2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳实验高级中学高一（下）第二次调研数学试卷（5月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市泗阳实验高级中学高一（下）第二次调研数学试卷（5月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z满足z(2−i)=i(i是虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.在△ABC中，已知B=45°,C=75°,a= 3，则b=( )
A. 2 2B. 2C. 2D. − 2
3.已知点(1,−3)在角θ的终边上，则tan(θ+π4)的值为( )
A. −12B. −2C. 12D. 2
4.设D为△ABC所在平面内一点BC=3CD，则( )
A. AD=43AB+13ACB. AD=43AB−13AC
C. AD=13AB−43ACD. AD=−13AB+43AC
5.已知平面α，β，γ，α∩β=l，则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若csA=2 23,a=1，则b+2csinB+2sinC=( )
A. 12B. 32C. 2D. 3
7.已知平面向量a，b满足|a|=3 2，|b|=1，并且当λ=−4时，|a+λb|取得最小值，则sin〈a,b〉=( )
A. 2 23B. 13C. 154D. 14
8.如图所示，在梯形ABCD中，AB/​/CD，∠ABC=π2，点E是BC上一点，CE=2BE=4，∠AED=π3，△ADE的面积为8 3，则AD的长为( )
A. 4 3
B. 6 3
C. 8
D. 8 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图(1)，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD的中点，沿AE将△ADE折起，使点D到达点P的位置，并满足PA⊥PB，如图(2)，则( )
A. 平面PAB⊥平面PBEB. 平面PAE⊥平面PBE
C. 平面PAB⊥平面ABCED. 平面PAE⊥平面ABCE
10.下列说法中正确的是( )
A. 向是e1=(2,−3),e2=(−12,34)能作为平面内所有向量的一组基底
B. cs42°cs18°−cs48°sin18°=12
C. 两个非零向量a,b，若|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向
D. 若a=(1,2),b=(−1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则λ∈(−5,+∞)
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=2π3，b=8，则( )
A. 若A=π6，则a=4 33B. 若a=4，则sinA= 34
C. △ABC面积的最大值为16 33D. △ABC周长的最大值为16 33+8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在三棱锥D−ABC中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的位置关系是______．
13.△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，则角平分线AD的长为______．
14.已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csA=13，a=2 2，则2b+c的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设复数z=a2+a−2+(a2−7a+6)i，其中i为虚数单位，a∈R．
(1)若z是纯虚数，求实数a的值；
(2)在复平面内表示复数z的点位于第四象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，已知底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，点E为棱PD的中点．求证：
(1)PB//平面EAC；
(2)平面PAD⊥平面ABCD．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinC=3bsinA,csA=13．
(1)证明：△ABC为等腰三角形．
(2)若D是边BC的中点，AD= 34，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥Q−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD⊥底面ABCD，M是QD的中点．
(1)求证：AM⊥平面QCD；
(2)求侧面QBC与底面ABCD所成二面角的余弦值；
(3)在棱QC上是否存在点N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出QNNC，如果不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知，在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=csB．
(1)求A−B的大小；
(2)若a=1，求AB⋅AC的最小值；
(3)若sinA=csB=32tanC，求A，B的大小．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z(2−i)=i，
则z=i2−i=i(2+i)(2−i)(2+i)=−15+25i，
故在复平面内z对应的点(−15,25)位于第二象限．
故选：B．
结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由B=45°，C=75°，得A=180°−B−C=60°，
又a= 3，由正弦定理，得asinA=bsinB，
所以b=asinBsinA= 3× 22 32= 2．
故选：C．
由题意求出A，结合正弦定理计算即可求解．
本题主要考查正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为点(1,−3)在角θ的终边上，
所以tanθ=−3，
则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=−3+11−(−3)=−12．
故选：A．
由已知利用任意角的三角函数的定义可求tanθ的值，进而利用两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：如图，AD=AC+CD=AC+13BC=AC+13(BA+AC)
=43AC−13AB，
故选：D．
分析：本题考查向量的线性运算及平面向量基本定理，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：先证必要性：
因为平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，
在l取一点P作直线m⊥γ，由α⊥γ，可得m⊂α；
由β⊥γ，可得m⊂β，则l，m重合，
即有l⊥平面γ，
所以必要性成立；
再证充分性：
因为l⊥γ，α∩β=l，
所以l⊂α，l⊂β，
所以α⊥γ且β⊥γ，
所以充分性成立，
即“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的充要条件．
故选：C．
分别从充分性与必要性，结合线面垂直的判定定理以及性质定理，给出证明即可．
本题考查空间线面垂直的判定，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为csA=2 23,a=1，A∈(0,π)，
所以sinA= 1−cs2A=13，
由正弦定理bsinB=csinC=113=3，可得b=3sinB，c=3sinC，
则b+2csinB+2sinC=3(sinB+2sinC)sinB+2sinC=3．
故选：D．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而利用正弦定理即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：平面向量a，b满足|a|=3 2，|b|=1，则a⋅b=3 2cs，
所以|a+λb|2=|a|2+2λa⋅b+λ2|b|2=λ2+6 2csλ+18，
则λ=−3 2cs时，|a+λb|2取得最小值，即|a+λb|取得最小值，
故−3 2cs=−4，解得：cs=2 23，又∈(0,π)，
所以sin= 1−(2 23)2=13．
故选：B．
根据已知得出|a+λb|2=λ2+6 2csλ+18，即可根据二次函数最值问题得出λ=−3 2cs时，|a+λb|2取得最小值，即|a+λb|取得最小值，再根据已知列式解出cs，即可根据同角三角函数关系得出答案．
本题考查了平面向量的性质和线性运算，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：设∠AEB=α(00，且2(1−λ)≠2+λ，
解得λ>−5且λ≠0，故D错误．
故选：BC．
直接利用向量的共线、向量的基底的定义，两角和与差的余弦公式，向量的数量积公式，向量的夹角公式，判断A、B、C、D的结论．
本题主要考查了向量的共线、向量的基底的定义，两角和与差的余弦公式，向量的数量积公式以及向量的夹角公式的应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由B=2π3，b=8，A=π6，结合正弦定理，可得a=bsinAsinB=8×12 32=8 33，故A错误；
由B=2π3，b=8，a=4，结合正弦定理，可得sinA=asinBb=4× 328= 34，故B正确；
由B=2π3，b=8，结合余弦定理，可得b2=a2+c2−2accsB≥2ac+ac=3ac，即有ac≤643(当且仅当a=c时，取得等号)，
则△ABC面积的最大值为12×643× 32=16 33，故C正确；
由B=2π3，b=8，结合余弦定理，可得b2=a2+c2−2accsB=(a+c)2−2ac+ac=(a+c)2−ac≥(a+c)2−(a+c2)2=3(a+c)24，
即有a+c≤16 33(当且仅当a=c时，取得等号)，则△ABC周长的最大值为8+16 33.故D正确．
故选：BCD．
由正弦定理，计算可判断AB；由余弦定理和基本不等式，可判断C；由余弦定理和面积公式、基本不等式可判断D．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式，以及基本不等式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】垂直
【解析】解：因为AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，所以BE⊥AC，DE⊥AC，
又BE∩DE=E，所以AC⊥面BDE，
因为AC⊂面ADC，
所以平面ADC⊥平面BDE，
故答案为：垂直．
由两个等腰三角形及底边的中点可得BE，DE都与AD垂直，进而可得线面垂直，再得面面的垂直．
本题考查由线线的垂直证得面面垂直的性质，属于基础题．
13.【答案】6 35
【解析】解：依题意，设AD=x，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=30°，
由S△BAD+S△CAD=S△BAC，即12(AB+AC)ADsin30°=12AB×ACsin60°，
又因为AB=3，AC=2，∠BAC=60°，
即12×(3+2)×AD×12=12×3×2× 32，
解得：AD=6 35．
故答案为：6 35．
利用等面积列出方程求解即得．
本题考查等面积法求三角形的面积及角平分线的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】(2 2, 57]
【解析】解：在三角形中csA=13，可得sinA=2 23，
由正弦定理可得bsinB=csinC=asinA，
可得b=sinBsinA⋅a=3sinB，c=3sinC，
sinC=sin(B+A)=sinAcsB+csAsinB=2 23csB+13sinB，
所以2b+c=2×3sinB+3(2 23csB+13sinB)=7sinB+2 2csB= 72+(2 2)2sin(B+φ)，tanφ=2 27，
= 57sin(B+φ)，
在锐角三角形中，B为锐角，
所以sin(B+φ)≤1，
所以2b+c≤ 57，
又因为2b+c=b+c+b>b+a>a=2 2，
所以2b+c∈(2 2, 57].
故答案为：(2 2, 57].
由csA的值，可得sinA的值，由正弦定理可得b，c的表达式，进而求出2b+c的表达式，由锐角三角形中角的范围，进而可得2b+c的范围．
本题考查正弦定理及两角和正弦公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)若z是纯虚数，则a2+a−2=0a2−7a+6≠0，
解得a=−2．
(2)由题意知a2+a−2>0a2−7a+6