初中浙教版4.3 相似三角形精品习题

4.3相似三角形浙教版初中数学九年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知∽，且，，则等于
(    )

A.  B.  C.  D.

2.若∽，面积比为：，则与的相似比为(    )

A. ： B.  C.  D. ：

3.已知∽，，，，则与的面积比是(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

4.如图，在中，，，，若内接正方形的边长是，则、、的数量关系为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.已知∽，若相似比，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，∽，四边形，，则的长为
(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.已知两个相似三角形的周长比为，它们的面积之差为，那么它们的面积之和为
(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，∽，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.如图∽，，下列式子中，正确的有(    )
 

；；

；．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是(    )

A. 同位角相等，两直线平行
B. 三角形中位线定理
C. 平行线分线段成比例
D. 相似三角形的对应边成比例

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.如图，若∽，且，，则________．
 

12.如图，在四边形中，，，，，，是边上的一个动点若与相似，且满足条件的点恰有个，则的值为          ．
 

13.如图，中，，，，是边的中点，点在直线上，且与相似，则 ______ ．

14.如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为          ．
 

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

如图，点、分别为的、边上的点，且∽，已知：：，，求的长．

16.本小题分

如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，求的长．

17.本小题分
如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且B.

 

求证：∽

若，，，求的长．

18.本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为，连接．
若和相似，求的值；
连接，，若，求的值．

19.本小题分
如图，四边形和四边形都是平行四边形，是的中点，连接，分别与，交于点，．
 

求证：∽．

求的值．

20.本小题分

如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动，动点从点开始沿着边向点以的速度移动．若、两点同时开始运动，当点运动到点时停止，点也随之停止．设运动时间为．

当移动几秒时，的面积为？

当移动几秒时，以、、为顶点的三角形与相似？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形的对应角相等”是解题关键．根据相似三角形的性质得出对应角相等，再根据三角形内角和定理即可求出结果．
【解答】
解：∽，
，，
则．
故选A．

2.【答案】 

【解析】解：∽，且面积比为：，
与的相似比为，
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．
本题考查了相似三角形的性质，解题关键是掌握似三角形的面积比等于相似比的平方．

3.【答案】 

【解析】【分析】
直接利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．
【解答】
解：∽，，，，
，
与的面积比是：：．
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：如图，设与交于点，

四边形是正方形，
，，
∽，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，，正方形的边长是，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据正方形的性质得到，从而证明∽，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形是矩形表示出的长度，即可求解．
本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是证明∽后列出比例式．

5.【答案】 

【解析】解：∽，，

故选：．
利用相似三角形的性质代入即可．
本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的面积比是相似比的平方解答．
根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】
解：∽，，
，
，
，
．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的性质．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
由两个相似三角形的周长比为：，根据相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积比，设此两个三角形的面积分别为，又由它们的面积之差为，列出关系式，求出值，即可求得答案．
【解答】
解：两个相似三角形的周长比为，
这两个相似三角形的相似比为，
它们的面积比为．
设此两个三角形的面积分别为，．
它们的面积之差为，
，解得，
它们的面积之和为
故选B．

8.【答案】 

【解析】由∽可知对应高、中线的比等于相似比，即，即，解得．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边的比相等分别进行判断即可．

【解答】
解：∽，，

，所以正确，错误；

，即，所以、都错误．

故选：．

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
．
故选：．
根据平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
根据相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题．
【解答】
解：∽，
，，
，
，
故答案为．

12.【答案】或 

【解析】略

13.【答案】或或或 

【解析】解：，为的中点，
，
有两种情况：点在射线上时，
有两种情况：第一种情况：如图，

此时，
所以，
解得：，
所以；
第二种情况：如图，

此时，
所以，
解得：，
所以；
当在的反向延长线时，
有两种情况：
第一种情况：如图，

此时；
所以；
第二种情况：如图，

此时，
所以；
故答案为：或或或．
求出的长，先画出符合题意的四种图形，根据相似三角形的性质得出比例式，求出的值，再求出即可．
本题考查了相似三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键．

14.【答案】或 

【解析】解：点在矩形的内部，且是等腰三角形，
点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图所示：
，，
，
∽，
四边形是矩形，点的坐标为，
点横坐标为，，，，
∽，
，即，
解得：，
点；
点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，
过点作于，如图所示：
，
，
∽，
四边形是矩形，点的坐标为，
，，，
，
，
∽，
，即：，
解得：，，
，
点；
综上所述：点的坐标为：或；
故答案为：或．
由题意得出点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；
当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，证出，则∽，由已知得出点横坐标为，，，，由相似对应边成比例得出即可得出结果；
点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，过点作于，证出，则∽，由已知得出，，，由勾股定理得出，则，由相似对应边成比例得出，，则即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

15.【答案】解：：：，
：：，
∽，
，
． 

【解析】先根据：：得出：：的值，再根据相似三角形对应边成比例即可得出的长．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键．

16.【答案】解：∽，
．
，，，
．
在中，
． 

【解析】本题考查的是相似三角形的性质和勾股定理，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
先根据相似三角形的性质求出的长，再由勾股定理即可得出结论．

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
 ， 
，，
， 
∽．
四边形是平行四边形，
 ，
∽，
， 
． 

【解析】见答案

18.【答案】解：，，，
，
分两种情况讨论：
当∽时，，
，，，，
，
解得，，
当∽时，，
，
解得，，
或时，∽；

过作于点，，交于点，如图所示，
则，，，
，，
，
，
∽，
，
，
解得． 

【解析】根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：当∽时，：：；当∽时，：：，再根据，，，，代入计算即可；
过作于点，，交于点，则有，，，根据∽，得出：：，代入计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．

19.【答案】解：证明：四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
∽；
四边形和四边形都是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
由得：∽，
． 

【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．
根据平行线的性质可证明两三角形相似；
根据平行四边形的性质及三角形中位线定理得：，则，证明∽，可得，由中的相似列比例式可得结论．

20.【答案】解：设当移动秒时，的面积为，则，，，
的面积为，
，
，
解得：，
即移动秒时，的面积为．
设移动秒时，以、、为顶点的三角形与相似，
，
或，
或，
解得：或，
所以移动秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 

【解析】本题考查的是相似三角形的性质，三角形的面积，分类讨论有关知识．
设当移动秒时，的面积为，根据三角形的面积公式得出，再求出即可；
设移动秒时，以、、为顶点的三角形与相似，根据相似三角形的性质得出或，求出或，再求出即可．