【期中真题】湖北省武汉市常青联合体2022-2023学年高二上学期期中数学试题.zip

武汉市常青联合体2022-2023学年度第一学期期中考试

高二数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 点关于y轴的对称点的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系关于坐标轴对称点的坐标意义求解作答.

【详解】点关于y轴的对称点的坐标.

故选：C

2. 2022年7月24日，搭载问天实验舱的长征五号B遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，我国的航天事业又上了一个新的台阶．某市长虹中学现有高一学生440人，高二学生400人，高三学生420人，为了调查该校学生对我国航天事业的了解程度，现从三个年级中采用分层抽样的方式抽取63人填写调查问卷，则高二年级被抽中的人数为（    ）

A. 20 B. 21 C. 22 D. 23

【答案】A

【解析】

【分析】求出三个年级学生人数的比例，从而求出高二年级被抽中的人数.

【详解】高一，高二，高三三个年级学生人数的比例为，

所以高二年级被抽中的人数为，

故选：A

3. “知名雪糕放1小时不化”事件曝光后，某市市场监管局从所管辖十五中、十七中、常青一中三校周边超市在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查．在这个问题中，18是（    ）

A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本量

【答案】D

【解析】

【分析】根据抽样调查中总体、个体、样本、样本容量的概念，即可判断.

【详解】总体：我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；

个体：把组成总体的每个对象称为个体；

样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本；

样本量：样本中个体的个数叫样本容量，其不带单位；

在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查，在这个问题中，28种雪糕是总体，每一种雪糕是个体，18种雪糕是样本，18是样本量；

故选：D.

4. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ）

A. 0.55，0.55 B. 0.55，0.5 C. 0.5，0.5 D. 0.5，0.55

【答案】B

【解析】

【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，

那么出现正面朝上的频率为 ,

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是,

故出现正面朝上的概率为 ,

故选︰B．

5. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，则两人都脱靶的概率为（    ）

A. 0.56 B. 0.5 C. 0.38 D. 0.06

【答案】D

【解析】

【分析】先求出甲乙两名运动员都没有中靶的概率，进而可得两人都脱靶的概率．

【详解】甲乙两名运动员都没有中靶的概率为：.

故选：D．

6. 关山中学为了调查该校学生对于新冠肺炎疫情防控的了解情况，组织了一次新冠肺炎疫情防控知识竞赛，并从该学校1200名参赛学生中随机抽取了100名学生，并统计了这100名学生成绩情况（满分100分，其中90分及以上为优秀），得到了样本频率分布直方图，根据频率分布直方图推测，这1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约为（    ）

A. 8 B. 28 C. 96 D. 336

【答案】C

【解析】

【分析】从频率分布直方图可求出优秀的学生所占比例，从而求出1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数.

【详解】从频率分布直方图可求出优秀的学生所占比例为，

故这1200名学生中竞赛成绩为优秀的学生人数大约有，

故选：C

7. 如图，在四面体中，且，用表示，则等于（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间向量基本定理，用表示出.

【详解】因为，

所以，，

故

故选：C

8. 在人教社数学A版必修一的主编寄语中，“学数学趁年轻”这句话打动了江夏实验高中学子的心，若将这6个字任意排列，恰好组成“趁年轻学数学”的概率为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将“学数学趁年轻”中6个字排列时相当于从6个位置中选4个先排“数趁年轻”这四个字，由此求出共有多少种排法，符合要求的只有一种，根据古典概型的概率计算可得答案.

【详解】将“学数学趁年轻”中6个字排列时相当于从6个位置中选4个先排“数趁年轻”这四个字，

然后剩余的2个位置排“学”字，两个“学”字排法只有一种，则共有种排法，

其中恰好组成“趁年轻学数学”的排法只有一种，

故恰好组成“趁年轻学数学”的概率为，

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9. 已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（    ）

A. 与共线且同向的单位向量是

B.

C. 与夹角的余弦值是

D. 平面的一个法向量是

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先求出，根据求出与共线且同向的单位向量；验证，可判断B项正误；计算，可判断C项；求出平面的一个法向量，即可判断D项正误.

【详解】由已知得，，，.

与共线且同向的单位向量是，A项正确；

，所以，B项正确；

与夹角的余弦值是，C项正确；

设平面的一个法向量是，则，即，

取，则是平面的一个法向量.

设，显然与不共线，所以D项错误.

故选：ABC.

10. 设为两个互斥的事件，且，则下列各式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据互斥事件的含义可知，判断;根据题意可知，从而，判断C;根据互斥事件的概率加法公式可判断D.

【详解】∵为两个互斥事件，,

∴，即，故A正确，B选项错误，

∵ 为两个互斥事件,则，

∴ 故C选项正确，

∵为两个互斥事件，

∴，故D选项正确．

故选∶．

11. 北京时间2022年9月30日，女篮世界杯半决赛，中国队61：59澳大利亚队，时隔28年再次在半决赛中战胜澳大利亚队挺进决赛．中国队在10名上场球员中，3人得分上双．韩旭拿下全场最高的19分，10投8中，得到11个篮板和5次盖帽；队长杨力维得到18分，送出4次助攻；王思雨得到14分．根据以上信息判断，下列说法中正确的是（    ）

A. 中国队上场的10名球员存在都有得分的可能

B. 中国队上场的10名球员得分的极差不可能为17分

C. 中国队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数

D. 3不可能是中国队上场的10名球员得分的众数

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据已知条件，逐项推理，即可得到选项.

【详解】61-（19+18+14）=10，中国队除3人外，剩余7人得到10分，存在10名球员存在都有得分的可能，A项正确；

中国队除3人外，剩余7人得到10分，若极差为17，则剩余7人最低得分为2分或最高得分为31分，这两种情况都不存在，即上场的10名球员得分的极差不可能为17分，B项正确；

中国队上场的10名球员得分的平均数为，按照分数从小到大排序，则8到10位分数一定是14、18、19，要使中位数大于或等于平均数，则5、6位两队员得分之和应不小于13分，这与7人得到10分不符，显然不可能，故C项正确；

根据已知条件，上场的10名球员得分情况可能为：0，0，1，1，2，3，3，14，18，19.即3可能是中国队上场的10名球员得分的众数.D项错误.

故选：ABC.

12. 如图，正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ）

A.

B. 点P必在线段上

C ∥平面

D. 直线与侧面所成角的正切值的范围为

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A，，

对于B,C,D，如图以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可.

【详解】对于A，因为点在平面，平面∥平面，

所以点到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，

所以，A错误；

对于B，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，且，，

所以,

因为，

所以，所以，即，

所以,

所以，即三点共线，

所以点必线段上，B正确；

对于C，因为,

所以,

设平面的法向量为，则，

令，则，所以，

所以，所以，

所以∥平面，C正确，

对于D，因为,，如图，平面的法向量为，

设与平面夹角为，根据线面角的定义，必为锐角，其正弦值为：

，由于，故

，得，

所以，，故

，故D错误；

故选：BC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在5张彩票中有3张有奖，甲乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为______________．

【答案】##0.6

【解析】

【分析】等于古典概型求概率公式进行求解.

【详解】在5张彩票中有3张有奖，甲乙两人先后从中各任取一张，

在不知道甲是否中奖的前提下，两人中奖的概率相等，都为.

故答案为：

14. 设是空间的一个单位正交基底，且向量，若，则用基底表示向量______________．

【答案】

【解析】

【分析】设，从而根据列出方程组，求出，求出答案.

【详解】设，

则，

故，解得：，故

故答案为：

15. 已知一组数据，的平均数和方差均为4，则的方差为______________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据，的平均数和方差均为4，得到，，从而求出的平均数和方差.

【详解】由题意得：，

解得：，，

且，

解得：，

故的平均数为，

故方差为.

故答案为：1

16. 如图1，是平行四边形，，如图2，把平行四边形沿对角线折起，则三棱锥体积的最大值为______________．若与成角，则的长为______________．

【答案】    ①.     ②. 或

【解析】

【分析】对于①，当平面时，三棱锥体积的最大，故利用三棱锥的体积公式，即可计算求解；对于②，利用，进而得出

，计算求解即可.

【详解】由已知得，对于三棱锥，当平面时，三棱锥体积的最大，由，是平行四边形，可得，，故；

，又因为与成角，故或，且，，

，

故或，

则或

故答案为：①；②或；

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 从至的个整数中随机取个不同的数．

（1）写出所有不同的取法；

（2）求取出的个数互质的概率．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接列出所以不同的取法.

（2）先列出两数互质的取法，运用古典概型公式求概率.

【小问1详解】

从至的个整数中随机取个不同的数，共有以下种不同的取法，

,,,

,.

小问2详解】

两数互质的取法有：

，共11种，

故所求概率．

18. 2022年10月10日，成都世乒赛男团决赛，中国队直落3盘战胜德国队，实现男团十连冠．比赛期间，某高校选派5名志愿者，其中包括2名翻译，1名引导和2名礼仪．若采用抽签的方式，从这5名志愿者中随机选取2人去完成某项工作．

（1）求选中1名翻译和1名引导的概率；

（2）求至少选中1名礼仪的概率．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别设出2名翻译，1名引导和2名礼仪，列出从这5名志愿者中随机选取2人所有的基本事件，然后找出“选中1名翻译和1名引导”事件包含的基本事件，根据古典概型即可求得概率；（2）找出“至少选中1名礼仪”事件包含的基本事件，根据古典概型即可求得概率.

【小问1详解】

记“2名翻译”为，“1名引导”为，“2名礼仪”为.

从这5名志愿者中随机选取2人，所有情况有：，，，，，，，，，共10个基本事件.

设“选中1翻译和1名引导”为事件A，

则事件A包含的基本事件共2种，分别为，，

∴，即选中1名翻译和1名引导的概率为；

【小问2详解】

设“至少选中1名礼仪”为事件B，事件B包含的基本事件共7种，分别为：，，，，，，，

∴，即至少选中1名礼仪的概率为．

19. 某校100名高二学生党史竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，．

（1）求图中a的值；

（2）求这100名学生党史竞赛成绩的第80百分位数；

（3）根据频率分布直方图，估计这100名学生党史竞赛成绩的平均分．

【答案】（1）；   

（2）82.5；    （3）73.

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图，小矩形面积之和为1可求解；（2）第80百分位数指的是频率累计到0.8的点，根据已知，即可求出；（3）根据频率分布直方图求平均数，即每小组的中点值乘以频率加起来即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图可得：，

解得．

【小问2详解】

成绩落在内的频率为，

落在内的频率为，

故第80百分位数落在，设为m，

由，得，故第80百分位数为82.5．

【小问3详解】

由频率分布直方图可得平均分为：

.

20. （1）如图，在三棱锥中，．求证：．

（2）平行六面体中，，，，，，，求对角线的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）选择为基底，用向量表示出已知条件，整理即可得到，即；

（2）选择为基底，根据平行六面体对角线的几何意义，可得.然后可求出，开方即可得到对角线的长．

【详解】（1）证明：选择为基底.

∵，∴，∴

同理由，得

∴，∴

∴

（2）平行六面体中，，

选择为基底，则

∵，，，

∴

∴

则对角线的长为．·

21. 如图，在长方体中，，E为线段的中点，F为线段的中点．

（1）求点到直线的距离；

（2）求直线到直线的距离；

（3）求点到平面的距离．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离公式进行计算；

（2）在第一问的基础上，得到，从而利用空间点到直线距离公式求出直线到直线的距离；

（3）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案.

【小问1详解】

建立如图所示以为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，

则，

，

，

设点到直线的距离为，

∴

则点到直线的距离为．

【小问2详解】

，故

，

设直线到直线的距离为，则即为F到直线的距离；

∴

则直线到直线的距离为．

【小问3详解】

设平面的法向量为，

由，

令，则，所以

设点到平面的距离为，

∴，

则点到平面的距离为．

22. 如图，在三棱锥中，平面，M为棱上的动点．

（1）若M为棱上的中点，求证：∥平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）若与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析.   

（2）.   

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案.

（3）根据与所成角的余弦值确定点M的位置,可得，结合（2）的结论即可求得答案.

【小问1详解】

∵分别为棱上的中点，连接，

∴，又平面，平面，

∴平面

【小问2详解】

∵，∴，又平面

故建立如图所示以为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，

则，

由于，故，

，

设平面的法向量为，

由得，令，则，

∴，

故直线与面所成角的正弦值为．

【小问3详解】

由（2）知,

设,

∴，

∴,

∴，解得（舍）或，即，即，

由（2）得平面的法向量为，

又平面的法向量为，

故由（2）可知，由图可知二面角为钝角，

故所求二面角的余弦值为．