高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时综合训练题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·基础自测
一、选择题
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( B )

[解析] 根据题意知，这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A，D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( A )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[解析] 因为f(1)＝2，所以由f(a)＋f(1)＝0，得f(a)＝－2，
所以a肯定小于0，则f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.
3．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3，x>10，,f[fx＋5]，x≤10，))则f(5)的值是( A )
A．24 B．21
C．18 D．16
[解析] f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21，∴f(5)＝f(21)＝24.故选A．
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋6，x≥0，,x＋6，x<0，))则不等式f(x)>f(1)的解集是( A )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
[解析] 画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A．
5．(多选题)已知狄利克雷函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x是有理数，,0，x是无理数，))则下列结论正确的是( BC )
A．f(x)的值域为[0,1]
B．f(x)的定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x)
D．f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
[解析] 对于A，f(x)的值域为{0,1}，故A错误；
对于B，f(x)的定义域为R，故B正确；
对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f(x＋1)＝f(x)成立，故C正确；
对于D，因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，所以f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，故D错误．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2，x<1，,x2－ax，x≥1，))若f[f(0)]＝a，则实数a＝ eq \f(4,3)_.
[解析] 依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f[f(0)]＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝eq \f(4,3).
7．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1))_.
[解析] 由题图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋b＝0，,b＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，))即f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则k＝－1，即f(x)＝－x.
综上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x＜0，,－x，0≤x≤1.))
8．函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x>0，,－2，x<0))的定义域为_(－∞，0)∪(0，＋∞)_，值域为_{－2}∪(0，＋∞)_.
[解析] 由题目解析式中的信息可知，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)；当x<0时，y＝－2，当x>0时，x2>0，y＝x2∈(0，＋∞)；∴函数的值域为{－2}∪(0，＋∞)．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2＋eq \f(x－2|x|,3)(－2＜x≤3)．
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
[解析] (1)当0＜x≤3时，f(x)＝2＋eq \f(x－2x,3)＝2－eq \f(x,3)，
当－2＜x≤0时，f(x)＝2＋eq \f(x＋2x,3)＝x＋2，
综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，－2＜x≤0，,2－\f(x,3)，0＜x≤3.))
(2)图象过点(－2,0)，(0,2)，(3,1)，
其中点(－2,0)是空点，(0,2)和(3,1)是实心点，函数f(x)的图象如图所示：
(3)由图得函数f(x)的值域为(0,2]．
10．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,2x，－1(1)求f(－3)，feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))))的值；
(2)若f(a)＝2，求a的值．
[解析] (1)因为－3<－1，所以f(－3)＝－3＋2＝－1.
因为－1又3>2，所以feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))))＝f(3)＝eq \f(9,2).
(2)当a≤－1时，由f(a)＝2，得a＋2＝2，a＝0，舍去；
当－1当a≥2时，由f(a)＝2，
得eq \f(a2,2)＝2，a＝2或a＝－2(舍去)．
综上所述，a的值为1或2.
B 组·能力提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2x≤1，,x2＋x－2x>1，))则feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f2)))的值为( A )
A．eq \f(15,16) B．－eq \f(27,16)
C．eq \f(8,9) D．18
[解析] ∵x>1时，f(x)＝x2＋x－2，
∴f(2)＝22＋2－2＝4，
∴eq \f(1,f2)＝eq \f(1,4)，
∴feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,f2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))，
又∵x≤1时，f(x)＝1－x2，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝1－eq \f(1,16)＝eq \f(15,16)，
故选A．
2．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤0，,2x，x>0，))若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a))＝10，则a＝( C )
A．－3或3 B．3或5
C．－3或5 D．3
[解析] 由题意，当a≤0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a))＝a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；
当a>0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a))＝2a＝10，解得a＝5；
综上，a＝－3或a＝5，故选C．
3．(多选题)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2，－1＜x＜2，))关于函数f(x)的结论正确的是( BC )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若f(x)＝3，则x的值是eq \r(3)
D．f(x)＜1的解集为(－1,1)
[解析] 由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1＜x＜2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(－∞，4)，故B正确；当x≤－1时，x＋2＝3，解得x＝1(舍)．当－1＜x＜2时，x2＝3，解得x＝eq \r(3)或x＝－eq \r(3)(舍)，故C正确；当x≤－1时，x＋2＜1，解得x＜－1，当－1＜x＜2时，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f(x)＜1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D错误．
二、填空题
4．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x≤2，,2xx>2，))若f(x0)＝8，则x0＝ －eq \r(6)或4_.
[解析] 当x0≤2时，xeq \\al(2,0)＋2＝8，∴xeq \\al(2,0)＝6，
∴x0＝±eq \r(6)，
∵x0≤2，∴x0＝－eq \r(6).当x0>2时，2x0＝8，x0＝4.
综上可知x0＝－eq \r(6)或4.
5．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1x≥0，,0x＜0，))则不等式xf(x)＋x≤2的解集是_{x|x≤1}_.
[解析] 当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2，知x≤1，
∴0≤x≤1；
当x＜0时，f(x)＝0，知x≤2，∴x＜0.
综上，不等式的解集为{x|x≤1}．
三、解答题
6．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系：第x(1≤x≤30，x∈N＋)天的销售价格(单位：元/件)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20＋x，1≤x≤10，,40－x，10＜x≤30，))第x天的销售量(单位：件)为g(x)＝a－x(a为常数)，且在第10天该商品的销售收入为600元(销售收入＝销售价格×销售量)．
(1)求a的值，并求第15天该商品的销售收入；
(2)求在这30天中，该商品日销售收入y的最大值．
[解析] (1)当x＝10时，由f(10)·g(10)＝(20＋10)(a－10)＝600，解得a＝30.
从而可得f(15)g(15)＝25×15＝375(元)，
即第15天该商品的销售收入为375元．
(2)由题意可知y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20＋x30－x，1≤x≤10，,40－x30－x，10＜x≤30，))
即y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋10x＋600，1≤x≤10，,x2－70x＋1 200，10＜x≤30，))
当1≤x≤10时，y＝－x2＋10x＋600＝－(x－5)2＋625，
故当x＝5时y取最大值，ymax＝625，
当10＜x≤30时，y＜102－70×10＋1 200＝600，
故当x＝5时，该商品日销售收入最大，最大值为625元．
C 组·创新拓展
已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；
(2)求函数φ(x)的定义域，值域．
[解析] (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.
由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.
令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1.
结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2，x≤－2，,x，－2(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，
∴φ(x)的值域为(－∞，1]．