2024年高考数学第一轮复习专题2.3 函数的奇偶性与周期性（原卷版）

专题2.3 函数的奇偶性与周期性

思维导图

知识点总结

知识点一　函数奇偶性的几何特征

一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．

知识点二　函数奇偶性的定义

1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

知识点三　奇(偶)函数的定义域特征

奇(偶)函数的定义域关于原点对称．

知识点四　用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

知识点五　奇偶性与单调性

若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．

典型例题分析

考向一 函数奇偶性的判断

例1　判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝x2(x2＋2)；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝＋.

反思感悟　判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

①定义域关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系．

(2)图象法．

考向二  利用函数的奇偶性求解析式

例2　函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x

)的解析式．

反思感悟　求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．

考向三 构造方程组求函数的解析式

例3　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．

反思感悟　f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.

利用f(x)，g(x)一奇一偶，把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．

考向四 利用函数的奇偶性与单调性比较大小

例4　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)

A．f(π)>f(－3)>f(－2)

B．f(π)>f(－2)>f(－3)

C．f(π)<f(－3)<f(－2)

D．f(π)<f(－2)<f(－3)

反思感悟　利用函数的奇偶性与单调性比较大小

(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；

(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．

基础题型训练

一、单选题

1．已知函数是定义在R上的偶函数，时，，那么的值是多少（   ）.

A． B． C． D．

2．已知定义在上的奇函数满足，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2．

3．已知函数与函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则

A．1 B．2 C．0 D．-1

4．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（    ）

A．①正确，②错误 B．①错误，②正确

C．①､②都正确 D．①､②都错误

5．已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

6．若函数同时满足:

①对于定义域上的任意,恒有；

②对于定义域上的任意,当时,恒有；

则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1）（2）（3），其中能被称为“理想函数”的有（    ）个.

A．1 B．2 C．3 D．4

二、多选题

7．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ）

A．4与1 B．5与2 C．5与3 D．6与4

8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．当时，

C．是图象的一条对称轴

D．在上单调递增

三、填空题

9．函数为偶函数，当时，，则时，________．

10．已知函数，若，则实数的取值范围是______．

11．已知定义在的偶函数在是增函数，且，则不等式的解集是______．

12．已知是R上的偶函数，且，当时，，则__________.

四、解答题

13．函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x>0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式；

14．已知偶函数定义域为，当时，.

（1）求函数的表达式；

（2）用函数单调性的定义证明：函数在区间单调递减，并解不等式.

15．已知函数是定义在上的奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)判断函数的单调性并证明；

(3)解不等式.

16．已知函数为奇函数，且

(1)求a，b的值；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；

(3)求在区间上的值域.

提升题型训练

一、单选题

1．已知一个奇函数的定义域为，则（    ）

A． B．3 C． D．1

2．已知偶函数在区间上单调递减，那么下列式子成立的是（    ）

A． B．

C． D．

3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是             

A． B．

C． D．

4．已知函数，若，则实数＝(　　)

A．－2 B．－1

C．1 D．3

5．已知定义在上的函数满足．若函数与的图像的交点为，，…，，则（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

6．狄利克雷函数为F(x).有下列四个命题：①此函数为偶函数，且有无数条对称轴；②此函数的值域是；③此函数为周期函数，但没有最小正周期；④存在三点，使得△ABC是等腰直角三角形，以上命题正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

二、多选题

7．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的结论是（    ）

A．是偶函数 B．的值域为

C．有且只有1个零点 D．

8．已知函数，，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数，有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数，有上界，M为其一个上界.若函数，既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.下列说法正确的是（    ）

A．若函数在定义域上有下界，则函数有最小值

B．若定义在上的奇函数有上界，则该函数一定有下界

C．若函数为有界函数，则函数是有界函数

D．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数

三、填空题

9．函数为偶函数，则实数a的值______.

10．已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______．

11．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______.

12．定义函数如下:对于实数,如果存在整数,使得,则.则下列结论:①是实数上的递增函数;②是周期为1的函数;③是奇函数;④函数的图像与直线有且仅有一个交点.则正确结论的序号是______.

四、解答题

13．判断下列函数的奇偶性：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

14．已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；

（3）求不等式的解集.

15．设设函数.

(1)若，判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；

(2)若函数为奇函数，，且对恒成立，求的取值范围.

16．是定义在上的函数，对一切都有且

（1）求；

（2）判断函数的奇偶性