备战高考2024年数学第一轮专题复习9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）（解析版）

这是一份备战高考2024年数学第一轮专题复习9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）（解析版），共25页。试卷主要包含了直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，切线与切线长，对称问题等内容，欢迎下载使用。
9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）




   
考点一  直线的倾斜角与斜率【例1-1】直线的倾斜角为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得， 故直线斜率由于倾斜的范围是，则倾斜角为.故答案为：B.【例1-2】已知，且三点共线，则（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因为三点共线，所以，即，解得，所以。故答案为：A.【例1-3】直线与的夹角为　     　．【答案】【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，所以，又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，故答案为：.【一隅三反】1.（2022·全国·高二）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（          ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C2．（2022·吉林）已知直线l：的倾斜角为，则（       ）A． B．1 C． D．－1【答案】A【解析】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.所以，解得：.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为直线的斜率为，且，，因为，.故选：A. 4.（2022·江苏）已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（       ）
A． B．C． D．【答案】D【解析】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，则当时，，即，当时，，即，所以直线的斜率k的取值范围是.故选：D考点二 直线的位置关系【例2-1】若 ，则“ ”是“直线 和直线 平行”的（　　）  A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】由直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行，可得ab=1.反之不成立，例如a=b=1时，两条直线都为x+y-1=0，所以两条直线重合.ab=1是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件.故选C.【例2-2】已知直线，，且，点到直线的距离（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，解得，故故答案为：D【一隅三反】1．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】依题意，，解得或， 所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故答案为：A2．（2022广东）已知直线 ： .直线 ： ，则下列命题正确的是（　　）  A．若 ，则  B．若 ，则 C．直线 过定点  D．直线 过定点 【答案】BCD【解析】A. 若 ，则 或 ，经检验此时两直线平行，所以该选项错误； B. 若 ，则 ，所以该选项正确；C. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以此时直线 过定点 ，所以该选项正确；D. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以直线 过定点 ，所以该选项正确.故答案为：BCD3．若方程组无解，则实数　     　．【答案】±2【解析】因为方程组无解， 所以两直线平行，可得 .    考点三 直线与圆的位置关系
【例3-1】（2022浙江）当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（　　）A． B． C．-1 D．1【答案】C【解析】直线过定点， 圆的圆心为，半径，当时，圆截直线所得的弦长最短，由于，所以，即.故答案为：C【例3-2】已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图：圆心为，经过原点，可得则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为此时，圆上点D到直线的距离最大为故答案为：B【一隅三反】1（2022江苏）．过点的直线l与圆有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，圆心到直线l的距离为，当直线l的斜率不存在时，易得，此时，符合题意，；当直线l的斜率存在时，设直线，即，此时，解得或，即或；综上可得.故答案为：C.2．（2022江西）若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为　     　.【答案】【解析】由题意得，圆心到直线的距离为，则，即，解得. 故答案为：3．（2022江苏）若直线与圆相切，则实数　     　．【答案】25【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离平方可得，解得
故答案为：254．（2022湖南）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（　　）  A． B．C． D．【答案】A【解析】到点 的距离为2的点在圆 上， 所以问题等价于圆 上总存在两个点也在圆 上，即两圆相交，故 ，所以 或 .故选：A. 考点四 圆与圆的位置关系【例4-1】（2022徐汇期末）已知圆和圆内切，则m的值为　     　．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，又因为两圆内切，有，解得.故答案为：.【例4-2】（2022·河东模拟）圆与圆的公共弦长为　     　．【答案】【解析】两圆方程相减得，即，原点到此直线距离为，圆半径为，所以所求公共弦长为．故答案为：．
【例4-3】（2022南京期末）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（　　）A．4条 B．2条 C．1条 D．0条【答案】B【解析】由，得圆，半径为，由，得，半径为所以，，，所以，所以圆与圆相交，所以圆与圆有两条公共的切线。故答案为：B.【一隅三反】1．（2022汉中期中）已知，，那么它们的位置关系是（　　）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【答案】C【解析】方程可化为，得，， 方程可化为，得，，，，故两圆相交。故答案为：C.
2．（2022·邯郸模拟）已知圆：和圆：，则“”是“圆与圆内切”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】若圆与圆内切，则圆心距，即，得或，所以是圆与圆内切的充分不必要条件.故答案为：A3．（2022·河西模拟）设与相交于两点，则　     　．【答案】【解析】将和两式相减：得过两点的直线方程： ，则圆心到的距离为，所以 ，故答案为：4．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的是（　　）A．若圆与x轴相切，则B．若，则圆与圆相离C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D．直线与圆始终有两个交点【答案】BD【解析】因为圆， 所以若圆与x轴相切，则有，A不符合题意；当时，，两圆相离，B符合题意；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，C不符合题意；直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，D符合题意.
故答案为：BD
考点五 切线与切线长【例5-1】（2022·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（　　）A． B．C． D．或【答案】C【解析】由圆心为，半径为， 斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即，斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为.故答案为：C【例5-2】（2022·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】由圆，可得，∴圆心，又圆关于直线对称，∴，即，由点向圆所作的切线长为：，即切线长最小值为4.故答案为：C.【例5-3】（2022·广东模拟）（多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（　　）A．线段的长度大于
B．线段的长度小于C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为【答案】A,D【解析】如图示： ， 根据直角三角形的等面积方法可得， ，由于，故，由于，A符合题意，B不符合题意；当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，故设AP方程为 ，则有 ，即 ， 即 或 ，设原点到直线的距离为d，则 ，当时， ；当时，，C不符合题意；当直线平分圆的周长时，即直线过点，AP斜率存在，设直线方程为，即 ，
则 ，即，故原点到直线的距离为，则 ，D符合题意；故答案为：：AD【一隅三反】1．（2022·兴化模拟）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为　     　．【答案】2【解析】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，如图，设，，切线长．故答案为：2
2．（2022·广西模拟）过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（　　）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】设圆与圆的圆心分别为O，C，则，当最小时，最小，由于点A在圆O上，则的最小值为，所以
的最小值为. 故答案为：B.3.（2022·陕西模拟）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（　　）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可知，，半径，圆心， 所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故答案为：C.
考点六 对称问题【例6-1】（2022广东）如果 关于直线l的对称点为 ，则直线l的方程是(　　)   A． B． C． D．【答案】A【解析】因为已知点 关于直线l的对称点为 ， 故直线l为线段 的中垂线，求得 的中点坐标为 ， 的斜率为 ，故直线l的斜率为-3， 故直线l的方程为 ，即 。故答案为：A.【例6-2】（2022云南）与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（　　）   A．2x+y－3=0 B．2x+y+3=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y－3=0【答案】A【解析】在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则， ∴a=2-x，b=-y，∵（a，b）在直线2x+y-1=0上，∴2a+b-1=0，∴2（2-x）-y-1=0，∴2x+y-3=0，故答案为：A。【例6-3】（2022海南）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（　　）  A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【答案】B【解析】设对称直线方程为 ， ，解得 或 （舍去），所以所求直线方程为 。故答案为：B【一隅三反】
1．（2022河北）已知直线 ，直线 与 关于直线 对称，则直线 的斜率为（　　）  A． B． C． D．【答案】D【解析】联立 ，解得 ， 所以直线 与直线 的交点为 ，所以点 在直线 上，所以可设直线 即 ，在直线 上取一点 ，则该点到直线 与 的距离相等，所以 ，解得 或 （舍去）.所以直线 的斜率为 .故答案为：D.2．直线l：x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为 (　　)A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0【答案】C【解析】直线l：x﹣y+1=0即y=x+1关于x轴对称的直线方程为的斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣1， ∴要求的直线方程为：y=﹣x﹣1，即x+y+1=0．故答案为：C．3.已知直线 ，直线 ，则 关于 对称的直线方程为（　　）   A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知直线 与直线 交于点 ，且点 在 上，
设点 关于 对称的点的坐标为 ，则 解得 则直线 的方程为 ，即 关于 对称的直线方程为 ．故答案为：D