【期中真题】山东省山东师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题.zip

山东师大附中2021级2021-2022学年第一学期学分认定考试

数学试题

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考试号填写在答题卡规定的位置上．

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．

5．考试结束后，只将答题卡交回．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果.

【详解】由，，

得，

由图象可知阴影部分表示的集合为，

所以.

故选：B

2. “且”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断结果.

【详解】且能够推出，反之不能推出且，

所以“且”是“”的充分不必要条件.

故选:.

3. 函数（且）恒过定点，则点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数过定点求解即可.

【详解】解：因为指数函数（且）过定点，

所以令得

所以函数（且）恒过定点

故选：D

4. 已知，则的最小值是（    ）

A. 1 B. 4 C. 7 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由目标式可得，结合已知条件，应用基本不等式即可求目标式最小值，注意等号成立的条件.

【详解】∵，

∴当且仅当时等号成立.

故选：C

5. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求在上的解析式，再分段可求的解集.

【详解】设，则，故，

而，又，

故，

又等价于或或，

故或，

故选：B.

6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的单调性求解.

【详解】函数的图象，如图所示：

由图象知：函数在R上单调递增，

所以转化为，

解得 ，

故选；B

7. 已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 8 D. 9

【答案】D

【解析】

【分析】由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值．

【详解】由，知，，，

由，得，

又，

，当且仅当，

即时，取得最小值9，

，的最大值为9．

故选：．

8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合指数函数性质求得的值域，然后再根据新定义求的值域．

【详解】，显然，，

所以的值域是，

当时，，

时，，当时，

所以所求值域是．

故选：C．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（    ）

A. 若ac2>bc2，则a>b B. 若a>b，c>d，则a+c>b+d

C. 若a>b，c>d，则ac>bd D. 若a>b，则

【答案】AB

【解析】

【分析】可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.

【详解】解：若ac2>bc2，两边同乘以则a>b，A对，

由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，

当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，

令a=﹣1，b=﹣2，则，D错.

故选：AB.

10. 下列函数中，最小值为2的函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】A中x无法确定正负，不能求出最值；B是二次函数，配方求解最值；C看成关于的二次函数，配方求最值；D变换构造，用基本不等式求最小值﹒

【详解】A中的正负无法确定，其函数值可以为负数；

B中，最小值为2；

C中，当时，其最小值为2；

D中，当且仅当，即时取等号﹒

故选：BCD﹒

11. 已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A. 当时，

B. 函数的最小值为

C. 函数在上单调递减

D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或

【答案】ABD

【解析】

【分析】得到函数，作出其图象逐项判断.

【详解】由题意得：，其图象如图所示：

由图象知：当时，，故A正确；

函数的最小值为，故正确；

函数在上单调递增，故错误；

方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；

故选：ABD

12. 若，则下列关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】先由变形为，构造函数，利用其单调性，得到x，y的大小关系，再逐项判断.

【详解】由得，令，则，

因为在R上都是增函数，所以在R上是增，所以，故A正确；

当时， ，故B错误；

当时，，当 时，不成立，故C错误；

因为在R上递减，且，所以，即，故正确；

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数=的定义域为____________

【答案】

【解析】

【分析】

利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.

【详解】要使函数有意义，则，解得且.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.

14. 若函数在区间上单调递增，则实数的最小值为______．

【答案】0

【解析】

【分析】作出函数的图象，由图象得到函数的单调性，再根据条件求解.

【详解】函数的图象如图所示：

，

由图象知：的减区间是，增区间是，

又因为函数在区间上单调递增，

所以，

所以实数的最小值为0，

故答案为：0

15. 某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4096个需经过_____小时.

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意，求得经过次分裂后细菌个数关于的函数解析式，再代值计算即可.

【详解】设1个细菌分裂x次后有y个细菌，则y=2x.

令2x=4096=212，则x=12，

即需分裂12次，需12×15=180(分钟)，

即3小时.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数模型的应用，属简单题.

16. 已知函数，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】当时，的值域为，由对任意的，均存在使得，可得当时，的值域包含，对称轴为，再按对称轴的取值，进行分类讨论，即可求解．

【详解】当时，的值域为，

又对任意的，均存在使得，

当时，的值域包含，对称轴为，

当时，，解得，即，

当时，且，解得，解得，

综上所述，的取值范围为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 化简求值（需要写出计算过程）．

（1）若，，求的值；

（2）化简并求值；

（3）计算：．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）将指数式化为对数式，再由对数的运算性质即可求解；

（2）利用根式的意义化简即可求解；

（3）将小数化成分数指数幂，再由指数幂的运算性质化简即可求解.

【小问1详解】

因，，所以 ，

所以．

【小问2详解】

．

【小问3详解】

.

18. 已知函数，.

（1）若，试求函数在区间上的最小值；

（2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围.

【答案】（1）6；（2）.

【解析】

【分析】

（1）对函数进行分离，利用基本不等式求出最小值即可；

（2）设，在恒成立，则，列不等式解出的取值范围即可．

【详解】（1）依题意得

∵，∴，

∴，当且仅当时，等号成立.

所以，，即函数在区间上的最小值为6.

（2）因为，所以要使得“，不等式成立”

只要“在上恒成立”.不妨设，则只要

在恒成立，所以，即解得

所以的取值范围是.

【点睛】易错点睛：本题考查基本不等式求最值，考查一元二次不等式的恒成立问题，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

19. 已知函数是定义域为上的奇函数，且．

（1）求的解析式；

（2）请判断并用定义证明在的单调性．

【答案】（1）；   

（2）在的单调递增；证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据函数是定义域为上的奇函数知，可以得到，再根据，可求出的值，即可得到的解析式.

（2），不妨令，对进行化简处理为，进行符号判断得，即可判断出在的单调递增.

小问1详解】

函数是定义域为上的奇函数，

∴，∴；

又，∴；

∴.

【小问2详解】

在的单调递增．

，不妨令，

∵，∴，∴，

又，所以，即，

所以在的单调递增．

20. 已知关于x的不等式．

（1）当时，求该不等式的解集；

（2）从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集．

①；

②．

【答案】（1）；   

（2）具体见解析.

【解析】

【分析】（1）将代入不等式解得答案即可；

（2）若选①，将不等式因式分解，进而讨论m和2之间的大小关系，然后解出答案；若选②，分三大类情况进行讨论，分解因式后再讨论两根之间的大小关系，最后求得答案.

【小问1详解】

当时不等式为，

可化为，解得，所以不等式的解集为.

【小问2详解】

若选①，，不等式为，

即（，（1）当时，不等式解集为或，

当时，不等式解集为R，

当时，不等式解集为或，

综上所述：当时，不等式解集为或，当时，不等式解集为R，当时，不等式解集为或.

若选②．不等式为，

若，，不等式解集为，

若，不等式可化为，

当时，不等式解集或，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

当时，不等式解集为，

综上所述：当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或．

21. 某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线．其中是线段，曲线段是函数（，k，a是常数）的图象，且．

（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；

（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？

（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过，该病人每毫升血液中含药量为多少？（精确到）

【答案】（1）   

（2）上午11：00服药   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据函数图象求解函数解析式；（2）根据题意列出不等式，求解出答案；（3）分别求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果.

【小问1详解】

当时，；

当时，把代入（，k，a是常数），得，解得，

故

【小问2详解】

设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得：，即第一次服药后后服第二次药，也即上午11：00服药；

【小问3详解】

第二次服药后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：

每毫升血液中含第二次服药后剩余量为：

所以此时两次服药剩余的量为

故该病人每毫升血液中的含药量为

22. 设函数（，且）．

（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；

（2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围；

（3）若，，且在上的最小值为，求实数的值．

【答案】（1）证明见解析，是减函数；   

（2）(－3，5)；    （3）2﹒

【解析】

【分析】(1)f(x)定义域为R关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系，以此确定奇偶性；f(x)的单调性可以通过单调性的性质进行判断；

(2)利用条件，得到在R上单调递减，从而将转化为，进而得，研究二次函数得到结论；

(3)令，得到二次函数h(t)，分类讨论研究得到，得到结论．

【小问1详解】

证明：的定义域为，关于原点对称，

且，

∴为奇函数，

∵，∴递减，递减，故减函数；

【小问2详解】

(且)，

∵，∴，

又，且，

∴，

故在上单调递减，

不等式化为，

∴，即恒成立，

∴，

解得；

【小问3详解】

∵，∴，即，

解得或(舍去)，

∴，

令，由(1)可知为增函数，

∵，∴，

令，

若，当时，，∴；

若时，当时，，解得，无解；

综上，．