新教材2023_2024学年高中数学第6章计数原理测评新人教A版选择性必修第三册

这是一份新教材2023_2024学年高中数学第6章计数原理测评新人教A版选择性必修第三册，共8页。
第六章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2023天津期中]=(　　)A.960 B.480 C.160 D.802.在(a+b)10的二项展开式中,第3项为(　　)A.a8b2 B.a2b8 C.a7b3 D.a3b73.3名志愿者,每人从4个不同的岗位中选择1个,则不同的选择方法共有(　　)A.12种 B.64种 C.81种 D.24种4.[2023湖南长沙期中]在数学中,有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的数字密码时,打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排第一个,两个8相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为(　　)A.30 B.32 C.36 D.485.[2023贵州兴义一模](ax+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为40,则实数a的值为(　　)A.4 B.2 C.1 D.6.[2023浙江宁波月考]如图,某城市的街区由12个全等的矩形组成(实线表示马路),CD段马路由于正在维修,暂时不通,则从A到B的最短路径有(　　)A.23条 B.24条 C.25条 D.26条7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次,“数”和“乐”两次不相邻,则“六艺”讲座不同的次序共有(　　)A.120种 B.240种 C.1 092种 D.408种8.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142 857,因为142 857×2=285 714,142 857×3=428 571,142 857×4=571 428,…,所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下规律:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x,剩下的三个数字构成另一个三位数y,若x+y=999,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为(　　)A.48 B.60 C.96 D.120二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.[2023湖北随州月考]下列四个关系式中,一定成立的是(　　)A.B.=nC.3-2=148D.+…+=32810.[2023山东滕州期中]某高一学生想在物理、化学、生物学、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选科科目,则(　　)A.若不选择政治,选法总数为种B.若物理和化学至少选一门,选法总数为C.若物理和历史不能同时选,选法总数为()种D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为12种11.[2023湖北武汉期中]已知6名同学排成一排,下列说法正确的是(　　)A.甲不站两端,共有种排法B.甲、乙必须相邻,共有种排法C.甲、乙之间恰有两人,共有种排法D.甲不排左端,乙不排右端,共有(-2)种排法12.若(1-x2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a4 044x4 044,则(　　)A.a0=1B.a2i=0C.(iai2i-1)=4 044×32 021D.(-1)i()2=-三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数,则在组成的五位数中,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有　　　　　个. 14.[2023北京通州期中]已知(x-2)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a0=　　　　　,a5=　　　　　. 15.[2023湖南怀化模拟]信息技术辅助教学已经成为教学的主流趋势,为了了解学生利用学习机学习的情况,某研究机构在购物平台上购买了6种主流的学习机,并安排4人进行相关数据统计,且每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则不同的安排方法有　　　　　种. 16.[2023重庆期中]如图,某景区共有A,B,C,D,E五个景点,相邻景点之间仅设置一个检票口供出入,共有7个检票口,工作人员为了检测检票设备是否正常,需要对每个检票口的检票设备进行检测.若不重复经过同一个检票口,依次对所有检票口进行检测,则共有　　　　　种不同的检测顺序. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)[2023甘肃古浪月考]解下列方程.(1)=3;(2)+…+.         18.(12分)[2023北京通州期中]已知x-7.(1)求x-7的展开式的中间两项;(2)求x-7的展开式中x3项的系数.         19.(12分)[2023天津静海期中]从1,2,3,4,5,6中任取5个数字,随机填入如图所示的5个空格中.ABCDE (1)若填入的5个数字中有1和2,且1和2不能相邻,不同的填法有多少种?(2)若填入的5个数字中有1和3,且区域A,B,C中有奇数,不同的填法有多少种?         20.(12分)某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加研讨会.(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同的选法?(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?(3)甲、乙2人至少有1人参加,有多少种选法?(4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生,有多少种选法?      21.(12分)[2023浙江温州期中]在①a1=35;②+…+=32(m∈N*);③展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,且　　　　　. (1)求m的值;(2)求a2+a4+a6的值(结果用数值表示,参考数据:67=279 936,47=16 384).         22.(12分)已知f(x)=(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,且(2x+3)n=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n.(1)求a2的值;(2)求a1+a2+a3+…+an的值;(3)求f(20)-20被6整除的余数. 
参考答案第六章测评1.B　=4×3×2=480.2.A　在(a+b)10的二项展开式中,第3项为T3=a8b2.3.B　由分步乘法计数原理,不同的选择方法共有4×4×4=64种.4.C　根据题意,分2种情况讨论:①8排在第一位,则第二个数字也是8,再从剩下的4个位置中选出2个,安排两个2,最后安排7和1,此时有=12个不同的密码;②8不排在第一位,则第一位安排7或1,将两个8看成一个整体,与两个2和7或1中剩下的数排列,此时有=24个不同的密码.则一共有12+24=36个不同的密码.5.C　(2x-y)5展开式的通项为Tr+1=(2x)5-r(-y)r=(-1)r25-rx5-ryr,则其展开式中x2y3的系数为(-1)322=-40,x3y2的系数为(-1)223=80.又(ax+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为40,故-40a+80=40,则a=1.6.D　先假设CD是实线,则从A到B,向上3次,向右4次,最短路径有=35条,其中经过CD段马路的路径,即先从A到C,然后C到D,最后D到B的最短路径有3×3=9条,所以当CD不通时,最短路径有35-9=26条.7.D　根据题意,这六门课程全排列,共有=720种不同的次序,其中“射”排在第一次的次序有=120种,“数”和“乐”两次相邻有=240种不同的次序,“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻有=48种不同的次序,“六艺”讲座不同的次序共有720-120-240+48=408种.8.A　根据题意,数字142857中,两个数字之和为9的组合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3组,若x+y=999,对于x,其百位数字可以为6个数字中任意1个,假设为1,则y的百位数字必须为8,则x,y的百位数字有种选法,x的十位数字可以为剩下4个数字中任意1个,假设为2,则y的十位数字必须为7,则x,y的十位数字有种选法,x的个位数字可以为剩下2个数字中任意1个,y的个位数字为最后1个,则x,y的个位数字有种选法,则所有可能的有序实数组(x,y)的个数为=48,故选A.9.BC　A选项,,A错误;B选项,=n=n,B正确;C选项,3-2=3-2=148,C正确;D选项,+…++…+-1=+…+-1=-1=-1=329,D错误.10.ACD　对于A,原题意等价于六门课程中选三门选修科目,已知不选择政治,则再从剩余的五门课程中选择两门不作为选修科目,可得选法总数为种,故A正确;对于B,六门课程中选三门,选法种数为=20,若物理和化学均不选,选法种数为=4,若物理和化学至少选一门,选法种数为20-4=16,但=20≠16,故B错误;对于C,若物理和历史同时选,选法种数为,若物理和历史不能同时选,选法种数为,故C正确;对于D,在物理和历史不同时选的前提下,排除物理和化学均不选,结合选项B,C可知,选法种数为-4=20-4-4=12种,故D正确.11.ACD　A选项,甲不站两端,先把甲安排在中间4个位置中的一个,再对剩下的五名同学全排列,共有种排法,A正确;B选项,甲、乙必须相邻,先安排甲、乙,再将甲、乙看成一个元素与剩下的4名同学全排列,共有种排法,B错误;C选项,甲、乙之间恰有两人,先选2人排在甲、乙中间,再排甲、乙,将这4人看成一个元素,与剩下的2名同学全排列,共有种排法,C正确;D选项,甲不排左端,乙不排右端,共有-2种排法,D正确.12.ABD　A选项,x=0时,1=a0,A正确;B选项,x=1时,0=a0+a1+a2+…+a4044,①x=-1时,0=a0-a1+a2-a3+…+a4044,②①+②,得0=a0+a2+a4+…+a4044,B正确;C选项,(1-x2)2022=a0+a1x+a2x2+…+a4044x4044,求导得,2022(-2x)(1-x2)2021=a1+2a2x+3a3x2+…+4044a4044x4043,x=2时,2022×(-4)×(-3)2021=a1+2a2·2+3a3·22+…+4044·a4044·24043,8088×32021=(iai2i-1),C错误;D选项,(1-x2)2022=(1+x)2022·(1-x)2022⇒(a0+a1x+a2x2+…+a4044x4044)=(x+x2+…+x2022)(x+x2-x3+…+x2022),比较两边x2022的系数⇒a2022=()2-()2+…-()2+()2(-1)i()2=-,D正确.13.28　符合要求的五位数,分成两类:1和3两个夹着0时,有2=12个,1和3两个夹着2或4时,0不能放在首位,共有()=16个.综上所述,恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数有12+16=28个.14.-2　3　由题意,令x=0,可得-2×1=a0,即a0=-2;由二项展开式得,(x+1)5=x5+x4+…+x0,则a5=1+(-2)=5-2=3.15.1 560　由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计,每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计),则学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况,则按3,1,1,1分组,再分配给4人,共有=20×24=480种安排方法,按2,2,1,1分组,再分配给4人,共有24=1080种安排方法,故共有480+1080=1560种不同的安排方法.16. 32　如图,将5个景区抽象为5个点,将7个检票口抽象为7条路线,将问题化归为不重复走完7条路线,即一笔画问题,从B或E处出发的路线是奇数条,其余是偶数条,可以判断只能从B或E处出发才能不重复走完7条路线.由于对称性,只列出从B处出发的路线情形即可.①走BA路线:3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426,共6种;②走BC路线:4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126,共6种;③走BE路线:7513426,7543126,7621345,7624315,共4种.综上,共有2×(6+6+4)=32种检测顺序.17.解(1)因为=3,所以m(m-1)(m-2)=3,整理得2m-4=m+1,所以m=5.(2)因为+…++…++…+,而+…+,所以,即3+2x-1=2024或3=2x-1,所以x=1011或x=2.18.解(1)因为x-7的展开式共有8项,所以x-7的展开式的中间两项为第4项和第5项.所以x-7的展开式的第4项是T3+1=x7-3·-3=(-2)3x43=-280x,第5项是T4+1=x7-4·-4=(-2)4x34=(2)因为x-7展开式的通项是Tk+1=x7-k·-k=(-2)kx7-2k,k=0,1,2,…,7,根据题意,得7-2k=3,所以k=2.所以x-7的展开式中x3的系数是(-2)2=84.19.解(1)第一步,在3,4,5,6这四个数中任选3个数排列,有=24种填法,第二步,3个数中共产生4个空,将1和2插空,有=12种填法,由分步乘法计数原理,不同的填法有24×12=288种.(2)若填入的5个数字中有1和3,再从2,4,5,6中任取3个数字,有=4种不同的填法,将这5个数字全排列,有=120种不同的填法,故共有4×120=480种不同的填法.若区域A,B,C中无奇数,则只能为2,4,6,则有=12种不同的填法,∴填入的5个数字中有1和3,且区域A,B,C中有奇数,不同的填法有480-12=468种.20.解(1)只需从其他18人中选3人即可,共有=816种选法.(2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8568种选法.(3)分两类:第一类,甲、乙中有1人参加,有种选法;第二类,甲、乙都参加,则有种选法.由分类加法计数原理,共有=6936种选法.(4)(方法一　直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类:1内4外,2内3外,3内2外,4内1外.所以共有=14656种选法.(方法二　间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求,即共有-()=14656种选法.21.解(1)若选①,a1=35,由二项式定理,可得展开式中含x的项的系数为a1=16×m=7m=35,解得m=5.若选②,+…+=32(m∈N*),则2m=32,解得m=5.若选③,展开式中二项式系数最大值为7m,由二项式系数的性质可得二项式系数最大项为=7m,解得7m=35,则m=5.(2)由(1)可得二项式为(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,令x=0,可得a0=1;令x=1,可得a0+a1+a2+…+a7=67;①令x=-1,可得a0-a1+a2-…-a7=-47;②①+②,可得2(a0+a2+a4+a6)=67-47,所以a0+a2+a4+a6==131776,则a2+a4+a6=131776-1=131775.22.解(1)因为f(x)=(2x+3)n展开式的二项式系数和为512,则2n=512,解得n=9.因为(2x+3)9=[2(x+1)+1]9,则a2=22=144.(2)令x=-1,可得a0=1;令x=0,可得a0+a1+a2+…+a9=39,所以a1+a2+a3+…+a9=39-1=19682.(3)f(20)-20=439-20=(42+1)9-20=429+428+…+42+1-20.因为429+428+…+42能被6整除,所以-19被6整除后余数为5.