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2022-2023学年江苏省淮安市涟水县郑梁梅高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）
展开这是一份2022-2023学年江苏省淮安市涟水县郑梁梅高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“a>b>0”是“1a<1b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知幂函数f(x)=(a−2)xa，则g(x)=bx+a+1(b>1)过定点( )
A. (1,1)B. (1,2)C. (−3,1)D. (−3,2)
3.设a=lg37，b=21.1，c=0.83.1，则( )
A. b
A. −2B. 1C. 2D. 52
5.用min{a,b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=−12对称，则t的值为( )
A. −2B. 2C. −1D. 1
6.(x−2y−1)5的展开式中含x2y2的项的系数为( )
A. −120B. 60C. −60D. 30
7.在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
A. 30B. 32C. 36D. 48
8.在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，分别取棱AA1，A1D1的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面ACD1的距离为( )
A. 2 33B. 3C. 2D. 2 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于随机变量X的说法正确的是( )
A. 若X服从正态分布N(1,2)，则D(2X+2)=4
B. 已知随机变量X服从二项分布B(2,p)，且P(X≥1)=59，随机变量Y服从正态分布N(2,σ2)，若P(Y<0)=p2，则P(2
D. 若X服从二项分布B(4,13)，则方差D(X)=89
10.在(ax−1 x)n(a>0)的展开式中，各项系数和与二项式系数和相等均为64，则下列结论正确的是( )
A. a=3B. 二项式系数最大的项为第3项
C. 有理项有3项D. 系数最小项为第2项
11.如图，底面ABCD为边长是2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD.点P为半圆弧AD上(不含A，D点)的一动点.下列说法正确的是( )
A. BP⋅PD的数量积恒为0
B. 三棱锥P−BCD体积的最大值为23
C. 不存在点P，使得AB⋅PB=4
D. 点A到平面BPD的距离取值范围为(0, 2)
12.下列说法正确的是( )
A. 直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则l//α
B. 已知向量a=(−9,4,−4)，b=(1,2,2)，则a在b上的投影向量为(−1,−2,−2)
C. 设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(3)=0
D. 若函数f(x)=x,x
13.根据二项式定理，将等式(1+x)p+q=(1+x)p(1+x)q两边分别展开，可得左右两边对应系数相等，试根据上述思想化简式子Cnm+Ck1Cnm−1+Ck2Cnm−2+⋯+CkkCnm−k= ______.(1≤k≤m≤n,k,m,n∈N*)
14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f(x)=______．
①定义域为R
②y=f(x)在定义域内是偶函数
③y=f(x)的图像与x轴有三个公共点
15.如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角A−CD−E为60°，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN= ______．
16.设函数f(x)=x−3x，g(x)=x2−mx，其中m∈R，若对任意的p∈[2,3]，q∈[1,5]，都有f(p)≤g(q)，则实数m的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，求下列各式的值．
(1)a1+a2+⋯+a7；
(2)(a0+a2+a4+a6)2−(a1+a3+a5+a7)2．
18.(本小题12分)
某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如表所示：
(1)是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；
(2)用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率．
附：
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
19.(本小题12分)
某乐队准备从3首摇滚歌曲和5首校园民谣中随机选择4首进行演唱．
(1)求该乐队至少演唱1首摇滚歌曲的概率；
(2)假设演唱1首摇滚歌曲，观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱1首校园民谣，观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的分布列．
20.(本小题12分)
某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据(xi,yi)，i=1，2，3，4，5，其中xi表示连续用药i天，yi表示相应的临床疗效评价指标A的数值．根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．经计算得到如下一些统计量的值：，i=15yi=62，i=15(xi−x−)(yi−y−)=47，i=15ui≈4.79，i=15(ui−u−)2≈1.615，i=15(ui−u−)(yi−y−)≈19.38，其中ui=．
(1)试判断y=a+bx与y=a+blnx哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并建立y关于x的回归方程；
(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍．若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立．
(ⅰ)随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；
(ⅱ)若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率．
参考公式：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋅⋅，⋅(xn,yn)，其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a=y−−bx−．
21.(本小题12分)
已知函数y=f(x)的定义域是(0,+∞)，对任意的正实数m，n满足：f(m)+f(n)=f(mn)+1且当x>1时，f(x)>1．
(1)判断函数y=f(x)的单调性并加以证明；
(2)若当x∈[13,3]时，关于x的不等式f(kx+3)+f(x+1)>2恒成立，求实数k的取值范围．
22.(本小题12分)
如图①，在梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC=CD=2，AB=4，E为AB的中点，以DE为折痕把ADE折起，连接AB，AC，得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题．
(1)证明：AC⊥DE；
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角D−AE−C的余弦值．
①四棱锥A−BCDE的体积为2；
②直线AC与EB所成角的余弦值为 64．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】a>b>0时，有aab>bab，即1a<1b；
1a<1b时，可能b
所以“a>b>0”是“1a<1b”的充分不必要条件．
故选：A．
由充分条件必要条件的定义，结合不等式的性质判断结论．
本题考查了充分条件必要条件的定义和不等式的性质，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=(a−2)xa是幂函数，
∴a−2=1，
故a=3，则g(x)=bx+3+1，
令x+3=0，即x=−3，
得g(x)=2，
故g(x)过定点(−3,2)．
故选：D．
利用幂函数的定义求出a的值，进一步分析g(x)的解析式即可．
本题主要考查了幂函数的定义，指数函数的性质，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：c=0.83.1<0.80=1，且c>0，即0
三个数分别与1，2比较大小，即可得．
本题考查利用函数性质比较大小，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵不等式ax2+2bx+4<0的解集为(m,4m)，
∴a>0，方程ax2+2bx+4=0的解集为m，4m，
∴m⋅4m=4a，解得a=1，
∴m+4m=−2ba=−2b，
∴2b=−m+4(−m)≥2 (−m)⋅4(−m)=4，当且仅当−m=4−m，即m=−2时，等号成立，
∴b≥2，
∴由对勾函数性质可知，ba+1b=b+1b在[2,+∞)上单调递增，
故b+1b≥2+12=52．
故选：D．
根据已知条件，结合韦达定理和基本不等式的公式，推出a=1，b≥2，再结合对勾函数的性质，即可求解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，函数的对称性，属于中档题．
在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x+t|的图象，结合新定义，根据f(x)=min{|x|,|x+t|}的对称性，可得答案．
【解答】
解：如图，
在同一个坐标系中画出两个函数y=|x|与y=|x+t|的图象，
函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象为两个图象中较低的一个，
分析可得其图象关于直线x=−t2对称，
要使函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线x=−12对称，则t的值为t=1．
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，(x−2y−1)5的展开式中含x2y2的项为C52x2⋅C32(−2y)2⋅(−1)=−120x2y2，
所以含x2y2的项的系数为−120．
故选：A．
利用二项式定理求解即可．
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了学生对基础知识的掌握，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①8排在第一位，则第二个数字也是8，再从剩下的4个位置中选出2个，安排两个2，最后安排7和1，
此时有C42A22=12个不同的密码；
②8不排成第一位，则第一位安排7或1，将两个8看成一个整体，与两个2和7或1中剩下的数排列，
此时有12C21A44=24个不同的密码；
则一共有12+24=36个不同的密码．
故选：C．
根据题意，分2种情况讨论：①8排在第一位，②8不排成第一位，由加法原理计算可得答案．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，分别取棱AA1，A1D1的中点E，F，点G为EF上一个动点，如图，
∵点E，F分别是棱AA1，A1D1的中点，∴EF//AD1，
∵EF⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，
∴EF//平面ACD1，
∴点G到平面ACD1的距离即为点E或F到平面ACD1的距离．
∵该正方体的棱长为4，
∴AD1=AC=CD1=4 2，∴△ACD1为等边三角形，
∴S△ACD1=12×4 2×4 2× 32=8 3，
S△FAD1=12×2×4=4，
设F到平面ACD1的距离为d，
则VF−ACD1=VC−FAD1，即13S△ACD1d=13S△FAD1×4，
∴13×8 3d=13×4×4，解得d=2 33，
∴点G到平面ACD1的距离为2 33．
故选：A．
根据已知条件做出图形，利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理，结合等体积法能求出点G到平面ACD1的距离．
本题考查正方体结构特征、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，由于X～N(1,2)，所以D(X)= 2，根据方差的性质，D(2X+2)=22D(X)=4 2，故A错误；
对于B，X服从二项分布B(2,p)，
∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C21p(1−p)+p2=2p−p2=59，
解得p=13，
∴P(Y<0)=16，根据正态分布的对称性可得，P(2
对于D，X服从二项分布B(4,13)，根据二项分布方差公式得，D(X)=np(1−p)=4×13×23=89，故D正确．
故选：BCD．
根据正态分布的性质、超几何分布的期望公式、二项分布方差的运算公式，结合方差的性质逐一判断即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了超几何分布的期望公式，以及二项分布的方差公式，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：由于在(ax−1 x)n(a>0)的展开式中，各项系数和与二项式系数和相等均为64，则2n=64，解得：n=6；
对于A：当x=1时，各项的系数和为(a−1)6=64，解得a=3，故A正确；
对于B：由于二项展开式一共有7项，故二项式系数的最大项为第四项，故B错误；
对于C：展开式的通项公式Tr+1=C6r⋅(3x)6−r⋅(−1)r⋅x−r2=C6r⋅36−r⋅(−1)r⋅x6−3r2，由于0≤r≤6，当r=0，2，4，6时，为有理项，故C错误；
对于D：根据二项展开式，展开式的系数有正有负，且第2，4，6项为负值，
第二项的展开式的系数为−C61⋅35=−1485，第四项的系数为−C63⋅33=−540，第六项的系数为−C65⋅31=−18，故第二项的系数为最小值，故D正确．
故选：AD．
直接利用二项式的展开式及组合数判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：底面ABCD为边长是2的正方形，半圆面APD⊥底面ABCD.点P为半圆弧AD上(不含A，D点)的一动点，
对A，因为半圆面APD⊥底面ABCD，AB⊥AD，面APD⋂底面ABCD=AD，AD⊂底面ABCD，
根据面面垂直的性质定理，所以AB⊥平面APD，
又因为AP，PD⊂平面APD，所以AB⊥AP，AB⊥PD，
又由圆的性质，AP⊥PD，则BP⋅PD=(AP−AB)⋅PD=AP⋅PD−AB⋅PD=0−0=0，
所以BP⋅PD的数量积恒为0，故A正确；
对B，设点P到平面BCD的距离为h，底面积S△BCD=2，
显然当点P为弧AD中点时h最大，此时棱锥的体积最大，VP−BCD=13S△BCD⋅h≤13×2×1=23，
则三棱锥P−BCD体积的最大值为23，故B正确；
对C，AB⋅PB=AB⋅(PA+AB)=AB⋅PA+AB2=AB2=4，
则存在点P，使得AB⋅PB=4，故C错误；
对D，因为DB⋅DP=|DB|⋅|DP|cs∠PDB，
又DB⋅DP=(DP+PA+AB)⋅DP=|DP|2+0+0=|DP|2，
所以|DB|⋅|DP|cs∠PDB=|DP|2，|DB|=2 2，
所以cs∠PDB=|DP||DB|= 24|DP|，
所以S△BDP=12|BD||DP|sin∠PDB=12×|BD||DP| 1−cs2∠PDB
=12×2 2|DP| 1−( 24|DP|)2=|DP|⋅ 8−|DP|22，
在Rt△APD中，sin∠ADP=|AP||AD|= 4−|DP|22，
设点P到平面ABD的距离为h1，点A到平面BPD的距离为h2，
半圆面APD⊥底面ABCD.点P为半圆弧AD上(不含A，D点)的一动点，
作PE⊥AD于E，因为面APD⊥底面ABCD，根据面面垂直的性质定理，所以PE⊥面ABCD，
所以h1=|PE|=|DP|⋅sin∠PDA=|DP|⋅ 4−|DP|22，
因为VP−ABD=VA−BPD，利用等体积思想，即13S△ABDh1=13S△BPDh2，
所以23×|DP|⋅ 4−|DP|22=13×|DP|⋅ 8−|DP|22⋅h2，
设|DP|=t∈(0,2)，则h2=2 4−t2 8−t2= 4−168−t2，
∵8−t2∈(4,8)，∴h2∈(0, 2)，
则点A到平面BPD的距离取值范围为(0, 2)，故D正确，
综上所述，选项ABD正确．
故选：ABD．
由面面垂直的性质结合平面向量的运算可判断A；由棱锥的体积公式结合高h的范围可判断B；由向量的线性运算，PB=PA+AB，再由数量积运算可判断C；由等体积法得出点A到平面BPD的距离取值范围，可判断D．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为a=(0,1,−1)，n=(1,−1,−1)，
则a⋅n=(0,1,−1)⋅(1,−1,−1)=0×1+1×(−1)+(−1)×(−1)=0，
所以a⊥n，则l//α，或l⊂α，故A错误；
对于B，因为a=(−9,4,−4)，b=(1,2,2)，则b方向上的单位向量b|b|=13(1,2,2)=(13,23,23)，
则a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−9×1+4×2+(−4)×23⋅(13,23,23)=(−1,−2,−2)，故B正确；
对于C，因为f(x+1)为奇函数，则f(0+1)=f(1)=0，
又f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(−x+2)，
f(x)=f(−x+4)，所以f(3)=f(1)=0，故C正确；
对于D，因为函数f(x)=x,x
故选：BC．
对于A，可先判断向量关系，进而判定直线和平面的位置关系；对于B，根据投影向量公式计算即可；对于C，根据条件求出f(x)的周期，进一步计算即可；对于D，根据函数的单调性，列出条件，求解即可．
本题考查命题真假的判断，涉及空间向量的运算和函数单调性、对称性等知识点，属于中档题．
13.【答案】Cn+km
【解析】解：根据题意，(1+x)n+k中xm的系数与(1+x)n(1+x)k中xm的系数相等，
对于(1+x)n+k，一共有n+k个(1+x)因式，从中选出m个x的方法有Cn+km种，
则对应的项为Cn+km1n+k−mxm=Cn+kmxm，所以xm的系数为Cn+km；
对于(1+x)n(1+x)k，1≤k
则对应的项为Ck01kx0Cnm1n−mxm=Cnmxm，此时xm的系数为Cnm；
从(1+x)k中选出1个x，从(1+x)n中选出m−1个x的方法有Ck1Cnm−1种，
则对应的项为Ck11k−1x1Cnm−11n−m+1xm−1=Ck1Cnm−1xm，此时xm的系数为Ck1Cnm−1；
从(1+x)k中选出2个x，从(1+x)n中选出m−2个x的方法有Ck2Cnm−2种，
则对应的项为Ck21k−2x2Cnm−21n−m+2xm−2=Ck2Cnm−2xm，此时xm的系数为Ck2Cnm−2；
…
从(1+x)k中选出k个x，从(1+x)n中选出m−k个x的方法有CkkCnm−k种，
则对应的项为Ckk10xkCnm−k1n−m+kxm−k=CkkCnm−kxm，此时xm的系数为CkkCnm−k；
综上：(1+x)n(1+x)k中所有含xm的项合并后的系数为Ck0Cnm+Ck1Cnm−1+Ck2Cnm−2+⋯+CkkCnm−k，
所以Cn+km=Ck0Cnm+Ck1Cnm−1+Ck2Cnm−2+⋯+CkkCnm−k，(1≤k
根据题意，(1+x)n+k中xm的系数与(1+x)n(1+x)k中xm的系数相等，从而利用组合的相关知识分别求得两式中xm的系数，通过系数对比算出答案．
本题主要考查二项定理及其应用、多项式乘法的原理、组合数公式的应用等知识，属于中档题．
14.【答案】x2−2|x|(满足条件即可)
【解析】解：根据题意f(x)=x2−2|x|定义域为R，且为偶函数，与x轴分别有(−2,0)，(0,0)，(2,0)三个公共点，满足题意．
故答案为：x2−2|x|(满足条件即可)．
写出一个符合题意的函数即可．
本题考查根据函数性质寻找函数解析式，属于基础题．
15.【答案】 14
【解析】解：因为四边形ABCD和四边形CDEF都是正方形，所以DE⊥DC，DA⊥DC，
所以∠ADE即为二面角A−CD−E的平面角，即∠ADE=60°．
因为N是对角线DF的中点，所以DN=12DF=12(DE+DC)，
又因为M是对角线AC靠近点A的三等分点，
所以AM=13AC=13(DC−DA)．
所以DM=DA+AM=DA+13(DC−DA)=13DC+23DA，
所以MN=DN−DM=12(DC+DE)−(13DC+23DA)=−23DA+16DC+12DE，
所以MN2=(−23DA+16DC+12DE)2
=49DA2+136DC2+14DE2−29DA⋅DC−23DA⋅DE+16DC⋅DE
=49×36+136×36+14×36−0−23×6×6×12+0=14．
所以|MN|= 14，即线段MN= 14．
故答案为： 14．
用DA,DC,DE表示MN，平方求模长即可．
本题考查了二面角的定义以及空间中两点间距离的计算，也考查了向量的应用，是中档题．
16.【答案】(−∞,−2]
【解析】解：当x∈[2,3]时，函数y=x单调递增，且y=−3x也单调递增，
所以当x∈[2,3]时，函数f(x)=x−3x单调递增，
则当p∈[2,3]时，f(p)max=f(3)=3−33=2，
因为对任意的p∈[2,3]，q∈[1,5]，都有f(p)≤g(q)，
等价于对任意的q∈[1,5]，都有3≤g(q)，即q2−mq≥3，所以m≤q−3q，
令h(q)=q−3q，其中q∈[1,5]，由函数f(x)的单调性可知，
h(q)在[1,5]单调递增，则h(q)min=h(1)=1−31=−2，
所以m≤−2．
故答案为：(−∞,−2]．
根据题意，判断函数f(x)的单调性，从而可得函数f(x)在[2,3]的最大值，然后将问题转化为对任意的q∈[1,5]，都有3≤g(q)，分离参数，即可得到结果．
本题利用单调性研究函数的最值，解决不等式恒成立问题，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当x=1时，则a0+a1+⋯+a7=37，
当x=0时，则a0=1，
所以a1+a2+⋯+a7=37−1，
(2)当x=−1时，则a0−a1+a2−a3+⋯−a7=−1，
所以(a0+a2+a4+a6)2−(a1+a3+a5+a7)2
=(a0+a1+⋯+a7)(a0−a1+a2+⋯−a7)=37⋅(−1)=−37．
【解析】(1)分别令x=0，x=1建立方程组，由此即可求解；(2)令x=−1，结合(1)，化简即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法，属于基础题．
18.【答案】解：(1)根据题意可得χ2=100×(25×40−15×20)240×60×45×55≈8.249>6.635，
∴有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关；
(2)“从所有购买两款手机的人中，选出4人“可以看成4次独立重复试验，
且每次选出的购买A款手机的概率为40100=25，
设选出的4人中购买A款手机的人数为X，则X～B(4,25)，
∴P(X=0)=C40⋅(1−25)4=81625，P(X=1)=C41×25×(1−25)3=216625，
∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=81625+216625=297625，
即4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率为297625．
【解析】(1)计算χ2的值，再与临界值比较，从而得解；
(2)根据二项分布及互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解．
本题考查独立性检验原理的应用，二项分布的概率问题，互斥事件的并事件的概率加法公式的应用，属中档题．
19.【答案】解：(1)设“至少演唱1首摇滚歌曲”为事件A，则事件A的对立事件A−为“没有1首摇滚歌曲被演唱”，
所以P(A)=1−P(A−)=1−C54C84=1314；
(2)设乐队共演唱Y首摇滚歌曲，Y的所有可能值为0，1，2，3，
则P(Y=k)=C3kC54−kC84，(k=0,1,2,3)，
P(Y=0)=C54C84=114，P(Y=1)=C31C53C84=37，P(Y=2)=C32C52C84=37，P(Y=3)=C33C51C84=114，
因为X=aY+2a(4−Y)=a(8−Y)，当Y=0，1，2，3时，对应X=8a，7a，6a，5a，
即X的所有可能值为：5a，6a，7a，8a，
P(X=8a)=P(Y=0)=114，P(X=7a)=P(Y=1)=37，P(X=6a)=P(Y=2)=37，P(X=5a)=P(Y=3)=114，
所以X的分布列为：
【解析】(1)根据给定条件求出没有1首摇滚歌曲被演唱的概率，再借助对立事件的概率公式计算即得；
(2)求出4首歌曲中演唱摇滚歌曲数Y的分布，再求互动指数之和X的分布列即可得解．
本题考查了“超几何分布列”的概率计算公式数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓，故y=a+blnx适宜作为y关于x的回归方程类型．
令u=lnx，得y=a+bu，于是b=i=15(ui−u−)(yi−y−)i=15(ui−u−)2=，
因为i=15ui≈4.79,i=15yi≈62，所以u−=0.958,y−=12.4，
所以a=y−−b⋅u−=12.4−0.958×12=0.904,y=0.904+12u，
即y=0.904+12lnx；
(2)(i)设A=“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，
B1=“随机抽取一件药品为第1条生生产线生产”，B2=“随机抽取一件药品为第2条生生产线生产”，
则P(B1)=23，P(B2)=13，
又P(A|B1)=0.012，P(A|B2)=0.009，
于是P(A)=P(A∩(B1∪B2))=P(AB1∪AB2)=P(AB1)+P(AB2)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=23×0.012+13×0.009=0.011；
(ii)P(B1|A)=P(AB1)P(A)=P(B1)P(A|B1)P(A)=23×．
【解析】(1)判断出y=a+blnx适宜作为y关于x的回归方程类型，利用公式求出y关于x的回归方程；
(2)(i)设出事件，利用全概率公式进行求解，(ii)在第一问的基础上，利用条件概率进行求解．
本题考查了回归方程以及条件概率的计算，属于中档题．
21.【答案】解：(1)单调递增；
证明：设x1>x2>0，
则x1x2>1，所以f(x1x2)>1，
∵f(x1)−f(x2)=f(x1x2⋅x2)−f(x2)=f(x1x2)+f(x2)−1−f(x2)=f(x1x2)−1>0
∴函数y=f(x)在定义域内单调递增；
(2)要使不等式有意义f(kx+3)+f(x+1)>2，
∵f(1)+f(1)=f(1)+1⇒f(1)=1，
∴f(kx+3)+f(x+1)=f[(kx+3)(x+1)]+1>2⇒f((kx+3)(x+1))>1，
即f[(kx+3)(x+1)]>f(1)，
所以原不等式恒成立可转化为kx2+(3+k)x+2>0在[13,3]上恒成立，
显然，当k≥0时，不等式kx2+(3+k)x+2>0，
当−1
【解析】(1)根据单调性的定义设x1>x2>0，作差f(x1)−f(x2)判断符号，即可得单调性；
(2)先化简抽象不等式，利用单调性可得kx2+(3+k)x+2>0在[13,3]上恒成立，利用二次函数的性质可得出结果
本题考查了对函数单调性的判断及证明、转化思想、二次函数的性质，属于中档题．
22.【答案】证明：在图①中，
因为DC//AB,CD=12AB,E为AB中点，
所以DC//AE，DC=AE，
所以ADCE为平行四边形，
所以AD=CE=CD=AE=2，
同理可证DE=2，
在图②中，取DE中点O，连接OA,OC,OA=OC= 3，
因为AD=AE=CE=CD，所以DE⊥OA，DE⊥OC，
因为OA∩OC=O，所以DE⊥平面AOC，
因为AC⊂平面AOC，
所以DE⊥AC；
(2)若选择①：因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE且交线为OC，
所以过点A作AH⊥OC，
则AH⊥平面BCDE，
因为SBCDE=2 3，
所以四棱锥A−BCDE的体积VA−BCDE=2=13×2 3⋅AH，
所以AH= 3=OA，所以AO与AH重合，所以AO⊥平面BCDE，
建系如图，则O(0,0,0),C(− 3,0,0),E(0,1,0),A(0,0, 3)，
平面DAE法向量为CO=( 3,0,0)，
设平面AEC法向量为n=(x,y,z)，
因为CE=( 3,1,0),CA=( 3,0, 3)，
所以 3x+y=0 3x+ 3z=0，得n=(1,− 3,−1)，
设二面角D−AE−C的大小为θ，
则csθ=|CO⋅n|CO|⋅|n||= 3 3× 5= 55，
所以二面角D−AE−C的余弦值为 55；
若选择②：因为DC//EB，所以∠ACD即为异面直线AC与EB所成角，
在△ADC中，cs∠ACD=AC2+4−44AC= 64，
所以AC= 6，
所以OA2+OC2=AC2，即OA⊥OC，
因为DE⊥平面AOC，DE⊂平面BCDE，
所以平面AOC⊥平面BCDE且交线为OC，
所以AO⊥平面BCDE，
建系如图，
则O(0,0,0),C(− 3,0,0),E(0,1,0),A(0,0, 3)，
平面DAE法向量为CO=( 3,0,0)，
设平面AEC法向量为n=(x,y,z)，
因为CE=( 3,1,0),CA=( 3,0, 3)，
所以 3x+y=0 3x+ 3z=0，得n=(1,− 3,−1)，
设二面角D−AE−C的大小为θ，
则csθ=|CO⋅n|CO|⋅|n||= 3 3× 5= 55，
所以二面角D−AE−C的余弦值为 55．
【解析】(1)通过证明线面垂直来证得AC⊥DE．
(2)选①，结合四棱锥A−BCDE的体积，证得AO⊥平面BCDE；选②，结合直线AC与EB所成角的余弦值，证得AO⊥平面BCDE；由此建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角D−AE−C的余弦值．
本题考查了线线垂直的证明以及二面角的求解，属于中档题．购买A款
购买B款
总计
女
25
20
45
男
15
40
55
总计
40
60
100
P(χ2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
5a
6a
7a
8a
P
114
37
37
114
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