【期中真题】湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题.zip

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湖南省长沙市四校2022-2023学年度第一学期期中联考
高二数学
第I卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点关于坐标轴对称的知识点即可得到答案.
【详解】空间中，点关于轴的对称点，纵坐标相同，横坐标与竖坐标相反，
所以点关于轴的对称点的坐标为.
故选：A
2. 若圆与圆相外切，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两圆外切圆心距等于半径之和求解即可
【详解】的圆心，半径为2，
的圆心，半径为1，
因为两圆外切，
所以，
即，解得，
故选：C
3. 已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，
所以有，
由，得，该圆的半径为，
因为点在圆上运动时，
所以有，于是有，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，
所以点的轨迹方程为，
故选：D
4. 已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量概念求解即可.
【详解】因为空间向量，，
所以
则在上的投影向量坐标是：
故选：B
5. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b，
故选D．
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．
6. 如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，根据题意，将利用线性运算表示成的关系，然后利用待定系数法即可求解出.
【详解】由已知，在平行六面体中，与的交点为，
所以


所以.
故选：C.
7. 已知正方体棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（ ）

A. 若，则异面直线BP与所成角的余弦值为
B. 若，三棱锥的体积不是定值
C. 若，有且仅有一个点P，使得平面
D. 若，则异面直线BP和所成角取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】A：为中点，连接，若分别是中点，连接，找到异面直线BP与所成角为或其补角，求其余弦值；B：在（含端点）上移动，△面积恒定，到面的距离恒定，即可判断；C：若分别是中点，在（含端点）上移动，证明面，易知要使面，则必在面内，即可判断；D构建空间直角坐标系，设，应用向量夹角的坐标表示求，进而判断夹角的范围.
【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，

连接，则，
又且，即为平行四边形，所以，
所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，
而，，，故，错误；
B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，

△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，错误；
C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，

由面，面，则面面，
由，面面，面，
所以面，面，则，同理可证：，
由，、面，故面，
而面面，要使面，则必在面内，
显然面，故错误；
D：由知：在（含端点）上移动，
如下图建系，，，则，
设，则，
所以，令，

当，即时，，此时直线和所成角是；
当，即时，则，
当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：根据向量的线性关系判断的位置，结合异面直线夹角的定义、锥体体积公式、线面垂直的判定及向量夹角的坐标求法，证明或求解线面垂直、体积、异面直线夹角范围等.
8. 已知椭圆的上顶点为，左右焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ）
A. 19 B. 14 C. D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】由离心率为，得到a，b，c之间的关系，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值.
【详解】因为椭圆的离心率为，所以，，

如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于，所以，直线的方程为：，
设点D坐标，点E坐标，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
则，，
所以，
得，.
由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于.
故选：D.
二､多选题､4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则曲线为椭圆 B. 若曲线为双曲线，则或
C. 曲线不可能是圆 D. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.
【详解】对于A, 当时，此时曲线为圆，故A错，
对于B,若曲线为双曲线，则，即或， 故B对，
对于C, 若曲线为圆，则即，故曲线可能是圆，故C错，
对于D, 曲线表示焦点在轴上的椭圆,则，解得，故D对.
故选：BD.
10. 在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；
②的模，(表示向量，的夹角)．
在正方体中，有以下四个结论，正确的有（　　　）

A. B. 与共线
C. D. 与正方体表面积的数值相等
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据所给定义及正方体的性质一一计算可得.
【详解】解：对于A，设正方体的棱长为，在正方体中，
则，
因为，且，所以，
所以，
所以，所以A正确；
对于B，，，，平面，平面，
因为平面，所以，同理可证，
再由右手系知，与同向，所以B正确；
对于C，由，和构成右手系知，与方向相反，
又由模的定义知，，
所以，则，所以C错误；
对于D，正方体棱长为，，
正方体表面积为，所以D对．
故选：ABD．

11. 已知椭圆C：的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若的最小值为，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆C的焦距为1 B. 椭圆C的短轴长为
C. 的最小值为 D. 过点F的圆E的切线斜率为
【答案】BD
【解析】
【分析】求出的值，利用椭圆的定义结合三点共线可求得的值，进一步求出的值，可判断选项AB；利用椭圆的定义结合圆的几何性质可判断C选项；设出切线方程，利用点到直线的距离公式求出切线的方程，可判断D选项.
【详解】对于A，因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，
设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，
所以，
所以，解得或，
因为，所以，即椭圆的焦距为，故A错误；
对于B，由，所以椭圆的短轴长为，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，若过点的直线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意；
设过点的切线方程为，即，则，解得，故D正确.
故选：BD.

12. 如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ）


A. 三棱锥的四个面都是直角三角形
B. 三棱锥的体积最大值为
C. 异面直线与的距离是定值
D. 当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，使用空间中直线、平面垂直有关定理证明；
对于B，三棱锥底面积固定，当高最大时，体积最大，可通过计算进行判断；
对于C，找到与和均垂直的即可判断；
对于D，首先利用空间向量解决与平面所成角最大时点的位置，再用△的外接圆解决平面的截面圆面积的计算即可.
【详解】对于A，∵四边形为正方形，∴△为直角三角形；
∵为直径，为半圆弧上一动点，∴，△为直角三角形；
∵平面平面，平面平面，平面，
，
∴平面，∵平面，∴，△为直角三角形；
∵平面，平面，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，△为直角三角形；
因此，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A正确；

对于B，过点在平面内作于点，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，为三棱锥的高，
∴三棱锥的体积
∵△的面积为定值，
∴当最大时，三棱锥的体积最大，此时点为半圆弧的中点，，
∴三棱锥体积的最大值为，故B错误；
对于C，由A选项解析可知，，
又∵四边形为正方形，∴，
∴异面直线与的距离为线段的长，，
∴异面直线与的距离是定值，故C正确；

对于D，由B选项解析知，平面，为在平面内的射影，
∴为直线与平面所成角，当直线与平面所成角最大时，取最小值，
以为原点，建立空间直角坐标系如图，设，，，则
∴在直角三角形内，，即，
∴，，，
，



∵，∴
∴
∴当且仅当，即时，取最小值，直线与平面所成角最大，
此时，
∵，，三点均为四棱锥的顶点，
∴平面截四棱锥外接球的截面为△的外接圆面，
∵直角三角形外接圆半径，
∴截面面积，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】易错点睛：在判断三棱锥的四个面是否都是直角三角形时，易忽视△，需通过证明平面进行判断；在确定直线与平面所成角最大时点的位置时，容易错误的认为当点为半圆弧的中点时，直线与平面所成角最大，需使用空间向量，借助三角函数知识进行判断.
第II卷
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法可求得结果.
【详解】由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
14. 若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可.
【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，
所以，
由椭圆定义与勾股定理知：，可得．
所以四边形的面积为8.
故答案为：8
15. 已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】设动点的坐标，利用两点间距离公式，整理的表达式，则可得当取得最小值时，取得最小值，由定点到圆上一点的距离最值，可得答案.
【详解】设，，，
，
当取得最小值时，取得最小值，
由圆，则圆心，半径，
易知，则.
故答案为：.
16. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）．设的外心为，则的值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立后由弦长公式得，再由几何关系得点坐标，得出后化简计算
【详解】由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，
代入椭圆方程得．
设，则，
∴的中点坐标为，
∴．
∵是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，
的垂直平分线方程为，
令，得，即，∴
∴．
故答案为：4
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：
（Ⅰ）若BC的中点为D，求直线AD的方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【答案】（Ⅰ）x-3y+1=0（Ⅱ）10
【解析】
【分析】（Ⅰ）求出中点D的坐标，利用直线方程的两点式即可得解．
（Ⅱ）求出的长度，再求出直线的方程及点到直线的距离，问题得解．
【详解】解：（Ⅰ）∵B（-2，3），C（0，-3），
∴D（-1，0）．
∴直线AD的方程为，
整理得：x-3y+1=0；
（Ⅱ）∵B（-2，3），C（0，-3），
∴|BC|=．
又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A点到直线BC的距离为，
∴△ABC的面积为=10．
【点睛】本题主要考查了中点坐标公式及直线方程的两点式，考查了两点距离公式及点到直线的距离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题．
18. 在锐角中，内角的对边分别为，且满足
（1）求角C大小；
（2）若，角A与角B的内角平分线相交于点D，求面积的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理及三角恒等变换可得，进而即得；
（2）设，利用正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换可得，然后利用三角函数的性质即得.
【小问1详解】
∵，
由正弦定理可得,，
整理可得：,
即，
即：,
又因为锐角，
所以，，
所以，
即，又，
所以；
小问2详解】
由题意可知，
设，所以，
又，，
所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以
即面积的取值范围为.
19. 如图，斜三棱柱的体积为，的面积为，，，平面平面，为线段上的动点（包括端点）．

（1）求到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等体积法求高即可；
（2）先证明，计算出的长，从而得到的长，再由等面积法求得长的范围，最后代入几何关系求线面角的正弦值的取值范围.
【小问1详解】

所以
即到平面的距离为.
【小问2详解】
如下图

取的中点，连接，，


又平面平面
平面
则即为直线与平面所成角，且
于是有，
平面

又
平面


，
在中由等面积法求得A到的距离为

又

.
20. 已知圆的圆心在直线：上，且与直线：相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】（1），
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由题意设圆心为，再根据题意列出关于的方程，解出，则可得圆心坐标，再求出半径，从而可求出圆的方程；
（2）由可得圆心到直线的距离为1，然后分直线的斜率不存和存在两种情况求解即可.
【小问1详解】
由题意设圆心为，半径为，
因为圆与直线：相切于点，
所以，
所以，化简得，
解得，
所以圆心为，半径,
所以圆的方程为，
【小问2详解】
因，所以，
所以圆心到直线的距离为1，
①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为，此时满足条件，
②当直线的斜率存在时，设直线为，即，
因为圆心到直线的距离为1，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或.
21. 如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，面．

（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面的夹角余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）首先取中点，连接，，易证平面平面，再根据面面平行的性质即可证明平面.
（2）首先连接，易证面，从而得到，即，再以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
【小问1详解】
取中点，连接，，如图所示：

因为分别为，，的中点，
所以，，
又因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又因为，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
【小问2详解】
连接，如图所示：

因为分别为的中点，所以，，
又因为为的中点，所以，，
所以，，即四边形为平行四边形，即.
因为面，所以面.
又因为面，所以，即.
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令得.
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
22. 已知直线与椭圆交于点A，B，与x轴交于点C，与y轴交于点D.当直线l经过椭圆E的左顶点时，椭圆E两焦点到直线l的距离之比为.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）得到经过椭圆E的左顶点时，直线方程为，利用点到直线距离列出方程，求出3c=2a，进而计算出离心率；
（2）根据3c=2a得到，直线l方程为，设出椭圆E的方程为，联立后得到两根之和，两根之积，根据求出n=1，从而计算出.
【小问1详解】
当直线经过椭圆E的左顶点时，m=b，此时l的方程为.
∴椭圆E的左焦点与右焦点到直线l的距离分别为，.
由题意可得：，即，解得：3c=2a，
∴椭圆E的离心率.
【小问2详解】
∵3c=2a，
∴，即，
∴.
∴直线l的方程为①，
∴，.
设椭圆E的方程为②，
，.
将①代入②并化简得，.
∴，，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴14n=14，即n=1，
∵
∴，
即.
【点睛】直线与椭圆结合问题，通常要设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，本题中关键是设椭圆方程为，在联立时可以大大减少计算量.