2021-2022学年山西省吕梁市柳林县高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年山西省吕梁市柳林县高一上学期期中考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山西省吕梁市柳林县高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数解析式建立不等式求定义域即可.【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数定义域为.故选：A2．已知函数，则的值为（    ）A． B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据分段函数求函数值的方法直接求出.【详解】，，，故选：D.3．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式逐项判断函数的奇偶性和单调性即可.【详解】函数是偶函数，故选项A错误；函数是偶函数，故选项B错误；函数的定义域为，又，所以函数为奇函数，根据对勾函数性质可知在上单调递增，故选项C正确；由指数函数性质知，函数是非奇非偶函数，故选项D错误.故选：C.4．幂函数的图象过点，则关于该幂函数的下列说法正确的是（    ）A．经过第一象限和第三象限 B．经过第一象限C．是奇函数 D．是偶函数【答案】B【分析】利用待定系数法求出函数解析式，由解析式分析奇偶性判断CD，再由定义域值域判断AB即可.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，定义域为不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数，由知，函数图象经过第一象限.故选：B5．设，，，则a，b，c中最大的是（    ）A．a B．b C．c D．无法确定【答案】A【分析】根据指数函数单调性比较．再由幂函数单调性比较即可得解.【详解】由于函数在它的定义域上是减函数，．由于幂函数 在是增函数，且，故有，故，，的大小关系是，故选：A6．若a，b是方程的两个实数根，则（    ）A．2021 B．2020 C．2019 D．2018【答案】B【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．【详解】∵是方程的根，∴，∴，∴.∵是方程的两个实数根，∴，∴故选：B.7．已知函数是偶函数．且，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由函数是偶函数，再结合偶函数的定义可得，再令结合，可求出的值【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故选：C．8．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意构造新函数，得出函数的单调性及增减性，再将化为的形式，即可求得实数a的取值范围.【详解】由，令，则，因为，，所以为奇函数；又为上的增函数，故也为上的增函数，，得，解得.故选：D. 二、多选题9．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由函数的定义，函数必须满足一一对应，分别对选项判断即可得到结果.【详解】由图像可知ACD选项的图像满足一一对应，一个有唯一的与之对应，选项B表示的是一个圆，不满足一一对应，除左右与轴的交点外，一个有两个与之对应，故选项B不能表示y是x的函数.故选：ACD.10．若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（    ）A．有最小值 B．有最小值C．有最小值4 D．有最小值【答案】ABD【解析】根据，得到，求出，由此求出，，，从而可得答案.【详解】因为正实数a，b满足，所以，，所以，故无最小值，A错误；，故，即无最小值，故B错误；，故有最小值4，C说法正确；，所以有最小值，故D错误，故选：ABD.【点睛】本题考查了判断命题的真假，考查了函数的最值，考查了二次函数求值域，属于基础题.11．奇函数的定义域为R，则下列说法中正确的是（    ）A．，B．，C．在定义域R上单调递增D．在定义域R上单调递减【答案】AD【分析】根据是R上的奇函数，列式解出与，即可判断选项A、B，代入化简根据复合函数单调性即可判断选项C、D.【详解】是R上的奇函数，，，且，解得，∴，即，，故满足函数为奇函数.故A正确，B错误；令，则，根据反比例函数平移可得在上单调递减；在定义域上单调递增；根据复合函数单调性同增异减可得在定义域R上单调递减，故D正确，C错误；故选：AD.12．若，则下列选项错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】将变为，即可设，并判断其单调性，从而得，结合指数函数的性质，一一判断各选项，即得答案.【详解】由题意可得，令，即为R上的单调增函数，故由可得，由于为R上的单调增函数，故，A错误；由于为R上的单调减函数，故，B错误；由于，故，，C错误，D正确；故选： 三、填空题13．设集合，，则_____________【答案】【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】解：由，即，解得，所以，又，所以故答案为：14．已知函数，则的值是___________．【答案】1【分析】令解得，代入即可得解.【详解】令，即，则，故答案为：115．若，则___________．【答案】27【分析】利用指数幂运算法则可化简得到二元一次方程组，解方程组即可求得结果.【详解】，，，解得：，.故答案为：.【点睛】本题考查指数幂运算的应用，属于基础题.16．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，当时，___________．【答案】【分析】由奇函数性质可得答案.【详解】因是定义在R上的奇函数，则时，.当，则，又，则当时，.故答案为：. 四、解答题17．已知：关于的不等式，：．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】．【分析】可借助集合间的关系进行判断，设不等式，的解集分别为A，，因为是的充分不必要条件，所以A，进而列出不等式组，求出m的取值范围即可．【详解】由题意，知， 当时，，满足题意；当时，，因为当，即时，，，不合题意；所以要使，应有，解得，综上知，实数的取值范围是．18．函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值，再根据，解得的值从而求得的解析式； （2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果．【详解】解：（1）依题意得∴∴∴（2）证明：任取，∴∵，∴，，，由知，，∴.∴.∴在上单调递增.19．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，．（1）求函数的解析式；（2）求当时，函数的解析式；【答案】（1）；（2）当时，．【分析】（1）先设幂函数，根据题意，得到，即可求出解析式；（2）根据时，；结合函数奇偶性，即可求出结果.【详解】（1）设，代入点，得，，；，当时，设，则，是R上的偶函数，，即当时，；【点睛】方法点睛：本题主要考查求幂函数解析式，以及由函数奇偶性求解析式，熟记幂函数的概念，以及由函数奇偶性求解析式是关键.20．已知函数，(1)判断函数在内的单调性，并证明你的结论；(2)是否存在，使得为奇函数，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明；（2）根据奇函数的定义求．【详解】（1）解：函数的定义域为，当取任意实数时，在内单调递减．证明如下：在内任取，，使得，则由，可知，所以，，，所以，即，所以当取任何实数时，函数在内单调递减；（2）假设存在实数使得为奇函数因为的定义域为，所以由，可得，解得，因此存在，使得为奇函数．21．某企业生产某种环保产品月生产量最少为300吨，最多为600吨，月生产成本y（元）与月生产量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每生产一吨产品获利为100元．(1)该单位每月生产量为多少吨时，才能使每吨的平均生产成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】(1)400吨(2)该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损． 【分析】（1）由题意得出每吨平均生产成本为，再由均值不等式求最值即可；（2）求出每月的获利函数，由二次函数的单调性求出函数最大值，据此可得解.【详解】（1）由题意可知，于是得每吨平均生产成本为，由基本不等式可得：（元），当且仅当，即时，等号成立，所以该单位每月生产量为400吨时，才能使每吨的平均生产成本最低．（2）该单位每月的获利，因，函数在区间上单调递减，从而得当时，函数取得最大值，即，所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．22．已知二次函数是R上的偶函数，且，．(1)设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增：(2)当时，解关于x的不等式．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析 【分析】（1）先用待定系数法求出，进而求出，再用定义法证明即可；（2）先化简不等式，然后对参数a进行讨论.【详解】（1）设，由题意，，，解得，，．∵，∴．设，且，则．，由，得，，，于是，即，所以函数在区间上单调递增．（2）原不等式可化为．因为，故；①当，即时，得或；②当，即时，得到，所以；③当，即时，得或．综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．