2024年高考数学第一轮复习13_专题五52三角恒等变换（专题试卷+讲解PPT）

5.2　三角恒等变换

考点　三角恒等变换

1.(2021全国乙文,6,5分)cos2= (　　)

A.

答案　D　解析　解法一:cos2.

解法二:cos2

=

=

=

=.

2.(2021全国甲理,9,5分)若α∈,tan 2α=,则tan α= (　　)

A.

答案　A　解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.

解析　∵tan 2α=,且α∈,

∴,

∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,

即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,又cos α≠0,

∴4sin α=1,∴sin α=,∴cos α=,∴tan α=.故选A.

疑难突破　将tan 2α转化为是本题的突破口.

3.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则= (　　)

A.-

答案　C　=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ=.故选C.

4.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则 (　　)

A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1

C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1

答案　C　因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,2sin β=(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.

5.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α=,则cos 2α=(　　)

A.　　　　　B.

C.-　　　　　D.-

答案　B　本题考查三角恒等变换.由sin α=,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×=1-=.故选B.

6.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=,则sin 2α=(　　)

A.-　　　B.-　　　C.　　　D.

答案　A　∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α==,∴sin 2α=-.

解后反思　涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换.

7.(2017山东文,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=(　　)

A.-　　　B.　　　C.-　　　D.

答案　D　本题考查二倍角余弦公式.

因为cos x=,所以cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.

8.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α=,则cos2α+2sin 2α=(　　)

A.　　　B.　　　C.1　　　D.

答案　A　当tan α=时,原式=cos2α+4sin αcos α====,故选A.

解后反思　将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α的式子,这是解决本题的关键.

评析　本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键..

9.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=-,则cos 2θ=(　　)

A.-　　　B.-　　　C.　　　D.

答案　D　解法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ=

==.故选D.

解法二:由tan θ=-,可得sin θ=±,

因而cos 2θ=1-2sin2θ=.

评析　本题考查化归与转化的能力.属中档题.

10.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)

A.-　　　B.　　　C.-　　　D.

答案　D　原式=sin 20°cos 10°+cos 20°@sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D.

11.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan ,则=(　　)

A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4

答案　C　====,

∵tan α=2tan ,∴==3.故选C.

12.(2015重庆文,6,5分)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　A　tan β=tan[(α+β)-α]===,故选A.

13.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=,则cos2=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　A　cos2==,把sin 2α=代入,原式=.选A.

评析　本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.

14.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=(　　)

A.　　　B.　　　C.-　　　D.-

答案　D　∵cos=,

∴sin 2α=cos=cos

=2cos2-1=2×-1=-.故选D.

思路分析　利用诱导公式化sin 2α=cos,再利用二倍角的余弦公式即可得答案.

一题多解　cos=(cos α+sin α)=⇒cos α+sin α=⇒1+sin 2α=,

∴sin 2α=-.故选D.

导师点睛　求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:

(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;

(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.

15.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　. 

答案　

解析　设a=sin α,b=sin β=cos α,

则

解得a=,b=-.

∴sin α=a=,

cos 2β=1-2sin2β=1-2b2=.

16.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. 

答案　;1

解析　∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin+1,∴A=,b=1.

17.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan=,则tan α=　　　　. 

答案　

解析　本题主要考查两角差的正切公式.

tan===,

解得tan α=.

18.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=　　　　. 

答案　-

解析　解法一:∵sin=×(sin θ+cos θ)=,

∴sin θ+cos θ=①,

∴2sin θcos θ=-.

∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,

∴sin θ-cos θ=-=-②,

由①②得sin θ=-,cos θ=,∴tan θ=-,

∴tan==-.

解法二:∵+=,

∴sin=cos=,

又2kπ-<θ<2kπ,k∈Z,

∴2kπ-<θ+<2kπ+,k∈Z,

∴cos=,∴sin=,

∴tan==,

∴tan=-tan=-.

评析　本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.

19.(2016四川理,11,5分)cos2-sin2=　　　　. 

答案　

解析　由二倍角公式易得cos2-sin2=cos=.

20.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为　　　　. 

答案　3

解析　tan β=tan[(α+β)-α]===3.

21.(2015四川理,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　. 

答案　

解析　sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.

22.(2015四川文,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是　　　　. 

答案　-1

解析　由sin α+2cos α=0得tan α=-2.

2sin αcos α-cos2α=====-1.

23.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2.

(1)求tan的值;

(2)求的值.

解析　(1)因为tan α=2,

所以tan===-3.

(2)因为tan α=2,所以

=

====1.

24.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sin α=.

(1)求sin的值;

(2)求cos的值.

解析　(1)因为α∈,sin α=,

所以cos α=-=-.

故sin=sincos α+cossin α

=×+×=-.

(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,

cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,

所以cos=coscos 2α+sinsin 2α

=×+×=-.

评析　本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.