2023-2024学年北京重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年北京重点中学高一（上）月考数学试卷（10月份）

一、单选题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列关系式：；；，，其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.命题“，”的否定为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3.已知全集，集合，，如图中阴影部分所表示的集合为(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知全集，集合，那么下列等式错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.若，，为实数，则下列命题错误的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则

6.已知集合，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.若实数、满足，下列不等式中恒成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9.已知集合，集合，下列关系正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.“”的一个充分非必要条件可以是(    )

A.  B.  C.  D.

11.判断下列命题的真假，其中真命题是(    )

A. “”是“”的充分条件
B. “”是“”的必要条件
C. “是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件
D. “”是“”的充分条件

12.已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

13.集合共有          个子集．

14.已知集合，，，则______．

15.已知集合，用列举法表示集合 ______ ．

16.命题“”是______ 命题填“真”或“假”，它的否定是______ ．

17.已知，则的最______ 填“大”或“小”值为______ ；此时的值是______ ．

18.已知集合，集合，若，则实数的取值范围为          ．

19.已知不等式的解集是，则 ______ ， ______ ．

20.已知集合，，其中．
集合      ；
若，都有或，则的取值范围是      ．

21.设，，集合，则 ______ ．

22.已知集合，，若，则实数的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

23.本小题分
已知集合，，全集．
求；
求；
如果，且，求的取值范围．

24.本小题分
已知集合，求：
；
；
若集合，满足，求实数的取值范围．

25.本小题分
一公司某年用万元购进一台生产设备，使用年后需要的维护费总计万元，该设备每年创造利润万元．
求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？
求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？

26.本小题分
已知关于的不等式．
当，，时，求该不等式的解集；
从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集．
，，；
，，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是实数，对；
，错；
，错；
错．
故选：．
根据、、表示的集合意义及空集定义可解决此题．
本题考查元素与集合及集合与集合间的关系，考查数学抽象能力，属于基础题．

2.【答案】 

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，的否定是：，．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题考查命题的否定，属于基础题．

3.【答案】 

【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合中，但不在集合中．
又，，
则右图中阴影部分表示的集合是：．
故选A．
先观察图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．
本小题主要考查图表达集合的关系及运算、图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．

4.【答案】 

【解析】解：全集，集合，
对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
利用交集、并集、补集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】 

【解析】解：对于：若，则，故正确，
对于：根据不等式的性质，若，则，故B错误，
对于：若，则，即，故正确，
对于：若，，则，故正确．
故选：
根据不等式的基本性质，判断每个选项即可
本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题

6.【答案】 

【解析】解：对于集合，
当时，，
当时，，
当时，，
，
故选：．
对于集合，对分情况讨论，即可判断．
本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题．

7.【答案】 

【解析】解：因为，所以，当且仅当时取等号，
又，所以，故A正确，B错误，
，当且仅当，即时取等号，故CD错误，
故选：．
利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．
本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．

8.【答案】 

【解析】解：，即，，即，
不能推出，充分性不成立，
能推出，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．

9.【答案】 

【解析】解：因为集合，集合，
对于，符合方程，故A正确，
对于，是数集，是点集，，故B错误，
对于，，故C错误，
对于，不符合符合方程，故D错误，
故选：．
根据元素与集合的关系可解．
本题考查元素与集合的关系，属于基础题．

10.【答案】 

【解析】【分析】
根据充分必要条件的定义判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查转化思想，是基础题．
【解答】
解：“”，，
故““的一个充分非必要条件是，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：对于：令，，显然错误；
对于：令，，显然错误；
对于：“是无理数”是“是无理数”的充分必要条件，故C错误；
对于：由，解得：或，
故“”是“”的充分条件，故D正确．
故选：．
根据充分必要条件的定义分别判断即可．
本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式以及集合的包含关系，是基础题．

12.【答案】 

【解析】解：：，，
：，．
命题为假命题，命题为真命题，
当时，方程没有实数根，
，即．
实数的取值范围是．
故选：．
直接利用特称命题和全称命题的关系及命题真假的判定求出的取值范围．
本题考查的知识要点：特称命题，命题真假的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

13.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查集合的子集个数问题，对于集合的子集问题一般来说，若中有个元素，则集合的子集共有个．

【解答】
解：因为集合，
所以集合的子集有：，，，，，，，，共个．
故答案为：．

14.【答案】或 

【解析】解：，
，
或，
解得：或．
故答案为：或
由两集合的并集为，得到为的子集，可得出或，即可求出的值．
此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．

15.【答案】 

【解析】解：因为集合，
则为的正约数，所以，，，，，
故为，，，，，，
故答案为：．
根据题意可得为的正约数，从而可得的值．
本题考查集合的表示法，属于基础题．

16.【答案】假  ，使得或 

【解析】解：对于命题“”，
当时，，则该命题为假命题，
其否定为：，使得或．
故答案为：假；，使得或．
根据题意，举出反例，说明该命题为假，进而写出其否定，即可得答案．
本题考查命题的否定，涉及命题真假的判断，属于基础题．

17.【答案】小     

【解析】解：，
，
当且仅当即时，等号成立．
的最小值为，此时．
故答案为：小；；．
利用基本不等式即可．
本题考查了基本不等式及其应用，属于基础题．

18.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查集合关系中的参数取值问题，属于基础题．
由集合，，，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论．

【解答】
解：集合，，若，
，
实数的取值范围是．
故答案为：．

19.【答案】   

【解析】解：因为不等式的解集是，
所以，是的根，
所以，，
故，．
故答案为：；．
由题意得，是的根，然后结合方程的根与系数关系可求．
本题主要考查了二次方程与二次不等式转化关系的应用，属于基础题．

20.【答案】 

【解析】解：集合或，
；
对，都有或，，
集合或，，
，
的取值范围是：，
故答案为：，．
先求出集合，再利用补集的定义求出；
由对，都有或，所以，从而求出的取值范围．
本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．

21.【答案】 

【解析】解：根据题意，集合，
又，
，即，
，
；
故，，
则．
故答案为：．
根据题意，集合，注意到前面集合中有元素，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．
本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点，是基础题．

22.【答案】 

【解析】解：集合，
，，
由，得是的子集，
也就是有以下情况
；是单元素集或者是；，
，也即是对于无解，
即，解得，
是单元素集，那么就有，即，
当时，，
当时，，
，而，不满足题意．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
求出集合，由，得是的子集，也就是有以下情况；是单元素集或者是；，由此能求出的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

23.【答案】解：集合，，
所以．
集合，，则，而全集，
所以或．
由，，得，
所以的取值范围是． 

【解析】利用并集的定义直接求解即可．
利用交集、补集的定义求解即可．
利用已知结合交集的结果，列出不等式求解即得．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．

24.【答案】解：集合，，
；
，
；
集合，
，，
，
解得，
即实数的取值范围为． 

【解析】先求出集合，，再利用集合的交集运算求解；
利用集合的补集运算和并集运算求解；
由可得，列出不等式求出的取值范围即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．

25.【答案】解：设该设备使用年后获得总利润为万元，
则，
该二次函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
所以当时，总利润取得最大，且最大值为万元；
由可知，年平均利润为，
当且仅当即时，等号成立，
所以使用设备年后的年平均利润最大，且最大值为万元． 

【解析】设该设备使用年后获得总利润为万元，则，结合二次函数的性质即可求解；
由可得，结合基本不等式计算即可求解．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

26.【答案】解：当，，时不等式为，可化为，
解得，
所以不等式的解集为；
若选，，，不等式为，
即，
当时，不等式解集为或，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为或，
若选，，不等式为，
当时，，不等式解集为，
当时，不等式可化为，
当时，不等式解集为或，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
综上所述：当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为，
当时，不等式解集为或 

【解析】当，，时不等式为，求出解集即可；
若选，，，不等式为，即，对两根进行讨论求出解集即可；
若选，，不等式为，分和，，，，五种情况讨论求出解集即可．
本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．