【期中真题】广东省深圳中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题.zip

深圳中学2022-2023学年度第一学期期中考试试题

高二数学

考试时长：120分钟，卷面总分：150分

一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）

1. 在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】由题意可得，直线的斜率，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）

根据直线方程的斜截式可知所求的直线方程为，

即，

故选：．

2. 圆的圆心横坐标为，则等于（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可求出圆心坐标，由圆心横坐标为，可求值.

【详解】圆的圆心坐标为，

∴，解得．

故选：．

【点睛】本题考查利用圆的方程求圆心坐标，属基础题.

3. 在递增的等差数列中，已知与是方程的两个根，则（    ）

A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

【答案】B

【解析】

【分析】根据方程根与递增的等差数列，可得，于是可求得公差，则由等差数列的通项性质可得的值.

【详解】解：与是方程的两个根，方程为

则或，由于递增的等差数列中，所以，则公差

所以.

故选：B.

4. 等差数列的前项和为，若，，则=

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】设公差为，由可得

∴，则

故选B

5. 已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果.

【详解】设，则，

因为点在线段上，所以的取值范围是，

故选：A.

6. 已知数列满足：，若，，则（    ）

A. 84 B. 63 C. 42 D. 21

【答案】C

【解析】

【分析】利用题意得到是等比数列，故设其公比为，可得到，可得到，即可求得答案

【详解】∵，∴数列是等比数列，设其公比为，

∵，，

即，解得或（舍去），

∴，

故选：C.

7. 直线 与直线交于点，则点到直线的最大距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】联立方程求出交点坐标，求出直线的恒过定点，再将点到直线距离的最大值转化为两点间距离即可.

【详解】由题可列：

，

解得 ，

所以点 的坐标为 ，

因直线，

即 恒过定点 ，

所以点到直线的最大距离为

，

故选：B

8. 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个按照此规律，12小时后细胞存活个数（    ）

A. 2048 B. 2049 C. 4096 D. 4097

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的条件，由1小时、2小时、3小时后的结果总结出规律，再计算作答.

【详解】依题意，1小时后的细胞个数为，2小时后的细胞个数为，

3小时后的细胞个数为，…，则小时后的细胞个数为，

所以12小时后细胞存活个数是.

故选：D

二、多项选择题（共4小题，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）

9. 已知，圆，，则（    ）

A. 两圆可能外离 B. 两圆可能相交

C 两圆可能内切 D. 两圆可能内含

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据圆心距与半径之和，半径之差之间的关系，结合已知条件，即可分析判断.

【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径；

则，，

当时，，两圆外离；

当时，，两圆相交；

当时，，两圆内切；

当时，，两圆外切；

综上所述，两圆可以外离，可以内切，可以相交，不能内含.

故选：ABC.

10. 已知公差大于0的等差数列的前n项和为，若，下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据给定条件，结合等差数列前n项和公式及等差数列的性质求出，用公差d表示首项，再判断各项作答.

【详解】令等差数列的公差为，有，其前n项和为，由得：，

解得，有，A不正确，B正确；

，，即，C正确；

，，D不正确.

故选：BC

11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则是等差数列

B. 若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值

C. 若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2

D. 若是等差数列，则三点、、共线

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据等差数列及等差数列前n项和的性质，逐项分析判断.

【详解】A项，时，，

时，

时，，所以，不是等差数列；

B项，由已知可得，，又

所以，，.所以，有最大值；

C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为，所以；

D项，设三点分别为A，B，C，，则，，.

则，，，所以三点共线.

故选：BCD.

12. 设圆，过点的直线与C交于两点，则下列结论正确的为（    ）

A. P可能为中点 B. 的最小值为3

C. 若，则的方程为 D. 的面积最大值为

【答案】AD

【解析】

【分析】判断点P在圆的内部，当直线时，P为中点，且此时最小，利用弦长公式可求得，可分别判断ABC，利用基本不等式可判断D.

【详解】圆，圆心，半径

对于A，，即点P在圆内部，当直线时，P为中点，故A正确；

对于B，当直线时，最小，，，

则直线的方程为，圆心到直线的距离，，故B错误；

对于C，当直线斜率不存在时，即，此时，符合；

当直线斜率存在时，设直线的方程为，由，得，

则圆心到直线的距离，解得，即，所以满足题意的直线为或，故C错误；

对于D，，

当且仅当，即时等号成立，所以的面积最大值为，故D正确.

故选：AD

三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）

13. 已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式______．

【答案】

【解析】

【分析】当时求得；当时，利用可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.

【详解】当时，，解得：；

当时，，，

则数列是以为首项，为公比的等比数列，.

故答案为：.

14. 过点且与两定点、等距离的直线方程为_________.

【答案】，

【解析】

【分析】①过点且与过两定点、的直线平行时满足条件，求出斜率，利用点斜式可写出直线方程；
②经过点A（1，2）且过两定点、中点时满足条件，求出中点，利用点斜式可写出直线方程．

【详解】解：①过两定点、的直线斜率为：， 则过点的直线且与过两定点、的直线平行的直线为：，即；
②两定点、所在线段的中点为．则经过点A（1，2）且过两定点、中点的直线为：，即．
综上可得：满足条件的直线方程为：，．
故答案为：，．

【点睛】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15. 数列的前n项和为，若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】先求数列的前n项和为，再利用裂项相消法求和即可；

【详解】因为，所以，所以，

所以

故答案为：

16. 已知圆关于直线对称，为圆C上一点，则的最大值为__________．

【答案】20

【解析】

【分析】由圆关于直线对称列方程求，由此确定圆的圆心坐标和半径，设，由直线与圆有公共点，列不等式求的范围及最大值.

【详解】方程可化为，

所以圆的圆心为，半径为，

因为圆关于直线对称，所以，所以，令，则，

所以，所以，所以的最大值为20，

故答案为：20.

四、解答题（共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17. 已知直线．

（1）若直线不经过第一象限，求k的取值范围；

（2）若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程．

【答案】（1）   

（2）的最小值为，此时直线的方程为

【解析】

【分析】(1)验证时，直线是否符合要求，当时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k的取值范围；(2)先求直线在轴和轴上的截距，表示的面积，利用基本不等式求其最小值.

【小问1详解】

当时，方程可化为，不经过第一象限；

当时，方程可化为，

要使直线不经过第一象限，则

解得．

综上，k的取值范围为．

【小问2详解】

由题意可得，

由取得，

取得，

所以，

当且仅当时，即时取等号，

综上，此时，直线方程为．

18. 在中，角的对边分别为，.

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；

（2）利用三角形面积公式得到，再由余弦定理求出，即可求出三角形的周长；

【详解】解：（1）将展开得

，

由正弦定理得，

由余弦定理得因为，

所以

（2）根据余弦定理，

因为的面积为，所以

因为，所以，解得

的周长为

19. 已知等差数列的前项和为；数列为等比数列，满足，，是与的等差中项.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，是数列的前项和，求.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据等差的前n项和公式以及通项公式求出首项与公差即可求出等差数列通项公式，再结合等差数列中的项与等比数列的通项公式求出首项与公差从而求出等比数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求出数列的和.

【详解】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，，是与的等差中项，

则；

，，

即，

，，

；

（2），

所以，

，

两式相减可得，

，

化简得，.

20. 如图，在中，已知，，，BC边上的中线为AM．

（1）求的值；

（2）求．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)在中，利用余弦定理求，在，中分别利用余弦定理求，，由此列方程求，(2)在中由余弦定理求，再由同角关系求.

【小问1详解】

由余弦定理，得，即，．

在中，由余弦定理，得，

在中，由余弦定理，得，

由与互补，则，解得．

【小问2详解】

在中，由余弦定理，得，

因为，所以，   

所以．

21. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝·an(n∈N*).

（1）证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2.

【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用等比数列的通项公式，进行求解即可；

（2）由，进而利用，得到

，最后利用等比数列求和公式进行求证即可

【详解】证明：（1）由题设得，又，

所以数列是首项为2，公比为的等比数列，

所以，

（2）由（1）知，

因为对任意，恒成立，

所以，

所以

故Tn＜2成立

【点睛】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，难点在于利用不等式的放缩法得出，属于中档题

22. 函数所经过的定点为，圆的方程为，直线被圆所截得的弦长为．

（1）求以及的值；

（2）设点，探究在直线上是否存在一点（异于点），使得对于圆上任意一点到两点的距离之比（为常数）．若存在，请求出点坐标以及常数的值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）存在一点，．

【解析】

【分析】（1）由函数过定点可求，的值，由直线与圆相交的弦长公式：求出的值；（2）假设存在，设点，圆与直线的交点为，当分别在、时满足的距离比可得的值，可得点坐标，设圆上任一点，再利用两点间距离公式，由

可求得比值为．

【详解】（1）在函数中，当时，，所以其经过的定点为点，即，．

由于直线被圆C所截得的弦长为，圆C半径为r，圆心到直线的距离为，

那么，解之有．

（2）假设在直线上存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（为常数）．

圆与直线的交点为，，设，而若点T取S或Q时，则，即，解得．

此时．下面证明：对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．

设为圆上任意一点，则，即，由

，，

，

所以在直线上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．