【期中真题】山西大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题.zip

山大附中2021~2022学年第一学期期中考试

高一年级数学试题

满分：100分   考试时间：90分钟

一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1. 已知集合，则M的子集共有（    ）

A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个

【答案】D

【解析】

【分析】写出集合M的所有子集，即可得出答案.

【详解】集合的子集有共8个

故选：D

2. 已知函数则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的解析式可求得的值.

【详解】因为，则.

故选：B.

3. 命题“都有”的否定是（    ）

A. 不存在

B. 存在

C. 存在

D. 对任意的

【答案】B

【解析】

【分析】由全称命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出原命题的否定.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

∴原命题的否定为：存在.

故选：B

4. 下列各组函数表示同一函数的是（     ）

A. ， B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据同一函数的定义判断即可；

【详解】解：对于A：定义域，，故A错误；

对于B：与定义域相同都为，且函数解析式相同，故是同一函数，故B正确；

对于C：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误；

对于D：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故D错误；

故选：B

5. 函数的定义域为，则的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】令，进而解出即可得到答案.

【详解】令.

故选：A.

6. 函数的图像是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

化简函数为分段函数，利用解析式即判断图象.

【详解】函数的定义域为，，所以C中的图象满足题意.

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查由解析式选函数图象问题，可由解析式研究函数的性质，如奇偶性，单调性，对称性等等，研究函数值的变化规律，特殊的函数值等等用排除法确定正确选项．

7. 已知函数定义域为为常数，则“”是“为在上最大值”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要不充分条件及函数最值的定义，即可判断.

【详解】由函数的最值的定义知，由，

无法推出为在上最大值，而为在上最大值，

则必有.

故选：B

8. 下列函数中，值域为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据的取值范围，即可判断ABC；

对于函数，可得关于的方程有解，得，即可得出y的范围，即可判断D.

【详解】解：对于函数，由于，则，故它的值域不是，故A不满足题意；

对于函数，由于，则，故它的值域不是，故B不满足题意；

对于函数，由于，则，故它的值域不是，故C不满足题意；

对于函数，可得关于的方程有解，

∴，∴可以取任意实数，即，故D满足条件.

故选：D.

9. 已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．

【详解】因为偶函数在区间上单调递增，

所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，

因为，

所以，解得：.

故选：A．

10. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ）

A. 若且，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若且，则

【答案】B

【解析】

【分析】

利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项的正误.

【详解】A中，有，错误；

B中，时，成立，正确；

C中，时，，错误；

D中，由题设，当时，，错误；

故选：B

11. 设函数（其中为常数，），若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令即可判断为奇函数，则，再根据奇偶性计算可得；

【详解】解：因为，令，则，即为奇函数，则，又，即，所以，所以；

故选：C

12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据二次函数的性质求出的值域，再根据高斯函数的定义求出的值域；

【详解】解：因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以；

故选：B

二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）

13. 已知幂函数的图象经过，则__________．

【答案】

【解析】

【详解】∵经过，∴时，，且在上单调增，∴，∴．故填.

14. ______

【答案】##

【解析】

【分析】根据根式的性质及分式指数幂的运算法则计算可得；

【详解】解：

故答案为：

15. 函数的单调增区间为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解即可.

【详解】由得，函数的定义域是 R，

设，则在上是减函数，在 上是增函数，

∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是

故答案为：

16. 函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】依题意，参变分离可得任意的恒成立，设，，利用基本不等式求出的最小值，即可得解．

【详解】解：对任意，恒成立，即恒成立，即知．

设，， 则，当且仅当，即时取等号，

，

，

故的取值范围是．

故答案为：．

三、解答题（本大题共4小题，每题12分，共48分）

17. 已知集合，，求： ，，.

【答案】,或,或

【解析】

【分析】先求解出集合中的范围，然后根据交集、补集、并集运算分别计算出、、的结果.

【详解】，，

，，

，

，

或，

或，

或.

【点睛】本题考查集合的交、并、补混合运算，难度较易.求解一元二次不等式的解集时，注意观察二次项系数的正负以及不等号的方向，由此快速确定解集是“两根之内”还是“两根之外”的情况.

18. 函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定的解析式；

（2）用定义证明在上是增函数；

（3）解关于不等式．

【答案】（1）   

（2）证明见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由，解可得的值，将、的值代入函数解析式即可得答案；

（2）根据题意，设，由作差法分析可得结论；

（3）由函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可

【小问1详解】

解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，

则，解得，

又由，则有，解得，则，所以，满足条件，所以；

【小问2详解】

解：由（1）知，

证明：设，

则，

又由，所以、、

则，，，，

则，

则函数在上增函数；

【小问3详解】

解：根据题意，即 ，即 ，即，解得：，

即不等式的解集为．

19. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，

（1）请根据图象，补充完整的图象，并写出函数的单调区间；

（2）若函数，求函数的最小值．

【答案】（1）图象见解析，单调递增区间为，，单调递减区间为，；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，由图象可得的单调区间；

（2）依题意可得，即可得到函数的对称轴方程，再对对称轴与区间的位置关系分类讨论，分别求出函数的最小值，即可得解；

【小问1详解】

解：令，则，

函数是定义在上的偶函数，

解析式为，如图，根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象，

由函数图象可知的单调递增区间为，，单调递减区间为，；

【小问2详解】

解：因为，

所以，对称轴为，开口向上，

当时，；

当时，；

当时，；

．

20. 小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

【答案】（1）   

（2）当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元.

【解析】

【分析】（1）根据题意，由年利润=年销售收入-固定成本-流动成本求解；

（2）由（1）的结论，求分段函数的最大值；

【小问1详解】

解：因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为万元.

依题意得，当时，；

当时，.

所以；

【小问2详解】

当时，，

当时，取得最大值；

当时，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上为减函数.

当时，取得最大值.

由，则可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，

最大利润为万元.