2021-2022学年下学期天津市小学数学五年级期末典型试卷2

这是一份2021-2022学年下学期天津市小学数学五年级期末典型试卷2，共31页。试卷主要包含了写出3个有因数3的偶数，想一想，填一填，在横线里填上适当的数等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年下学期天津市小学数学五年级期末典型试卷2
一．选择题（共5小题）
1．（2019春•鼓楼区期末）已知A、B、C是三个不同的自然数，已知A是B的因数，C是B的倍数，那么C是A的（　　）
A．因数 B．倍数 C．质数 D．合数
2．（2019秋•肃州区期末）一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是（　　）
A．64 B．16 C．8 D．4
3．（2017春•武汉月考）一桶水，当水结冰时体积增加111，当冰化成水时，体积减少（　　）
A．19 B．110 C．111 D．112
4．（2018秋•东莞市期中）小良和小马各看一本故事书，小良看了全书的35，小马也看了全书的35。小良与小马看的页数相比较，（　　）
A．小良多 B．小马多 C．一样多 D．无法比较
5．在12+14+16+18+110+112中，必须去掉（　　），才能使余下的分数之和等于1．
A．12和14 B．16和18 C．18和110 D．110和112
二．填空题（共8小题）
6．（2021秋•邱县期末）写出3个有因数3的偶数：　 　、　 　、　 　。
7．（2018春•江城区期中）两个质数的和是26，积是69，这两个质数分别是　 　和　 　．
8．按因数的个数，把非零的自然数分成　 　．最小的质数是　 　，最小的合数是　 　，20以内的质数有　 　．
9．想一想，填一填．
7，14，21，28，…这列数中，每个数都是　 　的倍数，第12个数是　 　．
102，99，96，93，…9，6，3这列数中，每个数都是　 　的倍数，第15个数是　 　．
10．在横线里填上适当的数：
3.5dm3＝　 　L
26cm2＝　 　dm2
360dm3＝　 　m3
2.3L＝　 　mL
34小时＝　 　分
58千克＝　 　克．
11．（2019春•古丈县期末）棱长是6分米的两个正方体拼接成一个长方体，表面积减少　 　平方分米．
12．（2014秋•慈溪市校级期末）
在横线上填上＞、＜或＝
47　 　27

310　 　35

55　 　77
200秒　 　2分
2吨　 　2100千克
1分米　 　10毫米
13．把89m长的铁丝平均分成4段，每段是全长的 　 　，每段长 　 　m。
三．判断题（共5小题）
14．（2021秋•晋城期中）只有一个因数的数是1。 　 　（判断对错）
15．一个数最大的因数是10，这个数就是10．　 　（判断对错）
16．23和46相等，但分数单位不同．　 　．（判断对错）
17．（2021春•兖州区期末）有14瓶口香糖，其中13瓶质量相同，另有1瓶质量不足，如果用天平称，至少称2次才能保证找出这瓶口香糖。 　 　（判断对错）
18．有3袋精盐，其中2袋每袋400克，另一袋不是400克，但不知道比400g重还是轻，用天平称一次就能保证找出来．　 　（判断对错）
四．计算题（共1小题）
19．（2021春•龙亭区期末）如图是一个长方体的展开图，计算原长方体的表面积和体积。

五．应用题（共4小题）
20．（2019秋•大名县期中）四年级2班有60人，体育课上需要分组游戏，要求每组人数相等，并且每组不多于15人，不少于8人，问有几种分法？
21．做一个长18cm、宽15cm、高12cm的长方体铁皮盒子（无盖），至少需要多少平方厘米的铁皮？这个盒子最多能盛多少毫升的水？（铁皮的厚度忽略不计）
22．（2020秋•曲沃县期末）名苑小区新建了一个长方体游泳池，长60米，宽25米，深3米．
（1）在游泳池底面和内壁抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）在游泳池中放水后，水面离池口还有0.8米．游泳池中有水多少立方米？
23．（2021春•通山县校级期末）如图，木工师傅将一根2.5米长的方木横截成了2段，表面积增加60平方厘米，原来方木的体积是多少？

六．操作题（共1小题）
24．（2020秋•铁西区期末）如图是小童用5个小正方体搭成的一个立体图形，请你分别画出从上面、正面和右面看到的形状并涂上阴影。


2021-2022学年下学期天津市小学数学五年级期末典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2019春•鼓楼区期末）已知A、B、C是三个不同的自然数，已知A是B的因数，C是B的倍数，那么C是A的（　　）
A．因数 B．倍数 C．质数 D．合数
【考点】因数和倍数的意义．
【专题】数的整除；数感．
【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；已知A、B、C是三个不同的自然数，已知A是B的因数，则B是A的倍数，又因为C是B的倍数，所以C是A的倍数；由此解答即可．
【解答】解：已知A、B、C是三个不同的自然数，已知A是B的因数，C是B的倍数，那么C是A的倍数；
故选：B．
【点评】此题考查了因数和倍数的意义，应明确因数和倍数的意义，注意基础知识的理解．
2．（2019秋•肃州区期末）一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是（　　）
A．64 B．16 C．8 D．4
【考点】找一个数的因数的方法；找一个数的倍数的方法．
【专题】数的整除；运算能力．
【分析】根据“一个数的最大的因数是它本身”可得：这个数最大是16；根据“一个数最小的倍数是它本身”可得：这个数最小是4．
【解答】解：一个数既是4的倍数，又是16的因数，这个数最小是4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了找一个数的因数、倍数的方法，解答此题根据因数和倍数的意义进行解答．
3．（2017春•武汉月考）一桶水，当水结冰时体积增加111，当冰化成水时，体积减少（　　）
A．19 B．110 C．111 D．112
【考点】分数的意义和读写．
【专题】分数和百分数；数感；应用意识．
【分析】水结冰时体积增加111，把水的体积看作单位“1”，结冰后的体积相当于（1+111）．求冰化成水时，体积减少几分之几，水结冰时增加的体积除以冰的体积．
【解答】解：设水的体积为“1”，则结成冰的体积是1+111=1211
111÷1211
=112
答：当冰化成水时，体积减少112．
故选：D．
【点评】求一个数比另一个数多或少几分之几，用这两个数之差除以另一个数．
4．（2018秋•东莞市期中）小良和小马各看一本故事书，小良看了全书的35，小马也看了全书的35。小良与小马看的页数相比较，（　　）
A．小良多 B．小马多 C．一样多 D．无法比较
【考点】分数大小的比较．
【专题】综合判断题；推理能力．
【分析】由于不知道小良和小马看的故事书的具体页数，所以无法知道全书的35是多少页，也就无法比较谁看得多。
【解答】解：由于不知道小良和小马看的故事书的具体页数，所以它们的35也就不知道是多少，所以无法比较。
故选：D。
【点评】此题的单位“1”所代表的数量不一定相同，所以也就无法比较它们的35谁多，据此解答。
5．在12+14+16+18+110+112中，必须去掉（　　），才能使余下的分数之和等于1．
A．12和14 B．16和18 C．18和110 D．110和112
【考点】异分母分数加减法．
【专题】运算顺序及法则；运算能力．
【分析】可以先分析在这个算式中哪几个分数的和是1，因为12、14、16、112中这几个分数的分母之间存在倍数关系，所以把它们通分相加1，据此可知，去掉的两个分数应18和110．
【解答】解：12+14+16+112
=612+312+212+112
＝1
所以去掉的两个数是18和110．
故选：C．
【点评】本题考查的目的是分数加减法的简算，注意找出比较容易通分计算的部分，先进行相加，从而得出结论．
二．填空题（共8小题）
6．（2021秋•邱县期末）写出3个有因数3的偶数：　6　、　12　、　18　。
【考点】找一个数的倍数的方法；找一个数的因数的方法．
【专题】数感；应用意识．
【分析】根据偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数。再根据3的倍数的特征，一个数个位上的数字之和是3的倍数，这个是一定是3的倍数。据此解答。
【解答】解：有因数3的偶数有：6，12，18。
故答案为：6，12，18。
【点评】此题考查的目的是理解掌握偶数的意义，3的倍数的特征的及应用。
7．（2018春•江城区期中）两个质数的和是26，积是69，这两个质数分别是　3　和　23　．
【考点】合数与质数．
【专题】数的整除；数感．
【分析】先把69分解质因数是：69＝3×23，又因为3和23都是质数，并且3+23＝26，所以这两个质数分别是3和23，据此解答．
【解答】解：把69分解质因数是：69＝3×23，
因为3和23都是质数，并且3+23＝26，符合题干的要求，
所以这两个质数分别是3和23；
故答案为：3，23．
【点评】此题考查的目的是理解质数、合数的意义．
8．按因数的个数，把非零的自然数分成　质数和合数　．最小的质数是　2　，最小的合数是　4　，20以内的质数有　8　．
【考点】合数与质数．
【专题】综合填空题；数的整除．
【分析】在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．最小的质数是2，最小的合数是4.1只有一个因数，既不是质数，也不是合数．所以非零自然数按因数的个数可以分为质数、合数、1；20以内的素数有2、3、5、7、11、13、17、19共8个．
【解答】解：非零自然数按因数的个数可以分为质数和合数．最小的质数是2．最小的合数是4；
20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19共8个．
故答案为：质数和合数，2，4，8．
【点评】明确质数与合数的意义是完成本题的关键．
9．想一想，填一填．
7，14，21，28，…这列数中，每个数都是　7　的倍数，第12个数是　84　．
102，99，96，93，…9，6，3这列数中，每个数都是　3　的倍数，第15个数是　60　．
【考点】找一个数的倍数的方法；找一个数的因数的方法．
【专题】数的整除；数感；运算能力．
【分析】（1）根据给出的数列的个位上的数字都是7，14，21，28，…，所以此数列都是7的倍数；而且每个数都是它项数的7倍．
（2）能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除；根据给出的数列，得出此数列都是3的倍数；求第15个数，用102减去14个3即可．
【解答】解：7，14，21，28，…这列数中，每个数都是7的倍数，
12×7＝84
所以第12个数是84；

102，99，96，93，…9，6，3这列数中，每个数都是3的倍数，
102﹣14×3
＝102﹣42
＝60
所以第15个数60．
故答案为：7，84；3，60．
【点评】关键是根据已知的数得出前后数之间的变化关系的规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题．
10．在横线里填上适当的数：
3.5dm3＝　3.5　L
26cm2＝　0.26　dm2
360dm3＝　0.36　m3
2.3L＝　2300　mL
34小时＝　45　分
58千克＝　625　克．
【考点】体积、容积进率及单位换算；质量的单位换算；时、分、秒及其关系、单位换算与计算；小面积单位间的进率及单位换算．
【专题】长度、面积、体积单位；质量、时间、人民币单位．
【分析】（1）立方分米与升是等量关系二者互化数值不变．
（2）低级单位平方厘米化高级单位平方分米除以进率100．
（3）低级单位立方分米化高级单位立方米除以进率1000．
（4）高级单位升化低级单位毫升乘进率1000．
（5）高级单位小时化低级单位分钟乘进率60．
（6）高级单位千克化低级单位克乘进率1000．
【解答】解：在横线里填上适当的数：
（1）3.5dm3＝3.5L
（2）26cm2＝0.26dm2
（3）360dm3＝0.36m3
（4）2.3L＝2300mL
（5）34小时＝45分
（6）58千克＝625克．
故答案为：3.5，0.26，0.36，2300，45，625．
【点评】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率．
11．（2019春•古丈县期末）棱长是6分米的两个正方体拼接成一个长方体，表面积减少　72　平方分米．
【考点】长方体和正方体的表面积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】根据题意可知，把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，有两个面重合在一起，所以长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体两个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答．
【解答】解：6×6×2
＝36×2
＝72（平方分米）
答：表面积减少72平方分米．
故答案为：72．
【点评】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体表面积的意义及应用．
12．（2014秋•慈溪市校级期末）
在横线上填上＞、＜或＝
47　＞　27

310　＜　35

55　＝　77
200秒　＞　2分
2吨　＜　2100千克
1分米　＞　10毫米
【考点】分数大小的比较；质量的单位换算；时、分、秒及其关系、单位换算与计算；长度的单位换算；整数大小的比较．
【专题】运算顺序及法则；长度、面积、体积单位；质量、时间、人民币单位．
【分析】（1）根据同分母分数大小的方法进行比较；
（2）根据同分子分数大小比较的方法进行比较；
（3）分子和分母相同的分数等于1；
（4）2分＝120秒，所以200秒＞2分；
（5）2吨＝2000千克，所以2吨＜2100千克；
（6）1分米＝100毫米，所以1分米＞10毫米．
【解答】
解：47＞27

310＜35

55=77
200秒＞2分
2吨＜2100千克
1分米＞10毫米
故答案为：＞，＜，＝，＞，＜，＞．
【点评】本题主要考查了学生根据题目特点，采用不同的方法进行比较大小的能力．
13．把89m长的铁丝平均分成4段，每段是全长的 　14　，每段长 　29　m。
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感；应用意识．
【分析】把铁丝的总长度看作单位“1”，平均分成几段，每段就是全长的几分之一；
用铁丝的总长度除以平均分成的段数就是每段的长度，据此解答。
【解答】解：1÷4=14
89÷4=29（m）
答：每段是全长的14，每段长29m。
故答案为：14；29。
【点评】明确平均分成几段，每段就是几分之一以及总长度除以平均分成的段数就是每段的长度是解题的关键。
三．判断题（共5小题）
14．（2021秋•晋城期中）只有一个因数的数是1。 　√　（判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】解题思想方法；推理能力．
【分析】利用找配对的方法找一个数的因数，一个数的因数如果只有它本身，那么说明这个数只有1符合。
【解答】解：1的因数是1，只有1个因数，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了因数的意义及找一个数的因数的方法。
15．一个数最大的因数是10，这个数就是10．　√　（判断对错）
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】数的整除；数感．
【分析】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身，据此进行分析解答．
【解答】解：一个数最大的因数是10，这个数就是10．这个说法正确．
故答案为：√．
【点评】解决此题明确：一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身．
16．23和46相等，但分数单位不同．　√　．（判断对错）
【考点】分数大小的比较；分数的意义和读写．
【专题】综合判断题；分数和百分数．
【分析】根据分数和分数单位的意义，可知23表示把单位“1”平均分成3份，表示其中的2份，分数单位是13；而46表示把单位“1”平均分成6份，表示其中的4份，分数单位是16；所以它们的单位不同；根据分数的性质，可知23和46大小相等．
【解答】解：23=46，它们的大小相等，
但23表示把单位“1”平均分成3份，表示其中的2份，分数单位是13；
而46表示把单位“1”平均分成6份，表示其中的4份，分数单位是16；所以它们的单位不同．
故答案为：√．
【点评】此题考查分数和分数单位的意义，也考查了分数性质的运用．
17．（2021春•兖州区期末）有14瓶口香糖，其中13瓶质量相同，另有1瓶质量不足，如果用天平称，至少称2次才能保证找出这瓶口香糖。 　×　（判断对错）
【考点】找次品．
【专题】应用意识．
【分析】根据“n次可以找出3的n次幂个零件中一个较轻次品”判断。
【解答】解：2次可以找出32＝9（个）待测物品的一个较轻次品；
3次可以找出33＝27（个）待测物品的一个较轻次品；
因此3次可以找出10～27个待测物品中的一个较轻次品；
14在10～27范围之内，所以需要3次才能保证找出这瓶口香糖。
故答案为：×。
【点评】运用找次品问题总结的规律是解答本题的捷径。
18．有3袋精盐，其中2袋每袋400克，另一袋不是400克，但不知道比400g重还是轻，用天平称一次就能保证找出来．　×　（判断对错）
【考点】找次品．
【专题】优化问题；推理能力．
【分析】根据题意，第一次取2袋盐分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一袋不是400克，若天平不平衡，取较轻的一袋与第3袋分别放在天平两侧称量，若天平平衡，则第一次较重的不是400克，若天平不平衡，则较轻的一袋不是400克．据此解答．
【解答】解：第一次取2袋盐分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的一袋不是400克，若天平不平衡，取较轻的一袋与第3袋分别放在天平两侧称量，若天平平衡，则第一次较重的不是400克，若天平不平衡，则较轻的一袋不是400克．
答：至少2次才能保证找到不是400克的一袋，所以原说法错误．
故答案为：×．
【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据．
四．计算题（共1小题）
19．（2021春•龙亭区期末）如图是一个长方体的展开图，计算原长方体的表面积和体积。

【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是10分米，宽是8分米，高是6分米，根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【解答】解（10×8+10×6+8×6）×2
＝（80+60+48）×2
＝188×2
＝376（平方分米）
10×8×6＝480（立方分米）
答：这个长方体的表面积是376平方分米，体积是480立方分米。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
五．应用题（共4小题）
20．（2019秋•大名县期中）四年级2班有60人，体育课上需要分组游戏，要求每组人数相等，并且每组不多于15人，不少于8人，问有几种分法？
【考点】找一个数的因数的方法．
【专题】数的整除；数感．
【分析】根据找一个数的因数的方法，首先找出60的因数，然后再判断即可．
【解答】解：60的因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；
每组10人，可以分成6组；每组12人，可以分成5组；每组15人，可以分成4组；共3种．
答：有3种分法．
【点评】本题考查了找一个数的因数的方法．
21．做一个长18cm、宽15cm、高12cm的长方体铁皮盒子（无盖），至少需要多少平方厘米的铁皮？这个盒子最多能盛多少毫升的水？（铁皮的厚度忽略不计）
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念；应用意识．
【分析】已知这个长方体盒子无盖，根据长方体表面积的计算方法，求出这个长方体的一个底面和4个侧面的总面积就是需要铁皮的面积，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式即可求出这个盒子的容积．
【解答】解：18×15+18×12×2+15×12×2
＝270+432+360
＝1062（平方厘米）
18×15×12
＝270×12
＝3240（立方厘米）
3240立方厘米＝3240毫升
答：至少需要1062平方厘米的铁皮，这个盒子最多能盛3240毫升的水．
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积公式在实际生活中的应用．关键是熟记公式．
22．（2020秋•曲沃县期末）名苑小区新建了一个长方体游泳池，长60米，宽25米，深3米．
（1）在游泳池底面和内壁抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
（2）在游泳池中放水后，水面离池口还有0.8米．游泳池中有水多少立方米？
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】应用题；立体图形的认识与计算；应用意识．
【分析】（1）求抹水泥的面积就等于水池的表面积减去上口的面积，水池的长、宽、高已知，利用长方体的表面积S＝（ab+bh+ah）×2，即可求解．
（2）求注入水的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”进行解答即可．
【解答】解：（1）（60×25+60×3+25×3）×2﹣60×25
＝（1500+180+75）×2﹣1500
＝1755×2﹣1500
＝3510﹣1500
＝2010（平方米）
答：抹水泥的面积是2010平方米．

（2）60×25×（3﹣0.8）
＝1500×2.2
＝3300（立方米）
答：游泳池中有水3300立方米．
【点评】解答此题应弄清要求的是什么，进而根据面积公式和体积计算方法，进行解答即可．
23．（2021春•通山县校级期末）如图，木工师傅将一根2.5米长的方木横截成了2段，表面积增加60平方厘米，原来方木的体积是多少？

【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】空间观念；应用意识．
【分析】根据题意可知，把这根方木横截成2段，表面积比原来增加两个截面的面积，据此可以求出原来方木的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【解答】解：2.5米＝250厘米
60÷2×250
＝30×250
＝7500（立方厘米）
答：原来方木的体积是7500立方厘米。
【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
六．操作题（共1小题）
24．（2020秋•铁西区期末）如图是小童用5个小正方体搭成的一个立体图形，请你分别画出从上面、正面和右面看到的形状并涂上阴影。

【考点】作简单图形的三视图．
【专题】空间观念；几何直观．
【分析】左边的立体图形由5个相同的小正方体组成。从正面能看到4个相同的小正方形，分两层，下层3个，上层居中1个；从上面能看到4个相同的小正方形，分两层，上层3个，下层居中1个；从右面能看到3个相同的小正方形，分两层，上层1个，下层2个，右齐。
【解答】解：

【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。

考点卡片
1．整数大小的比较
【知识点归纳】
比较整数的大小，位数多的那个数就大；如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大，那个数就大．

【命题方向】
常考题型：
例1：在横线里填上“＞”、“＜”或“＝”
527023　＜　 4969200 48×7　＜　350
360÷60　＝　36÷6175﹣（30﹣6）　＞　175﹣（30+6）
分析：（1）527023和4969200位数不同，位数多的这个数就大．因为525023是6位数字，4969200是7位数字，所以527023＜4969200；
（2）先估算48×7，看作50×7＝350，再比较，所以48×7＜350；
（3）根据商不变性质进行解答，（360÷10）÷（60÷10）＝36÷6，所以360÷60＝36÷6；
（4）175﹣（30﹣6）去括号为175﹣30+6，175﹣（30+6）去括号为175﹣30﹣6，所以175﹣（30﹣6）＞175﹣（30+6）．
解：（1）527023＜4969200；
（2）48×7＜350；
（3）360÷60＝36÷6；
（4）175﹣（30﹣6）＞175﹣（30+6）．
点评：此题先跟据它的数据特点选择合适方法分析，再比较大小；整数比较大小，先比较数位，数位多的数就大；数位相同的在从最高位开始比较，最高位上的数字大的这个数就大，最高位上的数字相等的在比较第二位…

例2：由5、7、0、4、5、9、0、2、1、2组成的十位数中，最大的数是　9755422100　，最小的数是　1002245579　．
分析：（1）要使组成的十位数最大，则最高位上应该是9，然后依次是7、5、5、4、2、2、1、0、0，写出这个十位数即可；
（2）要使组成的十位数最小，则最高位上应该是1，然后依次是0、0、2、2、4、5、5、7、9，写出这个十位数即可．
解：由5、7、0、4、5、9、0、2、1、2组成的十位数中，
最大的数是：9755422100，最小的数是：1002245579．
故答案为：9755422100、1002245579．
点评：解答此题的关键是从最高位开始，逐一判断出每个数位上的数字即可．
2．因数和倍数的意义
【知识点归纳】
假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数．

【命题方向】
常考题型：
例1：24是倍数，6是因数．　×　．（判断对错）
分析：约数与倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数（也叫因数）．约数与倍数是相互依存的，据此解答．
解：24÷6＝4，只能说24是6的倍数，6是24的因数，所以24是倍数，6是因数的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查因数与倍数的意义，注意约数与倍数是相互依存的．

例2：一个数的因数都比这个数的倍数小．　×　．（判断对错）
分析：一个数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．如：5的最小倍数是5，最大因数也是5．由此即可解答．
解：因为一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数，所以此题干不正确；
故答案为：×．
点评：此题重点是考察因数和倍数的意义，要知道一数既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数．
3．找一个数的因数的方法
【知识点归纳】
1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24．
2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6．
3．末尾是偶数的数就是2的倍数．
4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
6．最后一位是5或0的数是5的倍数．
7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．

【命题方向】
常考题型：
例：从18的约数中选4个数，组成一个比例是　1：2＝3：6　．
分析：先写出18的约数，然后根据比例的含义，写出两个比相等的式子即可．
解：18的约数有：1，2，3，6，9，18；
1：2＝3：6；
故答案为：1：2＝3：6．
点评：此题解答方法是根据比例的意义或比例的基本性质进行解答，此题答案很多种，写出其中的一种即可．
4．找一个数的倍数的方法
【知识点归纳】
找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的．
1．末尾是偶数的数就是2的倍数．
2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样．
3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数．
4．最后一位是5或0的数是5的倍数．
5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数．
6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除．

【命题方向】
常考题型：
例1：个位上是3、6、9的数，都是3的倍数．　×　．（判断对错）
分析：举个反例证明，3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．
解：13，16，29是个位上分别是3，6，9可是它们都不是3的倍数，所以个位上是3、6、9的数，都是3的倍数得说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查3的倍数的特征．注意个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数．

例：一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是　120　．
分析：既有因数3，又是2和5的倍数，就是这个三位数同时是2、3、5的倍数，根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位必需是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1，然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，因为1+0＝1，1再加2、5、8的和是3的倍数，即十位可以是；2、5、8，其中2是最小的，据此解答．
解：由分析可知；一个三位数，既有因数3，又是2和5的倍数，这个数最小是；120；
故答案为：120．
点评：本题主要考查2、3、5的倍数的特征，注意掌握只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数，要想最小百位必需是最小的一位数1．
5．合数与质数
【知识点解释】
合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数．
质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数）

【命题方向】
常考题型：
例1：所有的质数都是奇数．　×　．（判断对错）
分析：只有1和它本身两个因数的自然数为质数．不能被2整除的数为奇数，也就是说，奇数除了没有因数2外，可以有其他因数，如9、15等．
解：根据质数和奇数的定义，“所有的质数都是奇数”的说法是错误的．
故答案为：×．
点评：本题混淆了质数和奇数的定义．

例2：已知a×b+3＝x，其中a、b均为小于1000的质数，x是奇数，那么x的最大值是　1997　．
分析：x是奇数，因为偶数+奇数＝奇数，3为奇数，所以，a×b定为偶数，则a、b必有一个为最小的质数2，小于1000的最大的质数为997，所以x的最大值为2×997+3＝1997．
解：x是奇数，a×b一 定为偶数，
则a、b必有一个为最小的质数2，
小于1000的最大的质数为997，
所以x的最大值为2×997+3＝1997．
故答案为：1997．
点评：在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数．
6．分数的意义和读写
【知识点归纳】＜BR＞分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．＜BR＞在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．＜BR＞分数的分类：＜BR＞（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．＜BR＞（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．＜BR＞带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（　　）＜BR＞A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长＜BR＞分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．＜BR＞解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3−34=214（米）；＜BR＞第二根剪去34，剩下的长度是3×（1−34）=34（米）．＜BR＞所以第一根剩下的部分长．＜BR＞故选：A．＜BR＞点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
7．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．

【命题方向】
常考题型：
例1：小于34而大于14的分数只有24一个分数．　×　（判断对错）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将34和14的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在14和34间会出现无数个真分数，所以，大于14而小于34的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
8．异分母分数加减法
异分母分数加减法
9．质量的单位换算
【知识点归纳】
1吨＝1000千克＝1000000克，
1千克＝1000克，
1公斤＝1000克＝2斤，
1斤＝500克．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．

【命题方向】
常考题型：
例1：1千克的沙子与1000克的棉花相比（　　）
A、一样重 B、沙子重 C、棉花重
分析：把1千克换算成用克作单位的数，要乘它们之间的进率1000，然后再进一步解答即可．
解：根据题意可得：
1×1000＝1000；
1千克＝1000克；
所以，1千克的沙子与1000克的棉花一样重．
故选：A．
点评：单位不同，先换成统一单位，再比较大小，然后进一步解答即可．

例2：2.05千克＝　2　千克　50　克＝　2050　克．
分析：把2.05千克化成复名数，整数部分2就是千克数，再把0.05千克化成克数，用0.05乘进率1000；
把2.05千克化成克数，用2.05乘进率1000，即可得解．
解：0.05×1000＝50（克），
2.05千克＝2千克50克；
2.05×1000＝2050（克），
2.05千克＝2050克；
故答案为：2，50，2050．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之则除以进率．
10．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．

【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（　　）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．

例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用730分，丙用13秒．（　　）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：730分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
11．找次品
【知识点归纳】
次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重．
方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品．

【命题方向】
常考题型：
例：有15盒饼干，有14盒重量达标，其中有1盒少10克的混在里面．现在用天平称，至少称几次才能把不合格的那一盒找出来？
分析：第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干，据此即可解答．
解：至少称三次才能把不合格的那一盒找出来，
第一次：把15盒饼干平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平秤量端，若天平秤平衡，则少10千克的那盒即在未取的5盒中（再按照下面方法称量即可），若不平衡；第二次：从在天平秤较高端5盒饼干中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那盒即为少10千克的，若不平衡；第三次：把在较高端2盒饼干分别放在天平秤两端，较高端的那盒即为少10千克的那盒饼干．
点评：天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取饼干的盒数．
12．作简单图形的三视图
【知识点归纳】
在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析．当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析．
画哪个方向上的三视图就想象哪个方向上有光照到物体上，画出投影即可．

【命题方向】
常考题型：
例：如图立体图形，从正面、上面、侧面看到的形状分别是什么？在方格纸上画一画．

分析：观察图形可知，从正面看到的图形是2层：下层3个正方形，上层1个正方形靠左边；从上面看到的图形是一行3个正方形；从侧面看到的图形是一列2个正方形，据此即可解答问题．
解：根据题干分析画图如下：

点评：此题考查从不同方向观察物体，意在培养学生观察物体的空间思维能力．
13．长度的单位换算
【知识点归纳】
1千米＝1000米，
1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米；
1分米＝10厘米＝100毫米；
1厘米＝10毫米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．

【命题方向】
常考题型：
例1：和3.6千米相等的是（　　）
A、360米 B、3600米 C、3千米6米
分析：根据题意，先把3.6千米换算成用米作单位的数，然后再进行解答即可．
解：3.6×1000＝3600；
所以，3.6千米＝3600米；
故选：B．
点评：单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．

例2：用“米”作单位计算，“8米6厘米十5米60厘米”的正确算式是（　　）
A、8.6+5.6 B、8.06+5.06 C、8.06+5.6
分析：此题应先把复名数换算成单名数，再进行计算：
（1）把8米6厘米换算成米数，先把6厘米换算成米数，用6除以进率100，得数再加上8即可；
（2）把5米60厘米换算成米数，先把60厘米换算成米数，用60除以进率100，得数再加上5即可，据此即可做出正确选择．
解：因为8米6厘米＝8.06米，
5米60厘米＝5.6米，
所以8米6厘米十5米60厘米＝8.06+5.6（米）；
故选：C．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之，则除以进率．
14．小面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方米＝100平方分米＝10000平方厘米
1平方分米＝100平方厘米
1平方千米＝100公顷＝10000公亩＝1000000平方米
1公顷＝100公亩＝10000平方米
1公亩＝100平方米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．

【命题方向】
常考题型：
有三块铁皮，面积分别是9平方分米、90平方分米和900平方分米，哪块铁皮的面积最接近1平方米？（　　）
A、9平方分米 B、90平方分米 C、900平方分米
分析：先分别把9平方分米、90平方分米和900平方分米换算成平方米数，再比较得解．
解：因为9平方分米＝0.09平方米，
90平方分米＝0.9平方米，
900平方分米＝9平方米；
所以0.9平方米，也即90平方分米的这块铁皮的面积最接近1平方米；
故选：B．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
15．体积、容积进率及单位换算
【知识点归纳】
体积单位：
1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米
1立方分米＝1000立方厘米，
容积单位：
1升＝1000毫升
1升＝1立方分米＝1000立方厘米
1毫升＝1立方厘米
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．

【命题方向】
常考题型：
例1：3升+200毫升＝（　　）毫升．
A、2003 B、320 C、3200
分析：把3升200毫升换算为毫升，先把3升换算为毫升，用3乘进率1000，然后加上200；据此解答．
解：3升+200毫升＝3200毫升；
故选：C．
点评：解决本题关键是要熟记单位间的进率，知道如果是高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率来解决．

例2：750毫升＝　0.75　升
7.65立方米＝　7650　立方分米
8.09立方分米＝　8　升　90　毫升．
分析：（1）把750毫升换算成升数，用750除以进率1000得0.75升；
（2）把7.65立方米换算成立方分米数，用7.65乘进率1000得7650立方分米；
（3）把8.09立方分米换算成复名数，整数部分就是8立方分米，也就是8升，把0.09立方分米换算成毫升数，用0.09乘进率1000得90毫升．
解：（1）750毫升＝0.75升；
（2）7.65立方米＝7650立方分米；
（3）8.09立方分米＝8升90毫升．
故答案为：0.75，7650，8，90．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率．
16．长方体和正方体的表面积
【知识点归纳】
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S＝6a2．（a表示棱长）

【命题方向】
常考题型：
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（　　）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，分别代入正方体的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为a，则扩大后的棱长为2a，
原正方体的表面积＝a×a×6＝6a2，
新正方体的表面积＝2a×2a×6＝24a2，
所以24a2÷6a2＝4倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．

例2：两个表面积都是24平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（　　）平方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是24平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方体减少了2个面，那么长方体的表面积等于正方体10个面的面积，所以先求出正方体一个面的面积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6＝4（平方厘米），
4×10＝40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是40平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少2个面，由此即可解决问题．
17．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：

底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：

长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3

【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是　96　平方厘米，体积是　64　立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体　8　个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．

例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成