2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）集合，2，的子集个数为　　

A．5 B．6 C．7 D．8

2．（5分）已知命题，，则为　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）求值：　　

A．1 B．2 C．10 D．100

4．（5分）已知，则（7）　　

A． B．1 C．2 D．3

5．（5分）“”是“不等式”成立的　　条件

A．充要 B．充分不必要 

C．必要不充分 D．既不充分也不必要

6．（5分）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资300万；方案为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不少于方案的投入”的是　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）设集合，．下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有　　

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

8．（5分）当时，最小值为　　

A．0 B．9 C．10 D．18

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．（3）

10．（5分）已知集合，则的值可能为　　

A．0 B． C．1 D．2

11．（5分）若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是　　

A．0 B．1 C． D．

12．（5分）已知正数，满足，则下列选项不正确的是　　

A．的最小值是4 B．的最大值是4 

C．的最小值是8 D．的最大值是

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．（5分）若，，则的最大值是 　　．

14．（5分）若，则　　．

15．（5分）若函数．

（1）函数的定义域是 　　；

（2）函数的值域是 　　．

16．（5分）某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有45人，参加化学竞赛有30人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有10人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有 　　名．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知全集，，集合．求：

（1）；

（2）．

18．（12分）（1）求值：；

（2）已知，，为正实数，，，求的值．

19．（12分）已知集合，，．

（1）求集合，；

（2）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．若是成立的______条件，判断实数是否存在？

20．（12分）（1）若实数，求的最小值，并求此时的值；

（2）解不等式．

21．（12分）已知函数，是二次函数，且满足，．

（Ⅰ）求，的解析式；

（Ⅱ）设，求不等式的解集．

22．（12分）二次函数．

（1）当，时，求此函数的零点；

（2）若不等式的解集为，求实数，的值；

（3）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值集合．

2021-2022学年江苏省淮安市高中校协作体高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）集合，2，的子集个数为　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【解答】解：，2，，

的真子集为，，，，，，，，，，，2，，共8个．

或者直接使用子集个数的公式个．

故选：．

2．（5分）已知命题，，则为　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题，，则为，．

故选：．

3．（5分）求值：　　

A．1 B．2 C．10 D．100

【解答】解：原式．

故选：．

4．（5分）已知，则（7）　　

A． B．1 C．2 D．3

【解答】解：根据题意，，

则（7），

故选：．

5．（5分）“”是“不等式”成立的　　条件

A．充要 B．充分不必要 

C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【解答】解：由，

是成立的充要条件；

故选：．

6．（5分）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资300万；方案为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不少于方案的投入”的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：经过年之后，方案的投入不少于方案的投入，即，

又方案为一次性投资300万，方案为第一年投资80万，以后每年投资20万，

．

故选：．

7．（5分）设集合，．下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有　　

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

【解答】解：图象①，集合中有元素未取到，不符合题意；

图象②，集合中每个元素都取到，属于函数关系，且值域，是集合的子集，符合题意；

图象③，集合中每个元素都取到，属于一对一的函数关系，且值域就是集合，符合题意；

图象④，一个对应两个，不属于函数关系，

所以能表示从集合到集合的函数关系的有②③．

故选：．

8．（5分）当时，最小值为　　

A．0 B．9 C．10 D．18

【解答】解：，，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．（3）

【解答】解：根据题意，有，

则有，正确；错误；

，正确；

（3），正确；

故选：．

10．（5分）已知集合，则的值可能为　　

A．0 B． C．1 D．2

【解答】解：，方程只有一个解，

当时，，即，

；

当时，△，，此时，即，

；

故选：．

11．（5分）若“，使得成立”是假命题，则实数可能的值是　　

A．0 B．1 C． D．

【解答】解：若“，使得成立”是假命题，

则：若“，使得成立”是真命题；

故△，整理得．

故符合条件的选项为：．

故选：．

12．（5分）已知正数，满足，则下列选项不正确的是　　

A．的最小值是4 B．的最大值是4 

C．的最小值是8 D．的最大值是

【解答】解：对于选项，当，时，，故不正确；

对于选项，由基本不等式知，

当且仅当时，等号成立，故正确；

对于选项，，

当且仅当时，等号成立，故正确；

对于选项，，，

，

当且仅当时，等号成立，故不正确；

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．（5分）若，，则的最大值是 　5　．

【解答】解：由于，，

则：，

故的最大值为5．

故答案为：5．

14．（5分）若，则　2　．

【解答】解：因为，

则．

故答案为：2．

15．（5分）若函数．

（1）函数的定义域是 　　；

（2）函数的值域是 　　．

【解答】解：（1）根据题意可以列出不等式组，

解得，

即函数得定义域是，．

（2），

，

，，

．

16．（5分）某年级举行数学、物理、化学三项竞赛，共有80名学生参赛，其中参加数学竞赛有40人，参加物理竞赛有45人，参加化学竞赛有30人，同时参加物理、化学竞赛有15人，同时参加数学、物理竞赛有20人，同时参加数学、化学竞赛有10人，这个年级三个学科竞赛都参加的学生共有 　10　名．

【解答】解：设三个学科竞赛都参加的学生为人，

只参加物理竞赛的人为人，

只参加数学竞赛的人为人，

参加化学竞赛的人为30人，

既参加物理又参加数学的人为，

故，解得，

故都参加的学生人数为10人，

故答案为：10．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知全集，，集合．求：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）全集，，集合，

，

或；

（2）全集，，集合，

或，

．

18．（12分）（1）求值：；

（2）已知，，为正实数，，，求的值．

【解答】解：（1）原式．

（2），，为正实数，，设，

，，，

，

，即，

，即．

19．（12分）已知集合，，．

（1）求集合，；

（2）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．若是成立的______条件，判断实数是否存在？

【解答】解：（1）集合，，，

因为等价于，解得，

所以集合，

又可变形为，

因为，

所以，

则，；

（2）若选①：充分不必要条件

由（1）可知，，，，

因为是成立的充分不必要条件，

所以，

则，解得，

故实数的取值范围为，；

若选②：必要不充分条件

由（1）可知，，，，

因为是成立的必要不充分条件，

所以，

则，解得，

又，

所以实数的取值范围为，；

若选③：充要条件

由（1）可知，，，，

因为是成立的充要条件，

所以，

则，方程组无解，

所以不存在实数使得是成立的充要条件．

20．（12分）（1）若实数，求的最小值，并求此时的值；

（2）解不等式．

【解答】解：（1），，

，

当且仅当，即时，等号成立，

故当时，有最小值5；

（2），

原不等式可化为，

①当时，

不等式的解集为，，；

②当时，

不等式的解集为，，；

③当时，

不等式的解集为，，．

21．（12分）已知函数，是二次函数，且满足，．

（Ⅰ）求，的解析式；

（Ⅱ）设，求不等式的解集．

【解答】解：（Ⅰ）设，，所以

即，

因为是二次函数，所以设，

因为，所以，

，

所以，且，

解得，，

所以；

由（Ⅰ）可知，

等价于，或，

解得，或，

所以或，

所以．

故不等式的解集为，．

22．（12分）二次函数．

（1）当，时，求此函数的零点；

（2）若不等式的解集为，求实数，的值；

（3）当时，不等式在上恒成立，求实数的取值集合．

【解答】解：（1）当，时，，

令，则，解得，，

所以函数的零点为和3；

（2）由题意，和1为方程的两个根，且，

则，解得，；

（3）当时，不等式为恒成立，

因为，则，解得，

故实数啊的取值集合为．

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