理得：（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心C（1，﹣2），半径，
设圆心C（1，﹣2）关于直线l：x﹣y+5＝0对称点为C1（a，b），
所以，解得，
则圆C关于直线l：x﹣y+5＝0对称的圆的标准方程为（x+7）2+（y﹣6）2＝5．
（2）
圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+5＝0的距离，
P在圆上，直线l上有一动点Q，根据圆的性质可得．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
20．（12分）已知圆C1方程：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相交点A、B．
（1）求经过点A、B的直线方程．
（2）求三角形C1AB的面积．
【分析】（1）直接把两圆方程相减即可求解经过A，B的直线方程；
（2）结合直线与圆相交的性质，先求出|AB|，然后求出C1到AB的距离，即可求解．
【解答】解：（1）把x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相减得2x﹣4y﹣5＝0，
即过AB的直线方程为2x+4y﹣5＝0；
（2）因为C1（0，0）到直线AB：2x+4y﹣5＝0的距离d＝＝，
圆C1：x2+y2＝4的半径r＝2，
故|AB|＝2＝，
所以三角形C1AB的面积S＝＝＝．
【点评】本题主要考查了两相交圆公共弦的求解，直线与圆相交性质的应用，属于基础题．
21．（12分）双曲线，右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点，求双曲线C的方程；
（2）经过原点O倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率．
【分析】（1）先根据题意设双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ，（λ＞0），再通过双曲线C过点，建立方程方程即可求解；
（2）根据题意可得：△OMF为等腰直角三角形，且渐近线的斜率大于OM的斜率，从而建立方程和不等式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得双曲线C为焦点在x轴上的等轴双曲线，
∴设双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ，（λ＞0），
又双曲线C过点，
∴4﹣3＝λ，∴λ＝1，
∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1；
（2）根据题意可得：
△OMF为等腰直角三角形，且渐近线的斜率大于OM的斜率，
∴M的坐标为（，），且，
∴，∴，
∴，又e2＞1，
解得，
∴e＝．
∴双曲线C的离心率为．
【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线的离心率的求解，方程思想，不等式思想，属中档题．
22．（12分）已知定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．
（1）求曲线E的轨迹方程．
（2）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，判断直线MN是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【分析】（1）由题意，设点P（x，y），根据两点间的距离公式进行求解即可；
（2）设Q（t，t﹣4），由题可得以线段OQ为直径的圆的方程，得到直线MN的方程，进而即可求解．
【解答】解：（1）不妨设P（x，y），
因为|PA|＝2|PB|，
所以，
整理得x2+y2＝4，
所以曲线E的轨迹方程为x2+y2＝4；
（2）易知ON⊥QN，OM⊥QM，
所以点M，N都在以线段OQ为直径的圆上，
又Q是直线l：y＝x﹣4上的动点，
不妨设Q（t，t﹣4），
所以以线段OQ为直径的圆心为，
则圆的方程为，
即x2+y2﹣tx﹣（t﹣4）y＝0，
因为点M，N在曲线E：x2+y2＝4上，
所以，可得tx+（t﹣4）y﹣4＝0，
所以直线MN的方程为tx+（t﹣4）y﹣4＝0，
即t（x+y）﹣4y﹣4＝0，
由，
解得，
故直线MN过定点（1，﹣1）．
【点评】本题考查轨迹方程和圆与圆的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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1．（5分）经过两点A（4x﹣2，1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则x＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．
2．（5分）已知直线l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（5分）当圆C：x2+y2﹣2y﹣80＝0截直线l：mx﹣2y﹣m+6＝0所得的弦长最短时，实数m＝（ ）
A．B．﹣1C．D．1
4．（5分）若抛物线C：y2＝4px（p＞0）上的一点到它的焦点的距离为10，则p＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知圆与圆，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．﹣7B．9C．﹣7或9D．7或﹣9
7．（5分）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则（ ）
A．e1＜e3＜e2B．e2＜e3＜e1C．e1＜e2＜e3D．e2＜e1＜e3
8．（5分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，点P，Q均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
（多选）9．（5分）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线y＝x﹣2在y轴上的截距为2
B．经过定点A（0，2）的直线都可以用方程y＝kx+2表示
C．直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）必过定点
D．已知直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则平行线间的距离是1
（多选）10．（5分）已知过点P（4，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．|AB|的最大值为6
B．|AB|的最小值为
C．点O到直线l的距离的最大值为
D．△POC的面积为3
（多选）11．（5分）对于曲线C：+＝1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C交于A，B两点，则（ ）
A．△ABF2的周长为4
B．△ABF2的周长为8
C．椭圆C上的点到焦点的最短距离为1
D．椭圆C上的点到焦点的最短距离为3
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知平面上点P（3，3）和直线l：2y+3＝0，点P到直线l的距离为d，则d＝ ．
14．（5分）已知抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线的标准方程为 ．
15．（5分）已知两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），则过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程为 ．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为 ，三角形PAB面积的最小值为 ．
四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。）
17．（10分）写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程；
（2）过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程．
18．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC边上的中点．
（1）求AC边所在的直线方程；
（2）求中线BM的长；
（3）求AB边的高所在直线方程．
19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0和直线l：x﹣y+5＝0．
（1）求圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线l：x﹣y+5＝0对称的圆的标准方程；
（2）圆C有一动点P，直线l上有一动点Q，求PQ的最小值．
20．（12分）已知圆C1方程：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相交点A、B．
（1）求经过点A、B的直线方程．
（2）求三角形C1AB的面积．
21．（12分）双曲线，右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点，求双曲线C的方程；
（2）经过原点O倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率．
22．（12分）已知定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．
（1）求曲线E的轨迹方程．
（2）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，判断直线MN是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
2022-2023学年江苏省淮安市淮安区高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）经过两点A（4x﹣2，1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则x＝（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．
【分析】根据给定条件，可得AB⊥x轴，再列式计算作答．
【解答】解：因为直线AB倾斜角为，则AB⊥x轴，
而点A（4x﹣2，1），B（2，﹣3），
故4x﹣2＝2，解得x＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2．（5分）已知直线l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式计算作答．
【解答】解：直线l1：ax﹣2y+1＝0，l2：x+（a﹣1）y﹣1＝0，l1⊥l2，
因此a⋅1+（﹣2）•（a﹣1）＝0，解得a＝2，
所以实数a的值为2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
3．（5分）当圆C：x2+y2﹣2y﹣80＝0截直线l：mx﹣2y﹣m+6＝0所得的弦长最短时，实数m＝（ ）
A．B．﹣1C．D．1
【分析】求出直线l所过定点A的坐标，分析可知，当AC⊥l时，直线l截圆C所得弦长最短，根据两直线垂直时，斜率的关系可求得实数m的值．
【解答】解：将直线l的方程变形为m（x﹣1）﹣2（y﹣3）＝0，由可得，
所以直线l经过定点A（1，3），
圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2＝81，圆心为C（0，1），
因为12+（3﹣1）2＜81，即点A在圆C内，
故当AC⊥l时，圆心C到直线l的距离取最大值，此时，直线l截圆C所得弦长最短，
，直线l的斜率为，所以，，解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
4．（5分）若抛物线C：y2＝4px（p＞0）上的一点到它的焦点的距离为10，则p＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据抛物线的定义，建立方程，可得答案．
【解答】解：由题意如图所示：
由抛物线上点A到焦点的距离为10，则点A到抛物线C的准线的距离为10，
由抛物线C：y2＝4px（p＞0），则其准线直线为：x＝﹣p，
由抛物线的性质可得：，解得p＝8．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
5．（5分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程、椭圆的半焦距，再列式求出a2，b2作答．
【解答】解：由椭圆得其半焦距为，依题意，，
双曲线的渐近线方程为，于是，即，
由，解得a2＝2，b2＝6，
所以双曲线C的方程为．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置，考查运算求解能力，属中档题．
6．（5分）已知圆与圆，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ）
A．﹣7B．9C．﹣7或9D．7或﹣9
【分析】根据两圆半径大小关系结合圆与圆位置关系判断，即可列方程求解实数a的值．
【解答】解：圆整理得：（x﹣1）2+（y+1）2＝25，
圆心C1（1，﹣1），半径r1＝5，
圆的圆心C2（﹣a，5），半径r2＝5，
由于两圆半径相同，故若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则两圆外切，
所以，整理得a2+2a﹣63＝0，解得a＝7或﹣9．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
7．（5分）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则（ ）
A．e1＜e3＜e2B．e2＜e3＜e1C．e1＜e2＜e3D．e2＜e1＜e3
【分析】根据长轴长与短轴长的定义，结合a，b，c的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案．
【解答】解：设椭圆标准方程为，
则c2＝a2﹣b2，
可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，
故离心率，
则，，，
又，
则e1＜e2＜e3．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了椭圆离心率的求法，属中档题．
8．（5分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点为A，点P，Q均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设P（m，n），则Q（m，﹣n），根据斜率公式结合题意可得：kAP•kAQ＝，再结合椭圆方程，整理可得离心率．
【解答】解：已知A（0，a），设P（m，n），则Q（m，﹣n），
kAP＝，
kAQ＝，
故kAP•kAQ＝•＝＝①，
∵＝1，②，
②①整理得：，
e＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，离心率的求法，是基础题．
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
（多选）9．（5分）下列四个命题中真命题有（ ）
A．直线y＝x﹣2在y轴上的截距为2
B．经过定点A（0，2）的直线都可以用方程y＝kx+2表示
C．直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）必过定点
D．已知直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则平行线间的距离是1
【分析】利用截距的定义可判断A选项；取点A（0，2）且垂直于x轴的直线，可判断B选项；求出直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）所过定点的坐标，可判断C选项；利用两直线平行求出m的值，结合平行线间的距离公式可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，直线y＝x﹣2在y轴上的截距为﹣2，A错；
对于B选项，过点A（0，2）且垂直于x轴的直线方程为x＝0，不能用方程y＝kx+2表示，B错；
对于C选项，将直线方程6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）变形为6（x﹣2）+m（y+4）＝0，
由可得，故直线6x+my+4m﹣12＝0（m∈R）过定点（2，﹣4），C对；
对于D选项，若直线3x+4y﹣1＝0与直线6x+my﹣12＝0平行，则，解得m＝8，
直线方程6x+my﹣12＝0可化为3x+4y﹣6＝0，
故两平行直线间的距离为，D对．
故选：CD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知过点P（4，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．|AB|的最大值为6
B．|AB|的最小值为
C．点O到直线l的距离的最大值为
D．△POC的面积为3
【分析】求得圆C的圆心坐标为C（3，﹣3），半径为r＝3，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可分别求解．
【解答】解：由题意，圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9的圆心坐标为C（3，﹣3），半径为r＝3，
又，点P（4，﹣2）在圆C内部，
因为过点P（4，﹣2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（y+3）2＝9交于A，B两点，
所以|AB|的最大值为2r＝6，所以A正确；
因为，
当直线l与PC垂直时，此时弦|AB|取得最小值，
最小值为，所以B错误；
当直线l与OP垂直时，点O到直线l的距离有最大值，
且最大值为，所以C错误；
由，可得kOC⋅kPC＝﹣1，即OC⊥PC，
所以△POC的面积为，所以D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，点到线的距离，属中档题．
（多选）11．（5分）对于曲线C：+＝1，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
【分析】根据曲线方程的特点，结合椭圆的标准方程分别判断即可．
【解答】解：对于A，当，即k∈（1，）∪（，4）时，曲线C表示椭圆，∴A不正确；
对于B，k∈（1，）∪（，4）时，曲线C表示椭圆，∴B不正确；
对于C，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜4﹣k＜k﹣1，解得＜k＜4，∴C正确；
对于D，当k∈（1，）时，4﹣k＞k﹣1，此时曲线表示焦点在x轴上的椭圆，∴D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的方程，熟练掌握椭圆的标准方程和定义是解决本题的关键．
（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与C交于A，B两点，则（ ）
A．△ABF2的周长为4
B．△ABF2的周长为8
C．椭圆C上的点到焦点的最短距离为1
D．椭圆C上的点到焦点的最短距离为3
【分析】根据椭圆的定义和椭圆的几何性质，即可求得三角形的周长和最短距离，得到答案．
【解答】解：由题意，椭圆，可得，则，
则△ABF2的周长为l＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝2a+2a＝8，
又由椭圆的几何性质，可得椭圆C上的点到焦点的最短距离为a﹣c＝1．
故选：BC．
【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆方程及其应用等知识，属于中等题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知平面上点P（3，3）和直线l：2y+3＝0，点P到直线l的距离为d，则d＝ ．
【分析】根据直线l的特征，直接列式计算作答．
【解答】解：依题意，直线，而点P（3，3），
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
14．（5分）已知抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线的标准方程为 x2＝﹣12y ．
【分析】根据题意，根据抛物线准线位置确定抛物线开口方向，设抛物线方程为x2＝﹣2py，由准线方程求解p的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若抛物线的准线方程为y＝3，则抛物线开口向下，
设抛物线方程为x2＝﹣2py，p＞0，则，故p＝6，
所以抛物线方程为x2＝﹣12y．
故答案为：x2＝﹣12y．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线准线的方程形式，属于基础题．
15．（5分）已知两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），则过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程为 2x+3y+4＝0 ．
【分析】由于两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），可得2a1+3b1+4＝0，2a2+3b2+4＝0，即可得出．
【解答】解：∵两条直线a1x+b1y+4＝0和a2x+b2y+4＝0都过点A（2，3），
∴2a1+3b1+4＝0，2a2+3b2+4＝0，
因此过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程为2x+3y+4＝0．
故答案为：2x+3y+4＝0．
【点评】本题考查了直线方程，属于基础题．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴x、y分别交于A、B两点，点P是圆上一动点，直线在x和y轴上的截距之和为 ﹣1 ，三角形PAB面积的最小值为 ．
【分析】利用给定条件，结合直线在坐标轴上的截距的意义计算即可；求出|AB|及点P到直线AB的距离最小值即可作答．
【解答】解：因为直线交x轴于点A（3，0），交y轴于点B（0，﹣4），
所以直线在x和y轴上的截距之和为3+（﹣4）＝﹣1，
因为圆可化为的圆心坐标为（﹣1，0），半径为，
所以点（﹣1，0）到直线AB：4x﹣3y﹣12＝0的距离，
所以圆上的动点P到直线AB的距离最小值为，
所以△PAB面积的最小值为．
故答案为：﹣1；．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。）
17．（10分）写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程；
（2）过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程．
【分析】（1）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，将A、B的坐标代入，求出m、n的值，即可得答案；
（2）利用椭圆可求得焦点坐标，设出双曲线标准方程代入点，即可求得其标准方程．
【解答】解：（1）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，
将和两点代入可得，解方程组可得；
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意可知椭圆的焦点坐标为；
所以可设双曲线标准方程为，其中a2+b2＝5；
代入点可得，联立解得a2＝1，b2＝4；
所以双曲线标准方程为．
【点评】本题考查椭圆、双曲线的标准方程，涉及椭圆、双曲线的性质，属于基础题．
18．（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC边上的中点．
（1）求AC边所在的直线方程；
（2）求中线BM的长；
（3）求AB边的高所在直线方程．
【分析】（1）求出直线AC的斜率，利用点斜式可得出AC边所在的直线方程；
（2）求出点M的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得|BM|的值；
（3）求出AB边的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出AB边的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）直线AC的斜率为，
所以，直线AC的方程为，即x+2y﹣9＝0．
（2）因为点A（﹣1，5）、B（﹣2，﹣1）、C（3，3），M是AC边上的中点，则M（1，4），
所以，中线BM的长为．
（3）因为直线AB的斜率为，所以，AB边的高所在直线的斜率为，
因此，AB边的高所在直线方程为，即x+6y﹣21＝0．
【点评】本题考查直线方程的性质，属于基础题．
19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0和直线l：x﹣y+5＝0．
（1）求圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线l：x﹣y+5＝0对称的圆的标准方程；
（2）圆C有一动点P，直线l上有一动点Q，求PQ的最小值．
【分析】（1）设圆心关于直线对称点为C1（a，b），根据对称求解a，b，即可得对称圆心，从而求得圆的标准方程；
（2）利用圆的几何性质即可判断PQ的最小值．
【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0整理得：（x﹣1）2+（y+2）2＝5，圆心C（1，﹣2），半径，
设圆心C（1，﹣2）关于直线l：x﹣y+5＝0对称点为C1（a，b），
所以，解得，
则圆C关于直线l：x﹣y+5＝0对称的圆的标准方程为（x+7）2+（y﹣6）2＝5．
（2）
圆心C（1，﹣2）到直线l：x﹣y+5＝0的距离，
P在圆上，直线l上有一动点Q，根据圆的性质可得．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
20．（12分）已知圆C1方程：x2+y2＝4，圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相交点A、B．
（1）求经过点A、B的直线方程．
（2）求三角形C1AB的面积．
【分析】（1）直接把两圆方程相减即可求解经过A，B的直线方程；
（2）结合直线与圆相交的性质，先求出|AB|，然后求出C1到AB的距离，即可求解．
【解答】解：（1）把x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0相减得2x﹣4y﹣5＝0，
即过AB的直线方程为2x+4y﹣5＝0；
（2）因为C1（0，0）到直线AB：2x+4y﹣5＝0的距离d＝＝，
圆C1：x2+y2＝4的半径r＝2，
故|AB|＝2＝，
所以三角形C1AB的面积S＝＝＝．
【点评】本题主要考查了两相交圆公共弦的求解，直线与圆相交性质的应用，属于基础题．
21．（12分）双曲线，右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点，求双曲线C的方程；
（2）经过原点O倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率．
【分析】（1）先根据题意设双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ，（λ＞0），再通过双曲线C过点，建立方程方程即可求解；
（2）根据题意可得：△OMF为等腰直角三角形，且渐近线的斜率大于OM的斜率，从而建立方程和不等式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得双曲线C为焦点在x轴上的等轴双曲线，
∴设双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ，（λ＞0），
又双曲线C过点，
∴4﹣3＝λ，∴λ＝1，
∴双曲线C的方程为x2﹣y2＝1；
（2）根据题意可得：
△OMF为等腰直角三角形，且渐近线的斜率大于OM的斜率，
∴M的坐标为（，），且，
∴，∴，
∴，又e2＞1，
解得，
∴e＝．
∴双曲线C的离心率为．
【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线的离心率的求解，方程思想，不等式思想，属中档题．
22．（12分）已知定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．
（1）求曲线E的轨迹方程．
（2）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点分别为M，N，判断直线MN是否过定点．若过定点，写出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【分析】（1）由题意，设点P（x，y），根据两点间的距离公式进行求解即可；
（2）设Q（t，t﹣4），由题可得以线段OQ为直径的圆的方程，得到直线MN的方程，进而即可求解．
【解答】解：（1）不妨设P（x，y），
因为|PA|＝2|PB|，
所以，
整理得x2+y2＝4，
所以曲线E的轨迹方程为x2+y2＝4；
（2）易知ON⊥QN，OM⊥QM，
所以点M，N都在以线段OQ为直径的圆上，
又Q是直线l：y＝x﹣4上的动点，
不妨设Q（t，t﹣4），
所以以线段OQ为直径的圆心为，
则圆的方程为，
即x2+y2﹣tx﹣（t﹣4）y＝0，
因为点M，N在曲线E：x2+y2＝4上，
所以，可得tx+（t﹣4）y﹣4＝0，
所以直线MN的方程为tx+（t﹣4）y﹣4＝0，
即t（x+y）﹣4y﹣4＝0，
由，
解得，
故直线MN过定点（1，﹣1）．
【点评】本题考查轨迹方程和圆与圆的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
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