新高考数学二轮复习课件 专题五 5.2 三角恒等变换（含解析）

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考点　三角函数式的求值和化简1.两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β; (Sα+β)sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β; (Sα-β)cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β; (Cα+β)cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β; (Cα-β)tan(α+β)= ; (Tα+β)tan(α-β)= . (Tα-β)2.二倍角公式sin 2α=2sin αcs α; (S2α)
cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α; (C2α)tan 2α= . (T2α)3.公式的变形与应用1)两角和与差的正切公式的变形tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β);tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).2)升幂公式1+cs α=2cs2 ;1-cs α=2sin2 .3)降幂公式sin2α= ;cs2α= .
4)其他常用变形sin 2α= = ;cs 2α= = ;1±sin α= ;tan = = .4.辅助角公式asin α+bcs α= sin(α+φ),其中cs φ= ,sin φ= ,tan φ= .5.角的拆分与组合
1)用已知角表示未知角例,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,α= - = + .2)互余与互补关系例, + =π, + = .3)非特殊角转化为特殊角例,15°=45°-30°,75°=45°+30°.
考法　三角函数式的化简、求值1.三角函数式的化简原则2.三角函数式求值的基本类型及解法1)给角求值:①化为特殊角的三角函数值;②化为正负相消的项,消去求值;
③化分子、分母,使其出现公约数,然后约分求值.2)给值求值:解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把 待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来,求解时要注意角的范 围的讨论.3)给值求角:实质上可转化为“给值求值”问题,先求所求角的某一三角 函数值,再利用该三角函数值结合所求角的范围求得角.
解析 (1)∵角α的终边上有一点P(1,2),∴sin α= = ,cs α= = ,∴sin 2α=2sin αcs α=2× × = ,cs 2α=2cs2α-1=2× -1=- ,∴cs 2α+sin 2α =- + = .(2)由α∈ ,β∈ 得α-β∈ ,∵sin(α-β)= ,∴cs(α-β)= = = ,则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcs(α-β)-cs αsin(α-β)= × - × = ,因为β∈ ,所以β= .
应用　三角函数在实际问题中的应用解三角函数应用题的策略:1)审清题意,读懂题目中的“文字”“图形”“符号”等数学语言,理解 反映出的实际问题背景,提炼出相应的数学问题.2)建立相应的三角函数模型,通过整理数据,画出图形并标注出三角形中 的已知和所求,引入变量,运用三角函数的定义或图象等知识,建立关系 式,尽可能多地构造出直角三角形.3)解函数模型,通过三角恒等变换,将所求用已知表示出来,注意运算结果 要化到最简.4)得出结论,将求解的结果翻译成实际问题的答案.
例1 《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家达·芬奇创作的油画,现收 藏于法国卢浮宫博物馆,该油画规格为纵77 cm,横53 cm,油画挂在墙壁上 的最低点处B离地面237 cm(如图所示).有一身高为175 cm的游客从正面 观赏它(该游客头顶T到眼睛C的距离为15 cm),设该游客离墙的距离为x cm,视角为θ.为使观赏视角θ最大,x应为 (　    ) A.77　    B.77 　    C. 　    D.80