满分之路（备战2024高考）高考数学二轮复习之必刷小题11　数　列

这是一份满分之路（备战2024高考）高考数学二轮复习之必刷小题11　数　列，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

必刷小题11 数 列
一、单项选择题
1．数列－eq \f(1,5)，eq \f(1,7)，－eq \f(1,9)，eq \f(1,11)，…的通项公式可能是an等于( )
A.eq \f(－1n－1,2n＋3) B.eq \f(－1n,3n＋2)
C.eq \f(－1n－1,3n＋2) D.eq \f(－1n,2n＋3)
答案 D
解析 由a1＝－eq \f(1,5)，排除A，C；由a2＝eq \f(1,7)，排除B；分母为奇数列，分子为(－1)n，故D正确．
2．已知数列{an}为等比数列，公比为q，若a5＝4(a4－a3)，则q等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 由题意，得a1q4＝4(a1q3－a1q2)，解得q＝2.
3．在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 由a2＝4，a6＝64，得q4＝eq \f(a6,a2)＝16(q>0)，
所以q＝2，a1＝2，
所以510＝eq \f(21－2n,1－2)，解得n＝8.
4．定义[x]表示不超过x的最大整数，若数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则等式eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a1,5)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a2,5)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a3,5)))＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a10,5)))等于( )
A．30 B．29 C．28 D．27
答案 D
解析 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a1,5)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a2,5)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a3,5)))＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(a10,5)))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,5)))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8,5)))＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(29,5)))＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(3×1)＋(4×2)＋(5×2)＝27.
5．等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝12，则{an}的前8项和为( )
A．90 B．30(eq \r(2)＋1)
C．45(eq \r(2)＋1) D．72
答案 A
解析 等比数列{an}中，a1＋a2＝6，
a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝12，
∴q2＝2，a5＋a6＝(a3＋a4)q2＝24，同理a7＋a8＝48，
则{an}的前8项和a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋12＋24＋48＝90.
6．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lg an}与{lg bn}的前n项和，且eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(n＋1,2n)，则等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(9,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(5,3)
答案 D
解析 因为数列{an}，{bn}都是正项等比数列，所以数列{lg an}与{lg bn}为等差数列，
因为eq \f(Sn,Tn)＝eq \f(n＋1,2n)，所以eq \f(S5,T5)＝eq \f(lga1·a2·…·a5,lgb1·b2·…·b5)＝eq \f(lg a\\al(5,3),lg b\\al(5,3))
＝＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
则＝eq \f(5,3).
7．(2022·新高考全国Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为eq \f(DD1,OD1)＝0.5，eq \f(CC1,DC1)＝k1，eq \f(BB1,CB1)＝k2，eq \f(AA1,BA1)＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于( )
A．0.75 B．0.8
C．0.85 D．0.9
答案 D
解析 设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，
则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
依题意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，
且eq \f(DD1＋CC1＋BB1＋AA1,OD1＋DC1＋CB1＋BA1)＝0.725，
所以eq \f(0.5＋3k3－0.3,4)＝0.725，
故k3＝0.9.
8．等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝－5，a3＝－1.记bn＝eq \f(Sn,an)(n＝1,2，…)，则数列{bn}的( )
A．最小项为b3 B．最大项为b3
C．最小项为b4 D．最大项为b4
答案 C
解析 等差数列{an}中，a1＝－5，a3＝－1，
所以d＝2，an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，Sn＝－5n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2－6n，
则bn＝eq \f(Sn,an)＝eq \f(nn－6,2n－7)，令f(x)＝eq \f(x2－6x,2x－7)，x>0，则f′(x)＝eq \f(2x2－7x＋21,2x－72)>0，
故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)，＋∞))上单调递增，没有最大值，
因为b1＝1，b3＝9，b4＝－8，结合数列的函数特性易得，当n＝4时，bn取得最小值．
二、多项选择题
9．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
答案 BC
解析 由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，
S15＝eq \f(15\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a15)),2)＝15a8为定值，
但S16＝eq \f(16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a16)),2)＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a8＋a9))不是定值．
10．下列说法正确的是( )
A．任意等差数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等差数列
B．存在等差数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等差数列
C．任意等比数列{an}和{bn}，数列{an＋bn}是等比数列
D．存在等比数列{an}和{bn}，数列{anbn}是等比数列
答案 ABD
解析 A项，若{an}和{bn}都是等差数列，不妨设an＝k1n＋b1，bn＝k2n＋b2，
故可得an＋bn＝(k1＋k2)n＋b1＋b2，则an＋1＋bn＋1＝(k1＋k2)(n＋1)＋b1＋b2，
则an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝k1＋k2，故数列{an＋bn}是等差数列，故A正确；
B项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等差数列，故B正确；
C项，若{an}和{bn}是等比数列，设an＝a1qeq \\al(n,1)，bn＝b1qeq \\al(n,2)，故可得an＋bn＝a1qeq \\al(n,1)＋b1qeq \\al(n,2)，an＋1＋bn＋1＝a1qeq \\al(n＋1,1)＋b1qeq \\al(n＋1,2)，则eq \f(an＋1＋bn＋1,an＋bn)＝eq \f(a1q\\al(n＋1,1)＋b1q\\al(n＋1,2),a1q\\al(n,1)＋b1q\\al(n,2))，不是常数，故{an＋bn}不是等比数列，故C错误；
D项，设数列{an}是数列1,1,1；数列{bn}是数列2,2,2，故可得数列{anbn}是数列2,2,2，是等比数列，故D正确．
11．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有( )
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2))
答案 ABD
解析 由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，
当n≥2时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
可得an＋1＝3an，即eq \f(an＋1,an)＝3(n≥2)，
又a1＝1，则a2＝2S1＝2a1＝2，所以eq \f(a2,a1)＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,2·3n－2，n≥2.))
当n≥2时，Sn＝eq \f(an＋1,2)＝eq \f(2·3n－1,2)＝3n－1，
又S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，
又eq \f(Sn＋1,Sn)＝eq \f(3n,3n－1)＝3，
所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的．
12．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若an>0，a1＝eq \f(1,2)，Sn<2，则{an}的公比可取的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,5) C.eq \f(4,5) D．2
答案 AB
解析 设等比数列{an}的公比为q，则q≠1.
∵an>0，a1＝eq \f(1,2)，Sn<2，
∴{an}是递减数列，eq \f(1,2)×qn－1>0，eq \f(\f(1,2)1－qn,1－q)<2，
∴1>q>0且1≤4－4q，解得0∴{an}的公比的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))，
故{an}的公比可取的值为eq \f(1,4)或eq \f(1,5).
三、填空题
13．已知数列{an}满足a1＝1，eq \f(1,1＋an＋1)－eq \f(1,1＋an)＝1，则a5＝________.
答案 －eq \f(7,9)
解析 ∵eq \f(1,1＋an＋1)－eq \f(1,1＋an)＝1，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋an)))是以eq \f(1,1＋a1)＝eq \f(1,2)为首项，1为公差的等差数列，
∴eq \f(1,1＋an)＝eq \f(1,2)＋(n－1)×1＝n－eq \f(1,2)，∴eq \f(1,1＋a5)＝5－eq \f(1,2)＝eq \f(9,2)，解得a5＝－eq \f(7,9).
14．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
答案 2
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S奇＝－80，,S偶＝－160，))
所以q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(－160,－80)＝2.
15．在数列{an}中，a1＝2，且nan＋1＝(n＋2)an，则an＝________.
答案 n(n＋1)
解析 由已知得，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋2,n)，则有eq \f(a2,a1)＝eq \f(3,1)，eq \f(a3,a2)＝eq \f(4,2)，eq \f(a4,a3)＝eq \f(5,3)，…，eq \f(an－1,an－2)＝eq \f(n,n－2)，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n－1)，将这(n－1)个等式相乘得，eq \f(an,a1)＝eq \f(nn＋1,1×2)，则an＝n(n＋1)．
16．已知数列{an}的前n项和为Sn.且a1＝1，{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列，则a2＋a4＋…＋a2n＝________.
答案 eq \f(9n－1,4)
解析 S1＝a1＝1，则lg S1＝lg 1＝0，
∵{lg Sn}是公差为lg 3的等差数列，
∴lg Sn＝(n－1)lg 3＝lg 3n－1，则Sn＝3n－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－3n－2＝2×3n－2，
a2＝2，当n≥2时，eq \f(an＋1,an)＝eq \f(2×3n－1,2×3n－2)＝3，∴数列{an}自第二项起构成公比为3的等比数列，可得a2＋a4＋…＋a2n＝eq \f(21－9n,1－9)＝eq \f(9n－1,4).