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    2024年高考数学第一轮复习专题2.7 函数模型及其应用(解析版)

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    2024年高考数学第一轮复习专题2.7 函数模型及其应用(解析版)

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    这是一份2024年高考数学第一轮复习专题2.7 函数模型及其应用(解析版),共40页。试卷主要包含了84等内容,欢迎下载使用。
    2.7 函数模型及其应用
    思维导图



    知识点总结
    知识点一 一次函数模型
    形如y=kx+b的函数为一次函数模型,其中k≠0.
    知识点二 二次函数模型
    1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).
    2.顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
    3.两点式:y=a(x-m)(x-n)(a≠0).
    知识点三 幂函数模型
    1.解析式:y=axα+b(a,b,α为常数,a≠0).
    2.单调性:其增长情况由xα中的α的取值而定.
    知识点四 几类已知函数模型
    函数模型
    函数解析式
    一次函数模型
    f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
    反比例函数模型
    f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
    二次函数模型
    f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
    指数型函数模型
    f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
    对数型函数模型
    f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
    幂函数型模型
    f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0)

    知识点五 应用函数模型解决问题的基本过程
    1.审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;
    2.建模——将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;
    3.求模——求解数学模型,得出数学模型;
    4.还原——将数学结论还原为实际问题.
    典型例题分析
    考向一 一次函数模型的应用实例
    例1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元,卖出的价格是每份0.40元,卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里,有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进的报纸份数必须相同,试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸,才能使每月所获利润最大.
    解 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸;
    每月所获利润是y元,则每月售出报纸共(20x+10×250)份;
    每月退回报社报纸共10×(x-250)份.
    依题意得,y=(0.40-0.24)×(20x+10×250)-(0.24-0.08)×10(x-250).
    即y=0.16(20x+2 500)-0.16(10x-2 500),
    化简得y=1.6x+800,其中250≤x≤400,
    因为此一次函数(y=kx+b,k≠0)的k=1.6>0,
    所以y是一个单调增函数,再由250≤x≤400知,
    当x=400时,y取得最大值,
    此时y=1.6×400+800=1 440(元).
    所以买进400份所获利润最大,获利1 440元.
    反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
    (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
    (2)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是:设元、列式、求解.

    考向二 二次函数模型的应用实例
    例2 牧场中羊群的最大蓄养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际蓄养量不能达到最大蓄养量,必须留出适当的空闲率.已知羊群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k>0).(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)
    (1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;
    (2)求羊群年增长量的最大值;
    (3)当羊群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
    解 (1)根据题意,由于最大蓄养量为m只,实际蓄养量为x只,
    则蓄养率为,故空闲率为1-,
    由此可得y=kx(00,
    则-b-c>c,即a>c.
    ∵f(0)>0,∴c>0,则a>0.
    在区间[0,1]内选取二等分点,
    则f=a+b+c=a+(-a)=-a0,f(1)>0,
    ∴函数f(x)在区间和上各有一个零点.
    又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.
    22.已知函数在区间上有个零点.
    (1)求实数a的取值范围;
    (2)若,用二分法求方程在区间上的根.
    【答案】(1);(2).
    【解析】(1)分别讨论与的情况,利用零点存在性定理求解即可;(2)当时,,由可得函数的零点在区间上,进而求得,即可求得方程的根
    【详解】(1)若,则,与题意不符,∴,
    若,则由题意可知,,则在上是单调函数,故,
    解得,
    故的取值范围为
    (2)若,
    则,
    ,,,
    ∴函数的零点在区间上,又,
    ∴方程在区间上的根为
    【点睛】考查已知零点所在区间求参数范围,考查利用二分法求方程的根,考查运算能力
    23.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似表示为,已知此生产线年产量最大为210吨,若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
    【答案】年产量为210吨时,可获得最大利润,最大利润是1660万元.
    【分析】利用收入减去总成本表示出年利润,通过配方求出二次函数的对称轴,因开口向下,对称轴处取得最大值.
    【详解】解:设可获得的总利润为万元,则
    ∵在上是增函数,
    ∴当时,.
    ∴年产量为210吨时,可获得最大利润,最大利润是1660万元.
    【点睛】本题考查二次函数的最值,可配方求最值,注意自变量的取值范围.
    24.某厂推出品牌为“玉兔”的新产品,生产“玉兔”的固定成本为20000元,每生产一件“玉兔”需要增加投入100元,根据统计数据,总收益P(单位:元)与月产量x(单位:件)满足(注:总收益=总成本+利润)
    (1)请将利润y(单位:元)表示成关于月产量x(单位:件)的函数;
    (2)当月产量为多少时,利润最大?最大利润是多少?
    【答案】(1);(2)月产量为300件时,最大利润为25000元
    【解析】(1)由题意可知总成本是,根据利润=总收益-总成本,列分段函数;
    (2)由(1)的分段函数,分别求每段函数的最大值,比较最大值就是最大利润.
    【详解】(1)依题意,总成本是元,
    所以,即
    (2)由(1)知,当时,,
    所以当时,;当时,.
    故当月产量为300件时,利润最大,最大利润为25000元.
    综上可知当月产量为300件时,利润最大,最大利润为25000元.
    【点睛】本题考查分段函数的应用问题,意在考查抽象和概括能力,属于基础题型.
    25.牧场中羊群的最大畜养量为m只,为保证羊群的生长空间,实际畜养量不能达到最大畜养量,必须留出适当的空闲量,已知羊群的年增长量y(只)和实际畜养量x(只)与空闲率的乘积成正比,比例系数为.
    (1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;
    (2)求羊群年增长量的最大值.
    【答案】(1);(2)最大值
    【解析】(1)由题意可知空闲率是,由题意列式;
    (2)由(1)可知,求二次函数的最大值.
    【详解】(1)根据题意,最大备养量为m只实际畜养量为x只,则畜养率为,故空闲率为,
    由此可得.
    (2)由(1)得.
    所以当时,y取得最大值.故羊群年增长量的最大值为
    【点睛】本题考查函数的实际应用,意在考查分析问题,抽象和概括的能力,属于基础题型.
    26.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,飞机票价格为900元;若旅行团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,飞机票价格就减少10元,直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.
    (1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
    (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
    【答案】(1)
    (2)当旅行团人数为60人时,旅行社获得最大利润21000元.

    【分析】(1)根据题意直接可得;
    (2)根据分段函数分别求各段的最值,然后可得.
    【详解】(1)记旅行团人数为x,飞机票价格为y,
    则由题意可知,,

    (2)记旅行社所获利润为M,

    当时,(元),
    当时,,
    故当时,(元)
    综上,当旅行团人数为60人时,旅行社获得最大利润21000元.
    27.下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系,试分别就,,三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离.
    车速/(km/h)
    10
    15
    30
    40
    50
    刹车距离/m
    4
    7
    12
    18
    25
    车速/((km/h)
    60
    70
    80
    90
    100
    刹车距离/m
    34
    43
    54
    66
    80


    【答案】以为模拟函数,当车速为120km/h时,停车距离为114m.
    【分析】先求出,,解析式,再分别计算车速为90km/h,100km/h时的停车距离,确定函数模型,即可求得结论.
    【详解】解:若以为模拟函数,将,代入函数关系式,得,解得,,以此函数关系式计算车速为90km/h,100km/h时,停车距离分别为220.8m,364.5m,与实际数据相比,误差较大.
    若以为模拟函数,将,代入函数关系式,得,解得,,以此函数关系式计算车速为90km/h,100km/h时,停车距离分别为43.39m,48.65m,与实际情况误差也较大.
    若以为模拟函数,将,,代入函数关系式,得,解得,,
    以此函数关系式计算车速为90km/h,100km/h时,停车距离分别为68m,82m,与前两个函数相比,此函数更符合实际情况.
    当时,,即当车速为120km/h时,停车距离为114m.
    【点睛】本题考查函数模型的选择,考查学生的计算能力,考查利用数学知识解决实际问题,属于中档题.



    提升题型训练

    一、单选题
    1.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒(    )
    A.2 000套 B.3 000套
    C.4 000套 D.5 000套
    【答案】D
    【解析】列出利润的表达式再求解的解即可.
    【详解】因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.
    故选:D
    【点睛】本题主要考查了实际应用中的利润问题,属于基础题.
    2.函数的单调递减区间是
    A. B.C. D.
    【答案】A
    【分析】首先求出函数的定义域,根据复合函数的单调性写出单调区间即可.
    【详解】由,得或,
    定义域为,
    的单调递减区间为.
    故选A
    【点睛】本题考查函数的单调区间,函数的单调区间是函数定义域的子集,所以求解函数的单调区间时,必须先求出函数的定义域.
    3.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销售中发现,这种商品每天的销量(件)与每件的售价(元)满足一次函数:.若要每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为
    A.30元 B.42元 C.54元 D.越高越好
    【答案】B
    【分析】先建立二次函数,再利用配方法求出取得最大值时的销售定价.
    【详解】设每天的销售利润为元,则,,将上式配方后得,当时,取得最大值.故每件商品的售价定为42元时,每天才能获得最大的销售利润.
    【点睛】本题考查二次函数在实际生活中的应用,解答本题的关键是根据等量关系:“每天的销售利润=(销售价—进价)每天的销售量”列出函数关系式,另外要熟练掌握二次函数求最值方法,属于基础题.
    4.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度(单位:)与小球运动时间(单位:)之间的关系式为,那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【分析】根据函数关系式,令,解出,即可得到答案.
    【详解】由于小球的高度(单位:)与小球运动时间(单位:)之间的关系式为所以令,得(舍)或.
    故小球从抛出至回落到地面所需要的时间是
    故答案选A
    【点睛】本题考查运动函数方程,是二次函数的实际应用,属于基础题.
    5.随着海拔高度的升高,大气压强下降,空气中的含氧量也随之下降,且含氧量与大气压强成正比例函数关系.当时,,则与的函数关系式为
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【分析】设,将代人解析式中,计算出值,即可得到答案.
    【详解】由题意设,将代人解析式可得,故,考虑到含氧量不可能为负,可知.
    【点睛】本题考查正比例函数的解析式 ,属于基础题.
    6.某地固定电话市话收费规定:前三分钟元(不满三分钟按三分钟计算),以后每加一分钟增收元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话用时550秒,应支付电话费
    A.元 B.元 C.元 D.元
    【答案】B
    【分析】设所用时间为分钟,应支付电话费为元,根据题意求出当时,与的函数关系式,代值计算即可得答案.
    【详解】设所用时间为分钟,应支付电话费为元,
    则(是不小于的最小整数,),令,故,则.
    故答案选B
    【点睛】本题考查实际问题中求函数的解析式以及函数值,属于基础题.
    7.下面是一幅统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数是(    )

    ①这几年生活水平逐年得到提高;
    ②生活费收入指数增长最快的一年是2014年;
    ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年;
    ④虽然2016年生活费收入增长缓慢,但生活价格指数也略有降低,因而生活水平有较大的改善.
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    【答案】C
    【分析】认真观察图形就可以判断.
    【详解】由图知,“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的,故①正确;
    “生活费收入指数”在2014~2015年最陡;故②正确;
    “生活价格指数”在2015~2016年最平缓,故③不正确;
    “生活价格指数”略呈下降,而“生活费收入指数”呈上升趋势,故④正确.
    故选:C.
    8.若函数经过点,则函数的零点是(    )
    A.0,2 B.0, C.0, D.2,
    【答案】C
    【分析】转化条件为,解方程即可得解.
    【详解】函数经过点,,∴,
    ∴,
    令,则
    所以函数的零点是0和.
    故选:C.
    9.当x越来越大时,下列函数中增长速度最快的是(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】根据函数的特点即可判断出增长速度.
    【详解】因为指数函数是几何级数增长,当x越来越大时,增长速度最快.
    故选:B.

    10.在某种新型材料的研制中,试验人员获得了下列一组试验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(    )
    x
    1.95
    3.00
    3.94
    5.10
    6.12
    y
    0.97
    1.59
    1.98
    2.35
    2.61

    A.y=2x B.y=log2x
    C.y=(x2-1) D.y=2.61x
    【答案】B
    【分析】结合表中数据,根据函数的性质判断.
    【详解】对于A,函数是指数函数,增长速度很快,且在时,时,代入值偏差较大,不符合要求;
    对于B,函数,是对数函数,增长速度缓慢,且在时,时,基本符合要求;
    对于C,函数是二次函数,且当时,时,代入值偏差较大,不符合要求;
    对于D,函数,当时,不符合要求,
    故选:B.
    11.函数在下列区间内一定有零点的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】直接利用零点存在定理判断.
    【详解】因为函数连续,
    且,
    所以在区间内一定有零点,
    故选:C
    12.已知函数,若函数恰有两个零点,则实数m不可能是(    )
    A. B.0 C.1 D.2
    【答案】D
    【解析】依题意画出函数图象,函数的零点,转化为函数与函数的交点,数形结合即可求出参数的取值范围;
    【详解】解:因为,画出函数图象如下所示,
    函数的有两个零点,即方程有两个实数根,即,即函数与函数有两个交点,由函数图象可得或,

    故选:D
    【点睛】函数零点的求解与判断方法:
    (1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
    (2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
    (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

    二、填空题
    13.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表所示,若某户居民某月交纳水费60元,则该月用水量_______m3.
    每户每月用水量
    水价
    不超过12m3的部分
    3元/m3
    超过12m3但不超过18m3的部分
    6元/m3
    超过18m3的部分
    9元/m3


    【答案】16
    【解析】由表格列出分段函数,再将水费代入求解对应用水量即可
    【详解】设用数量为,交纳水费为,由题可知,当时,解得,
    故答案为:16
    【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用,属于基础题
    14.若成立,则的取值范围是___________.
    【答案】
    【详解】如图所示,分别画出函数与的图象,由于两函数的图象都过点(1,1),

    由图象可知不等式的解集为.
    15.图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费(元)与通话时间之间的函数关系的图像,根据图像判断:通话,需付电话费______元;通话,需付电话费______元;如果,电话费(元)与通话时间之间的函数关系式是_______.

    【答案】          6    
    【分析】(1)根据图像可知通话3分钟以内收费为3.6元,(2)根据时的函数值解答,(3)设与的关系式为,利用待定系数法求出一次函数解析式.
    【详解】由题图知,通话3分钟以内收费为3.6元,所以通话,需付电话费元,
    根据图像可知,分钟,元,所以通话,需付电话费6元.
    当时,设与的关系式为设,
    由于图像过点,,则有
    解得.
    故答案为3.6,6,
    【点睛】本题考查一次函数的应用,主要利用待定系数法求一次函数的解析式,准确识图确定函数图像经过的点的坐标,并理解射线的意义是解题的关键.
    16.把长为12cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形最小的面积之和是________.
    【答案】2 cm2.
    【详解】试题分析:设一个三角形的边长为x cm,则另一个三角形的边长为(4﹣x)cm,则可得到这两个正三角形面积之和,利用二次函数的性质求出其最小值.
    解:设一个三角形的边长为x cm,则另一个三角形的边长为(4﹣x)cm,两个三角形的面积和为
    S=x2+(4﹣x)2=x2﹣2x+4.
    令S′=x﹣2=0,则x=2,所以Smin=2.
    故答案为2 cm2.
    点评:本题考查等边三角形的面积的求法,二次函数的性质及最小值的求法.
    17.若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围为_______.
    【答案】或
    【分析】根据函数两个不同的零点,由方程有两个不同的实数根求解.
    【详解】因为函数有两个不同的零点,
    所以方程有两个不同的实数根.
    所以,
    解得或.
    故答案为:或.
    18.函数在区间和内各有一个零点,则实数的取值范围是___________.
    【答案】
    【分析】由二次函数的特点和零点存在定理可构造不等式组求得结果.
    【详解】为开口方向向上,对称轴为的二次函数,
    ,即,解得:,即实数的取值范围为.
    故答案为:.
    19.函数零点的个数为___________.
    【答案】2
    【解析】根据函数的解析式,令,结合一元二次方程和对数的运算性质,即可求解.
    【详解】当时,令,即,解得或(舍去);
    当时,令,即,解得,
    所以函数有两个零点.
    故答案为:2.
    20.已知函数f(x)=有3个零点,则实数a的取值范围是_________.
    【答案】(,1)
    【解析】通过函数图像可以判断出a>0且y=ax2+2x+1在(﹣2,0)上有2个零点,从而解出答案.
    【详解】∵函数f(x)=有3个零点,
    当a=0时,函数只有1个零点,当a

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