【期中真题】广西南宁市第三中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题.zip

南宁三中2022~2023学年度上学期高二期中考试

数学试题

2022.10

一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 已知集合，或，则（   ）

A. 或 B.

C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【详解】由并集的定义可得或.

故选A.

2. 已知，且，其中a，b为实数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】

由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

得,即

故选:

3. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量共线的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】解：因为，且，

所以，所以；

故选：A

4. 已知过两点的直线与直线垂直，则的值（　   ）

A. 4 B. －8 C. 2 D. －1

【答案】B

【解析】

【分析】由两直线的斜率乘积为得结论．

【详解】因为直线与直线垂直，

所以，．

故选：B．

5. 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ）

A. 2x＋3y－12＝0 B. 2x＋3y＋12＝0 C. 3x－2y－6＝0 D. 2x＋3y＋6＝0

【答案】B

【解析】

【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.

【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，

由，得，∴M（－3，1）．

设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，

∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），

∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．

故选：B．

6. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（    ）

A. 二尺六寸 B. 二尺五寸 C. 一尺三寸 D. 一尺二寸

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意理解，分清楚“尺”与“寸”的关系，求出即可得出答案.

【详解】由题意可知​，“深一寸”是指为一寸，“锯道长一尺”是指为一尺，一尺为十寸，所以为十寸，

故为26（寸），即二尺六寸；

故选：A.

7. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ）

A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切

【答案】B

【解析】

【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．

【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，

所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．

因为圆的圆心为，半径为，所以，

故，所以圆与圆的位置关系是相交．

故选：B．

8. 已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，则当最小时，（    ）

A. 4 B.  C. 8 D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出直线过定点，即可求出弦最小值，求出直线的倾斜角的倾斜角，再利用锐角三角函数计算可得.

【详解】解：直线过定点，最小时，，

圆心到直线的距离，，

因为，所以此时，所以直线的倾斜角为，

过点作交于点，则，

在中，所以.

故选：D

二、多选题（每小题5分，全部选项选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，共20分）

9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合余弦函数的性质即可判断各选项的正误.

【详解】由图知：，即，而，可得，A正确；

且，可得，B错误；

为对称轴，C正确；

由是函数的一个对称中心，则是函数的对称中心，D正确；

故选：ACD

10. 已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ）

A. y-2x的最大值为 B. 的最小值为1

C. 的最大值为1 D. y-2x的最小值为

【答案】BD

【解析】

【分析】转化圆的方程为，得到圆心、半径，转化为，当圆和直线相切时，取得最值，可判断AD；转化为，当直线和圆相切时，可判断BC.

【详解】实数，满足方程，即满足，表示以为圆心，半径等于的圆.

令，即，

当圆和直线相切时，取得最值，由，

求得，或，

故的最大值为，最小值为，故A正确，D错误；

由于表示圆上的点与原点连线的斜率，故当直线和圆相切时，取得最值，设过原点的切线方程为，即，由，求得，故的最大值为1，故B错误，C正确.

故选：BD.

11. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 直线与直线的斜率之积为

C. 存在点满足

D. 若的面积为，则点的横坐标为

【答案】BD

【解析】

【分析】根据椭圆的定义判断A，设，计算斜率之积，判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D．

【详解】由题意，，，，，短轴一个顶点，

，A错；

设，则，，

所以，B正确；

因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；

，，，则，，D正确．

故选：BD．

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义及椭圆的性质．有结论如下：椭圆上的点与两焦点连线的斜率为定值，椭圆上的点对两焦点的张角最大时，点为短轴端点．

12. 已知，是椭圆C：的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆C的离心率的可能取值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】设点坐标后由平面向量数量积的坐标运算得的取值范围，再由离心率的概念求解，

【详解】设点，，

因为，所以，即，

结合可得，所以.

故选：AC

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知点，直线l:，则点A到直线l的距离为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用点到直线距离公式，求解即可.

【详解】点到直线的距离为.

故答案为：.

14. 已知圆，过作圆C的切线，则切线l的方程为______.

【答案】或

【解析】

【分析】由点到直线的距离公式列式求解，

【详解】圆C方程可化为，圆心，半径为1，

当过的直线斜率不存在时，l的方程为，圆心到直线的距离为1，满足题意，

当l的斜率存在时，设方程为，则，解得，

则切线l的方程为，即，

故答案为：或

15. 已知椭圆离心率为,直线与椭圆交于,两点,当的中点为时,直线的方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据点差法和椭圆离心率可求出，再根据的中点为，可得，由此可得直线的斜率，再根据点斜式，即可求出结果.

【详解】由题可知直线的斜率存在；

设,由于点 都在椭圆上，

所以①, ②,

，化简得；

又因为离心率为，所以，

所以，即；

又线段的中点为，

所以，

所以直线的斜率为，故所求直线的方程为，即．

故答案为：.

16. 已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______.

【答案】6

【解析】

【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.

【详解】如图所示：

由，得，

则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，，

则圆的圆心为椭圆的左焦点，

由椭圆的定义得，

所以，

又，

所以，

，

故答案为：6.

四、解答题（17题10分，18~22每题12分）

17. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为且过点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）倾斜角为的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A､B两点，求线段AB的长.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）结合焦点位置，设椭圆方程，由条件列出关于的方程，解方程求，可得椭圆方程；（2）利用设而不求法，结合椭圆弦长公式进行求解即可.

【小问1详解】

因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为：，依题意可得

解方程得：，

所以椭圆的标准方程为：；

【小问2详解】

由（1）可知：，

所以直线的方程为：，即，代入椭圆方程中，得

，所以，方程的判别式，

设，，

所以，，

因此.

18. 已知函数.

（1）求的最大值和最小正周期T；

（2）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，且，求面积的最大值.

【答案】（1）最大值为，；（2）.

【解析】

【分析】（1）先将函数化简整理，得到，根据正弦函数的性质， 即可求出最大值与最小正周期；

（2）先由，求出；再根据余弦定理与基本不等式，得到，由三角形面积公式，即可求出结果.

【详解】（1）因为，

所以当时，取得最大值；

最小正周期；

（2）因，由（1）得，即，

所以；又为三角形内角，所以；

因为，由余弦定理可得：，即，

当且仅当时，取等号；

所以；

即面积的最大值为.

【点睛】本题主要考查求三角函数的最值与最小正周期，考查求三角形面积的最值；熟记正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式等即可，属于常考题型.

19. 某校高二（5）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120分的学生有14人.

（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；

（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的第75百分位数是多少？（精确到0.1）

（3）现在从分数在115～120分的学生（男、女人数之比为1∶2）中任选2人，求至多含有1名男生的概率.

【答案】（1），；   

（2）第75%分位数是116.7；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）（2）由频率分布直方图数据求解，

（3）由古典概型的计算公式求解，

【小问1详解】

由频率分布直方图知分数在110～120分的频率为，

所以，

分数在120～125的频率为，

所以人数为；

【小问2详解】

分数在120～130的频率为，

分数在95～115频率为，因此第75%分位数在115～120内，第75%分位数为：.

【小问3详解】

由频率分布直方图，分数在115～120分的学生数为，男生2人，女生4人，

男生编号为，女生编号为，

从中任取2人的基本事件有：共15个，

至多含有1名男生的基本事件有：共14个，

所以所求概率为.

20. 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，、分别是、的中点，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）连接，由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，再由平面平面可得，得平面，可得证；

（Ⅱ）由题意结合菱形的性质易知，，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，向量，根据线面角的空间向量坐标公式可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（Ⅰ）连接，由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，

∵平面，平面，∴，

且，故平面，

平面，∴.

（Ⅱ）由题意结合菱形的性质易知，，

,，

,满足 ，

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

设平面的一个法向量为，则：，

据此可得平面的一个法向量为，

而，设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度，而不必画出线面角，利用/斜线段长，进行求角；

3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设是直线的方向向量，是平面的法向量，利用公式求解.

21. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C:上运动.

（1）求线段AB中点P的轨迹的方程；

（2）过曲线上一点，作的切线，切点分别为，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由相关点法转化求解，

（2）由二倍角公式转化为求的最小值，设点坐标后求解，

【小问1详解】

设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，

且点P是线段AB的中点，所以，.于是有，.①

因为点A在圆上运动，即.②

把①代入②，得，

整理，得，

所以点P的轨迹的方程为.

【小问2详解】

设，，

由可知：，

则，当最小时，最小.

，，

（当且仅当时取等号），

，即的最小值为.

22. 已知椭圆的离心率为为椭圆上一点.

（1）求椭圆的标准方程.

（2）若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）为定值

【解析】

【分析】（1）根据离心率与椭圆过的点，列出方程组，待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，求出两根之和，两根之积，表达出，计算，得到定值.

【小问1详解】

设椭圆的焦距为，

则，解得

故椭圆的方程为.

【小问2详解】

由题意可知直线的斜率存在，设直线.

联立整理得，

则.

因为，所以，

则

故为定值.