2024年数学高考大一轮复习第十二章 §12.1　坐标系（附答单独案解析）

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考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
知识梳理
1．伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：____________________________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和以射线Ox为始边，射线OM为终边的角θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．ρ称为点M的________，θ称为点M的________．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：
________________或____________________这就是极坐标与直角坐标的互化公式．
3．常见曲线的极坐标方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若点P的直角坐标为(1，－eq \r(3))，则点P的一个极坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( )
(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )
(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )
(4)tan θ＝1与θ＝eq \f(π,4)表示同一条曲线．( )
教材改编题
1．点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(5π,6)))，则点M的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，3\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\r(3)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(3)，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，3\r(3)))
2．在极坐标系中，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))到直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1的距离为( )
A．2 B．1 C．3 D.eq \r(3)－1
3．将直角坐标方程(x－3)2＋y2＝9化为极坐标方程为____________．
题型一 极坐标与直角坐标的互化
例1 (1)已知点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(π,3)))，则点M的直角坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2\r(3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2\r(3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(3)，－2))
听课记录：_______________________________________________________________________
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(2)点M的直角坐标是(－1，eq \r(3))，则点M的极坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(4π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,3)))
听课记录：_______________________________________________________________________
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思维升华 (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时，常先通过变形，构造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的式子，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边同时平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
跟踪训练1 (1)若点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\r(2)))，那么它的极坐标可表示为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))
(2)在极坐标系中，已知两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,6)))，则线段AB的长为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2)
C．1 D．2
题型二 求曲线的极坐标方程
例2 已知圆心C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,4)))，且圆C经过极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．
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思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤
(1)将已知条件转化到直角坐标系中．
(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程．
(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程．
跟踪训练2 已知圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，直线l过坐标原点O，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ，θ))＝0；
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(2)设直线l与圆C交于A，B两点，当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝2eq \r(7)时，求直线l的极坐标方程．
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题型三 极坐标方程的应用
例3 在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcs θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
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思维升华 极坐标方程及其应用的解题策略
(1)求点到直线的距离．先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解．
(2)求线段的长度．先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后再求线段的长度．
跟踪训练3 已知曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－2))2＝8，以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
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(2)设射线l1：θ＝eq \f(π,3)，l2：θ＝eq \f(π,6).若l1，l2分别与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△ABO的面积．
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________________________________________________________________________曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
圆心为(r,0)，半径为r的圆
圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线