2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县重点中学高一（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县重点中学高一（上）第二次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县重点中学高一（上）第二次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若全集为，集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件3.已知，，若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 4.若对于任意，恒成立，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 5.已知，，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 6.若二次函数的两个零点为，，则二次函数的零点是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，7.数学里有一种证明方法叫做，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为(    )A.  B.
C.  D. 8.已知命题：两个正实数，满足，且恒成立，命题：“，使”，若命题与命题都为真命题，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列各选项中，值为的是(    )A.  B.
C.  D. 10.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是(    )A.  B.  C.  D. 11.解关于的不等式，则下列说法中正确的是(    )A. 当时，不等式的解集为
B. 当时，不等式的解集为或
C. 当时，不等式的解集为
D. 当时，不等式的解集为12.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是(    )A. 若，则，
B. 若，则关于的不等式的解集也为
C. 若，则关于的不等式的解集为或
D. 若为常数，且，则的最小值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合，若的子集个数为个，则实数______．14.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______ ．15.已知正实数，满足，则的最大值为          ，的最小值为          ．16.设为实数，若“”是假命题，则的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
计算或解不等式：
；
．18.本小题分
已知：，且，：，且或．
若，，求实数的值；
若是的充分条件，求实数的取值范围．19.本小题分

如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米．
要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围？
当的长为多少时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．
20.本小题分
设集合，．
若，试求；
若，求实数的取值范围．21.本小题分
已知：，，：，：．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．22.本小题分
已知函数．
当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围；
当时，解关于的不等式．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据补集、交集的定义即可求出．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】 【解析】解：由，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．3.【答案】 【解析】解：由已知可得，则，
所以集合转化为，且，
则，解得或舍去，
故，，
则，
故选：．
利用集合相等可得，，然后集合转化为，且，依次即可得，求出的值，进而可以求解．
本题考查了集合相等的定义，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．4.【答案】 【解析】解：因为对于任意，恒成立，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，即的取值范围为
故选：．
原问题等价于，利用均值不等式求出的最大值即可得答案．
本题主要考查函数最值的求解，以及不等式恒成立问题，利用基本不等式是解决本题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．5.【答案】 【解析】【分析】本题考查不等式性质的应用，是基础题．
令，利用系数相等列式求解与的值，再由不等式的性质得答案．【解答】
解：令，
则，解得，．
．
，，
又，
．
故选C．6.【答案】 【解析】解：的两个零点为，，
，，
，，
，
令，得或，
故选：．
利用二次函数的性质可求得与，从而可求得二次函数的零点．
本题考查函数的零点与二次函数的性质，属于基础题．7.【答案】 【解析】解：由题意可得：，，即，
，
，当且仅当时取等号，
因此该图形可以完成的无字证明为．
故选：．
由题意可得：，，根据，即可判断出结论．
本题考查了基本不等式的应用、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】 【解析】解：不等式恒成立，则恒成立，
由，
得，当且仅当，即时，取等号，
所以，
则，
解得，
，使，
则，
所以，解得，
因为命题与命题都为真命题，
所以，所以．
故选：．
根据结合求出，再由不等式恒成立，则恒成立，从而可求出，再根据，使，可求得此时的，再根据两命题都是真命题即可得解．
本题考查不等式恒成立问题，属于中档题．9.【答案】 【解析】解：原式，因此正确；
B.原式，因此不正确；
C.原式，因此正确；
D.原式，因此不正确．
故选：．
利用指数与对数的运算性质化简即可判断出结论．
本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】 【解析】解：命题“，”“，”
，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件．
故选：．
先求命题“，”为真命题的一个充要条件即可
本题考查充分必要条件的概念，属于基础题．11.【答案】 【解析】解：由，得，
当时，不等式的解集为，选项A正确；
当时，，所以不等式的解集为或，选项B正确；
当时，，若，即，此时不等式的解集为；
若，即，此时不等式的解集为，故选项C错误；
当时，，此时不等式等价于，所以不等式的解集为，选项D正确．
故选：．
由可得，从而对选项进行逐一判断即可
本题主要考查含参数的一元二次不等式的求解，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力．属于中档题．12.【答案】 【解析】解：：当时，则一元二次不等式一定有解，
当，时，则一元二次不等式无解，，A正确，
：设，则，，，
若，则不等式，解集不为，B错误，
：若，则，，且，
，或，
不等式的解集为或，C正确，
：为常数，且，
且，，
设，则，
则，当且仅当，即，时取等号，
的最小值为，D正确，
故选：．
利用二次函数的图象判断，设，若时判断，由，得到，且判断，由为常数，得到且，利用换元法和基本不等式判断．
本题考查一元二次不等式的解法与应用，利用基本不等式求最值，属于中档题．13.【答案】或 【解析】解：集合，且的子集个数为个，
只有一个实数解，
当时，，即，解得，
当时，只有一个实数根，
，解得．
实数的值为或．
故答案为：或．
推导出只有一个实数解，当时，，即，当时，只有一个实数根，，由此能求出实数的值．
本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】 【解析】解：关于的不等式的解集为，
时，，不等式不成立，满足题意；
，不等式的解集不为空集，不满足题意；
时，当时，
即，
解得：，满足题意；
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
根据题意，讨论的取值，是否满足不等式的解集为即可．
本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，对字母系数进行讨论，是基础题．15.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
由，可求的最大值；，利用基本不等式可求最值．【解答】
解：正实数，满足，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
则，即最大值；
．

故答案为：；．16.【答案】 【解析】解：因为“”是假命题，
所以“，”是真命题，
因为，，当且仅当，即时等号成立，
所以，，即，
所以，的取值范围是．
故答案为：．
由题知“，”是真命题，进而结合基本不等式求，的最大值即可得答案．
本题考查了转化思想、利用基本不等式求最值，属于中档题．17.【答案】【解答】解：由，得，
，解得或，
所以不等式的解集为或；
原式

． 【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解；
直接利用指数运算法则计算．
此题考查了分式不等式的解法，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：因为，，
所以由数轴法可得，解得，
此时，或，满足，，
故．
因为是的充分条件，所以，
又因为，
所以结合数轴可得，或，得或，
所以满足是的充分条件的实数的取值范围为． 【解析】由题意结合数轴法易得，得到后再检验一下，进而确定；
利用充要条件与集合之间的关系得到，结合数轴可得或，从而得到的取值范围．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．19.【答案】解：设的长为米，则 米，
因为，所以，
 所以矩形的面积为，
由，得，解得或，
所以的长的取值范围是；单位：米．
矩形花坛的面积为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当的长度为米时，矩形花坛的面积最小，最小值为平方米． 【解析】设的长为米，则米，根据比值相等可得，再由矩形面积公式得矩形面积，然后解不等式可得结果；
利用基本不等式可求得最值．
本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题．20.【答案】解：，
当时，；
；
，，
可分为以下几种情况：
当时，
由根与系数的关系，
得，
解得；
当时，
由根与系数的关系，
得，
解得；
当时，
由根与系数的关系，
得，
无解；
当时，
，
解得．
综上所述，
所求实数的取值为或． 【解析】化简集合，令化简集合，再求并集即可；
由且，分四类情况，根据根与系数的关系求解即可．
本题考查了集合间子集关系的应用及二次方程中根与系数的关系应用，属于中档题．21.【答案】解：若命题为真命题，则，，即，
，
解得，
故实数的取值范围是：．
由：，解得；
由：，解得．
是的充分不必要条件，，
且，两个等号不能同时成立，解得．
实数的取值范围是： 【解析】若命题为真命题，则，，即对于任意的实数恒成立，则即可．
分别解命题，对应的不等式，由是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集，解得的取值范围即可．
本题考查了不等式恒成立问题，一元二次不等式的解法，利用充分必要条件的定义转化为集合之间的关系的问题，属于基础题．22.【答案】解：当时，不等式对恒成立，
整理得：，
因为，所以，所以，
令，，，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以．
当时，，不等式等价于，
时，，
时，的两根为，
解集为，
时：
当即时，或，
当即时，，
当即时，或，
综上所述：时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为． 【解析】将所给的不等式分离参数，将恒成立的问题转化为求最值的问题即可求得实数的取值范围，
首先将不等式分解因式，然后分类讨论确定不等式的解集即可．
本题主要考查二次不等式的解法，分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．