数学选择性必修 第三册6.3 二项式定理课文内容ppt课件

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基础落实·必备知识全过关
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知识点　二项式系数的性质1.对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即　　　　　　　　　. 2.增减性与最大值3.各二项式系数的和 可化为(1+1)n进行公式的逆推
名师点睛二项式系数与二项展开式中某一项的系数是不同的概念,特别地, (a+b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数即对应的各二项式系数;(a-b)n(a>0,b>0)的展开式中,各项的系数的绝对值即对应的二项式系数.
过关自诊1.二项式系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗?
提示 不一定.如果项的系数中还有其他的常数,则该项的系数不一定最大.
3.若(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=　　　　　. 
4.[苏教版教材例题]证明:在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
探究点一　求二项展开式中系数或二项式系数最大的项
【例1】 已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
规律方法　求二项展开式中系数的最值的方法(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.(2)若二项展开式的系数为f(k)= mg(k)的形式.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k+1项系数最大,应用 解出k,即得系数最大的项.
变式训练1[2023山东烟台期中]已知(2x+1)n展开式的二项式系数和为a, (x+ )展开式的奇数项的二项式系数和为b,且a-b=32,则在(x2- )n的展开式中,求解下列问题:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.
探究点二　二项式系数和问题
【例2】 已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值:(1)a0+a1+a2+…+a5;(2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|;(3)a1+a3+a5.
解 (1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a5=1.(2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由(2x-1)5的通项Tk+1= (-1)k·25-k·x5-k,知a1,a3,a5为负值,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243.(3)由a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35.所以a1+a3+a5= =-121.
变式探究 在本例条件下,求下列各式的值:(1)a0+a2+a4;(2)a1+a2+a3+a4+a5;(3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4.
解 (1)因为a0+a1+a2+…+a5=1,-a0+a1-a2+…+a5=-35.所以a0+a2+a4= =122.(2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数,所以a0=25=32.又因为a0+a1+a2+…+a5=1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-31.(3)因为(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4.令x=1得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10.
规律方法　二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= .
变式训练2[2023江苏苏州期中]在①只有第6项的二项式系数最大;②展开式的第5项与第7项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数之和为512这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且满足　　　　　. (2)求a1+2a2+…+nan的值.
解 (1)选①:因为只有第6项的二项式系数最大,所以n=10.由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.当x=0时,解得a0=1;
选③:因为奇数项的二项式系数之和为512,所以2n-1=512=29,解得n=10.由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.当x=0时,解得a0=1;
(2)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,两边取导数,得10(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1,得a1+2a2+…+10a10=10.
探究点三　用二项式定理证明不等式
【例3】 求证:2≤(1+ )n<3(n∈N*).
变式训练3求证:对于任意的正数n,不等式(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n成立.
证明 由二项式定理,有故(2n+1)n≥(2n)n+(2n-1)n.
1.知识清单:(1)杨辉三角;(2)二项式系数的增减性与最值;(3)二项展开式的系数和问题.2.方法归纳:赋值法.3.常见误区:(1)混淆系数与二项式系数的区别;(2)不能正确判断中间项的个数.
1.(x- )11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)A.第3项B.第6项C.第6,7项D.第5,7项
2.若x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a8的值为(　　)A.10B.45C.-9D.-45
3.(2x-1)6的展开式中各项系数的和为　　　　　,各项的二项式系数的和为　　　　　. 
解析 令x=1,得各项系数的和为1;各二项式系数之和为26=64.