备战高考2024年数学第一轮专题复习9.4 抛物线（精练）（提升版）（解析版）

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9.4 抛物线（精练）（提升版）1．（2022·广西贵港）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.2．（2022·全国·课时练习）已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．【答案】         【解析】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．故答案为：；．3．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．【答案】
【解析】圆的圆心为，半径，抛物线的焦点，因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即，所以的最小值为，故答案为： 4．（2022·河南平顶山）已知抛物线，为该抛物线上一点，B为圆上的一个动点，则的最小值为___________.【答案】3【解析】由题意得：,抛物线焦点为，准线为，则 ,当A,F,C三点共线时取等号，
 而，故的最小值为，故答案为：35．（2022·全国·课时练习）已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．【答案】【解析】抛物线的焦点，准线方程为．过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，则，当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.6．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，
为平面内一定点，则的最小值为__________．【答案】5【解析】由题意，抛物线的准线为，焦点坐标为，过点向准线作垂线，垂足为，则，当共线时，和最小；过点向准线作垂线，垂足为，则，所以最小值为5.故答案为：5.1．（2022·安徽·高三开学考试）过抛物线的焦点的直线与交于两点，若，则的倾斜角（       ）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】因为焦点，设，令，由，消可得，，所以，所以所以，解得：所以的斜率为，则的倾斜角或故选：D.
2．（2022·浙江·高三开学考试）已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，以为直径的圆经过，则直线恒过（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示： 设直线方程为：，，联立方程得，有.，，，故中点，即圆心C的坐标为直径.因为以为直径的圆经过，故有，即，化简得：，故直线方程为：，当时，，
即直线经过定点.故选：D3．（2022·全国·课时练习）已知直线l过点，且与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程可以是______．（写出一个符合题意的直线方程即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，当时，，易知直线过点，且与抛物线只有一个公共点，符合题意．当时，联立，可得，．当时，，解得或，此时直线l的方程为或，即或，易知直线和直线都过点，且与抛物线都只有一个公共点，符合题意．故直线l的方程可以是或或．故答案为：（答案不唯一）4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线的焦点为，过且被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程______．【答案】（答案不唯一，满足即可）【解析】设直线的方程为，且直线与抛物线交于，，联立，可得，所以，所以，取等号时，所以抛物线过焦点的弦长最短为，又因为被抛物线截得的弦长为的直线有且仅有两条，所以，所以，取，此时抛物线方程为．
故答案为：（答案不唯一，满足即可）5．（2022·山东）已知抛物线C的方程为，直线l过定点，若抛物线C与直线l只有一个公共点，求直线l的方程．【答案】或或【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k．当时，直线l的方程为，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；当时，设直线l的方程为，由，得，因为抛物线C与直线l只有一个公共点，所以，解得或，所以直线l的方程为或，即或．综上，直线l的方程为或或．1．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.【答案】4【解析】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则，因为且，所以，即，所以，可得，因为，所以.故答案为：.2．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，
B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.【答案】8【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，设的方程为，，则由得，，，又，所以，即，，所以．故答案为：8．3．（2022·海南 ）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，则当点，到直线的距离之和最小时，线段的长度为______【答案】【解析】由抛物线可得，设直线的方程为， 由 ，可得，设，，则，所以，则线段的中点坐标，到直线的距离为， 则点，到直线的距离之和， 所以当时，取最小值，此时，
故答案为：.4（2022·长宁区 ）已知直线与抛物线交于，两点，则______．【答案】16【解析】联立，得：，即，设，，则，，所以.故答案为：16.1．（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知直线 与抛物线 交于 两点， 点 为坐标原点， 若线段的中点是 ， 则（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】设，由得，所以，所以，又点在直线l上，所以，所以A正确，B错误；对于C，因为直线l经过抛物线的焦点，所以，所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D错误，故选:AC．2．（2022·浙江·高三开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，直线与交于点与点，点关于原点的对称是点，则下列结论正确的是（       ）A．若，则B．若，则
C．若在以为直径的圆上，则D．若直线与与拋物线都相切，则【答案】ACD【解析】设方程为，由得，，，，A．由得得，所以直线过点，A正确；B．，由，当时，，，B错误；C．，，，，即，所以，，，C正确；D．设（或）方程为，由上面推理过程得，，代入得，，不妨设，，则，所以直线过点，D正确．故选：ACD．3．（2022·全国·单元测试）（多选）已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（       ）A． B．为线段的中点C． D．【答案】AB【解析】易知，由题意可得直线的方程为．
由，消去并整理，得，解得，．由，得，∴．过点作垂直准线于点，易知，∴，∴．.∵，∴为线段的中点．故选：AB．4．（2022福建）（多选）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（       ）A．以线段为直径的圆与直线相切B．以线段为直径的圆与轴相切C．当时，D．的最小值为6【答案】ACD
【解析】由抛物线方程知，准线方程为，由题意可知，直线的斜率存在，可设：，设，．对于选项A，易知，∵为的中点，∴点到准线的距离，∴以线段为直径的圆与直线相切，A正确；对于B，由，得，，，，∴，∴，设的中点为，则，，∵不恒成立，∴以线段为直径的圆与轴未必相切，B错误；对于C，若，则，不妨设，，∵，∴，，则，，∴，C正确；对于D，∵，∴当时，，D正确．故选:ACD．5．（2022·湖北·高三开学考试）（多选）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点，分别过两点 作的切线，且相交于点，则（       ）A． B．点在直线上C．为直角三角形 D．面积的最小值为16【答案】BCD【解析】由题可知，抛物线的焦点，显然直线的斜率存在，设直线方程为，，，
联立，消去并整理得，，，由得，，，故切线的方程为：①故切线的方程为：②联立①②得，对于A，，，不正确，故A不正确；对于B，，显然点在直线上，故B正确；对于C，，，，，将，，且，，代入上式化简得：，，为直角三角形，故C正确；对于D，到直线的距离为：，，，当时，，故D正确. 故选：BCD6．（2022·全国·）（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点
且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（       ）A． B．抛物线的方程为C．直线的方程为 D．【答案】ACD【解析】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确故抛物线的方程为，焦点，故B错误则，．又是的中点，则，所以，即，所以直线的方程为．故C正确由，得．故D正确故选：ACD．7．（2022·湖南·高三开学考试）（多选）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（       ）A．直线过焦点时，最小值为4B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），C．若中点的横坐标为3，则最大值为8D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：【答案】ACD【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；对于B选项，由题意，作图如下：
 则，轴，轴，即，，，，即，，，，，，故错误；对于C选项，由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.故选：ACD.8．（2022·湖南）（多选）已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（       ）A．抛物线的方程为 B．线段的长度为C． D．线段的中点到轴的距离为【答案】BD【解析】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，
又经过的焦点，故，可得，即抛物线方程为：，A正确．由，可得，解得或，可得，，所以，B错误．由以上分析可知，，，，可得，则，即，C正确．因为，，故线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误，故选：BD．9．（2022·河北）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（       ）A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切C．若，则 D．【答案】ABD【解析】对于A，由抛物线的定义，知，故A正确．对于B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，
点到直线的距离为，所以，以为直径的圆与准线相切，B正确；对于C，由抛物线的定义，可知，所以的最小值为．又的坐标为，所以，故C错误．对于D，连接，则由，得，又轴，所以，同理，所以，所以，所以，所以D正确.故选：ABD.