数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程课时练习

这是一份数学选择性必修 第一册2.2 直线的方程课时练习，共20页。试卷主要包含了过点且垂直于直线的直线方程为，过点且与直线垂直的直线方程是，已知直线，直线为，若，则，已知圆，直线，直线与直线垂直，则的值为等内容，欢迎下载使用。

直线的一般式方程与直线的垂直关系
一．选择题（共12小题）
1．过点且垂直于直线的直线方程为　　
A． B． C． D．
2．过点且与直线垂直的直线方程是　　
A． B． C． D．
3．已知，，两直线，且，则的最小值为　　
A．2 B．4 C．8 D．9
4．已知直线，直线为，若，则　　
A．或 B． C． D．或
5．已知，，直线与直线垂直，则的值为　　
A． B．3 C．0或 3 D．0或
6．设，，分别是中，，，所对边的边长，则直线与的位置关系是　　
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
7．已知圆，直线．若直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．，
8．过点且与直线垂直的直线方程是　　
A． B． C． D．
9．过原点作直线的垂线，垂足为，则到直线的距离的最大值为　　
A． B． C． D．
10．直线与直线垂直，则的值为　　
A． B． C．2 D．3
11．已知直线与直线垂直，则实数的值是　　
A．0 B． C．0或 D．或

12．已知直线；，，若，则的值为　　
A．8 B．2 C． D．
二．填空题（共19小题）
13．已知直线和互相垂直，则实数等于　　．
14．若直线与互相垂直，则实数　　．
15．已知直线的方向向量是直线的法向量，则实数的值为　　．
16．已知直线与垂直，则　　．
17．若直线与互相垂直，则实数的值为　　．
18．已知直线，．若，则实数的值是　　．
19．过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是 　　．
20．已知圆，直线，若直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，则直线斜率的取值范围是　　．
21．若直线与垂直，则的值为　　．
22．若直线与互相垂直，则实数　　．
23．已知过点和点的直线，直线为，直线为，若，，则　 　．
24．若直线与直线相互垂直，则实数的值为　　．
25．过点与直线垂直的直线方程是 　　．
26．已知直线与互相垂直，则实数等于　　．
27．直线，与．若，则实数　　；若，则实数　　．
28．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是　　．
29．若直线和互相垂直，则　　．
30．直线，直线，若，则　　；若，则　　．
31．过原点且与直线垂直的直线的方程为　　．
三．解答题（共6小题）
32．已知直线的方程为
（Ⅰ）求过点，且与垂直的直线的方程；
（Ⅱ）求与平行，且到点的距离为的直线的方程．






33．已知三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．








34．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．
（1）求点和点的坐标；
（2）求边上的高所在的直线的方程．








35．已知三边所在直线方程为，，，求边上的高所在的直线方程．








36．已知直线，，求：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．






37．已知的顶点，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为．
（1）求直线的方程；
（2）求点的坐标；
（3）求直线的方程．

直线的一般式方程与直线的垂直关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．过点且垂直于直线的直线方程为　　
A． B． C． D．
【分析】过点且垂直于直线的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程，并化为一般式．
【解答】解：过点且垂直于直线的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为，
化简可得，
故选：．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线方程，属于基础题．
2．过点且与直线垂直的直线方程是　　
A． B． C． D．
【分析】由两直线垂直的性质求出所求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程，化为一般式．
【解答】解：由于直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，故所求直线的方程为，即，
故选：．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
3．已知，，两直线，且，则的最小值为　　
A．2 B．4 C．8 D．9
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式的，求得的最小值．
【解答】解：，，两直线，，且，
，即，，当且仅当时，等号成立．
则的最小值为8，
故选：．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于基础题．
4．已知直线，直线为，若，则　　
A．或 B． C． D．或
【分析】由，得，由此能求出的值．
【解答】解：直线，直线，
，
，
解得或．
故选：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．已知，，直线与直线垂直，则的值为　　
A． B．3 C．0或 3 D．0或
【分析】结合直线一般方程垂直的条件可建立关于的方程，即可求解．
【解答】解：由直线垂直的性质可得，，
即，解可得或．
故选：．
【点评】本题主要考查了直线垂直关系的应用，属于基础试题．
6．设，，分别是中，，，所对边的边长，则直线与的位置关系是　　
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
【分析】要寻求直线与的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．
【解答】解：由题意可得直线的斜率，的斜率

则直线与垂直
故选：．
【点评】本题主要考查了两直线的位置关系中的垂直关系的判断，主要是通过直线的斜率关系进行判断，解题中要注意正弦定理的应用．
7．已知圆，直线．若直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．，
【分析】如图所示，直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，可得，可得．设，则点满足：，与联立化简，利用△，即可得出的取值范围．
【解答】解：如图所示，
直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，
则，．
设，则点满足：，与联立化为：
，
△，
解得．
实数的取值范围是，．
故选：．

【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程、一元二次方程有解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．过点且与直线垂直的直线方程是　　
A． B． C． D．
【分析】由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．
【解答】解：直线的斜率，
与之垂直的直线斜率为2，
所求直线方程为，
化为一般式可得
故选：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
9．过原点作直线的垂线，垂足为，则到直线的距离的最大值为　　
A． B． C． D．
【分析】整理直线方程，找到直线过的定点，则点在以为直径的圆上，将到直线的距离的最大值转化为圆心到直线的距离处理即可．
【解答】解：整理得，
由题意得，解得，所以直线过定点．
因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，
因为圆心到直线的距离为，
所以到直线的距离的最大值为．
故选：．
【点评】本题考查了直线过定点问题，考查了圆的方程，点到直线的距离公式，属于中等题．
10．直线与直线垂直，则的值为　　
A． B． C．2 D．3
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：直线与直线垂直，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与垂直的性质等基础知识，考查计算能力，是基础题．
11．已知直线与直线垂直，则实数的值是　　
A．0 B． C．0或 D．或
【分析】利用一般式下两直线垂直的判定方法即：，，若，则，带入求解即可．
【解答】解：因为直线与直线垂直，则，解得：．
故选：．
【点评】本题考查了两直线垂直，考查了学生的计算能力，属于基础题．
12．已知直线；，，若，则的值为　　
A．8 B．2 C． D．
【分析】由直线方程分别求出、的斜率，再由得斜率之积为，列出方程并求出的值．
【解答】解：由题意得，，，
则直线的斜率是，的斜率是，
，，解得，
故选：．
【点评】本题考查直线垂直的条件应用，属于基础题．
二．填空题（共19小题）
13．已知直线和互相垂直，则实数等于　　．
【分析】利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于，解方程求出实数的值．
【解答】解：直线和互相垂直，他们的斜率之积等于，即，
，
故答案为：．
【点评】本题考查斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于．
14．若直线与互相垂直，则实数　6　．
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求出的值．
【解答】解：直线与互相垂直，
，求得实数，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．
15．已知直线的方向向量是直线的法向量，则实数的值为　　．
【分析】利用直线垂直的充要条件列出方程，即可求出的值．
【解答】解：由直线的方向向量是直线的法向量，
可得两直线互相垂直，
则，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查两直线垂直与系数的关系，是基础的计算题．
16．已知直线与垂直，则　0或1　．
【分析】由直线的垂直关系可得的方程，解方程可得．
【解答】解：直线与垂直，
，
化简可得，解得或
故答案为：0或1
【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．
17．若直线与互相垂直，则实数的值为　0或4　．
【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：直线与互相垂直，
，
解得或．
实数的值为0或4．
故答案为：0或4．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．已知直线，．若，则实数的值是　0或　．
【分析】根据直线垂直的等价条件进行求解即可．
【解答】解：，则，
即，解得或，
故答案为：0或
【点评】本题主要考查直线垂直的应用，比较基础．
19．过点作直线的垂线，垂足为，已知点，则的取值范围是 　，．　．
【分析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点，可得在以为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．
【解答】解：由直线化为，
令，解得，，
直线经过定点，
由为直角三角形，斜边为，
在以为直径的圆上运动，
可得圆心为，半径为，
则与的最大值为；
与的最小值为，
则的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
20．已知圆，直线，若直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，则直线斜率的取值范围是　，　．
【分析】直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，可得，可得．设，可得点满足，与联立化为关于的一元二次方程，利用△即可得出的取值范围．
【解答】解：如图所示，
直线上存在点，过点引圆的两条切线，，使得，
则，．
设，则点满足：，
即，
联立，得，
△，
解得．
实数的取值范围是，．
故答案为：，．

【点评】本题考查了直线与圆相切的性质，考查一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．若直线与垂直，则的值为　　．
【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若直线与垂直，
则有，解可得；
故答案为：
【点评】本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
22．若直线与互相垂直，则实数　　．
【分析】由两直线垂直与系数间的关系列式求解值．
【解答】解：，即，，
与垂直，，即，
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，是基础的计算题．
23．已知过点和点的直线，直线为，直线为，若，，则　　．
【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积等于，分别求得、的值，可得的值．
【解答】解：由题意可得，直线为的斜率为，直线的斜率为，且，
，求得．
由于直线的斜率为，，，求得，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两直线平行、垂直的性质，两直线平行，斜率相等；两直线垂直，斜率之积等于，属于基础题．
24．若直线与直线相互垂直，则实数的值为　3　．
【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法可得，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若直线与直线相互垂直，
则有，解可得：，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线垂直的判断方法，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
25．过点与直线垂直的直线方程是 　　．
【分析】利用垂直直线系方程设出所求直线方程，然后将点的坐标代入求解即可．
【解答】解：因为所求直线与垂直，故设所求直线方程为，
将点代入可得，
故所求直线方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线方程的求解，主要考查了垂直直线系方程的应用，属于基础题．
26．已知直线与互相垂直，则实数等于　或1　．
【分析】利用直线垂直的性质直接求解．
【解答】解：直线与互相垂直，
，
解得实数或．
故答案为：或1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
27．直线，与．若，则实数　　；若，则实数　　．
【分析】由题意利用两条直线平行垂直的性质，求得的值．
【解答】解：直线，与，
若，则，再根据，求得实数．
若，则，求得实数，
故答案为：；．
【点评】本题主要考查两条直线平行垂直的性质，属于基础题．
28．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是　　．
【分析】先求出圆心坐标为，设与直线垂直的直线方程是，把点代入此直线方程，求得的值，可得所求的直线方程．
【解答】解：由于圆的圆心为，
设与直线垂直的直线方程是，把点代入此直线方程，
求得，故所求的直线方程为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的一般方程的特征，两条直线垂直的性质，用待定系数法求直线方程，属于基础题．
29．若直线和互相垂直，则　　．
【分析】利用斜率都不等于0的直线垂直时，斜率之积等于，建立方程，解方程求出 的值．
【解答】解：直线和互相垂直，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，斜率都不等于0的直线垂直时，斜率之积等于．
30．直线，直线，若，则　　；若，则　　．
【分析】由题意利用两条直线平行垂直的性质，求得的值．
【解答】解：直线，直线，若，，则．
若，则，，
故答案为：；4．
【点评】本题主要考查两条直线平行垂直的性质，属于基础题．
31．过原点且与直线垂直的直线的方程为　　．
【分析】设过原点且与直线垂直的直线的方程为，把原点代入，能求出过原点且与直线垂直的直线的方程．
【解答】解：设过原点且与直线垂直的直线的方程为，
把原点代入，得：，
过原点且与直线垂直的直线的方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
三．解答题（共6小题）
32．已知直线的方程为
（Ⅰ）求过点，且与垂直的直线的方程；
（Ⅱ）求与平行，且到点的距离为的直线的方程．
【分析】（Ⅰ）设与直线垂直的直线的方程为：，把点代入解得即可；
（Ⅱ）设与直线平行的直线的方程为：，由于点到直线的距离为．可得，解得即可得出
【解答】解：（Ⅰ）设与直线垂直的直线的方程为：，
把点代入可得，，解得．
过点，且与直线垂直的直线方程为：；
（Ⅱ）设与直线平行的直线的方程为：，
点到直线的距离为．
，
解得或．
直线方程为：或
【点评】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
33．已知三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
【分析】（1）根据与的坐标求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为，求出边上的高所在直线的斜率，然后由的坐标和求出的斜率写出高所在直线的方程即可；
（2）由和的坐标，利用中点坐标公式求出线段的中点坐标，然后利用中点坐标和的坐标写出直线的两点式方程即可．
【解答】解：（1）边所在直线的斜率为（1分）
则边上的高所在直线的斜率为（3分）
由直线的点斜式方程可知直线的方程为：
化简得：（5分）
（2）设的中点，，
由中点坐标公式得，
即点（7分）
由直线的两点式方程可知直线的方程为：（9分）
化简得：（10分）
【点评】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的条件，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题．
34．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．
（1）求点和点的坐标；
（2）求边上的高所在的直线的方程．
【分析】（1）由已知点应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，联立方程即可得出坐标．由，所以所在直线方程为，所在直线的方程为，联立解得坐标．
（2）由（1）知，所在直线方程，即可得出所在的直线方程．
【解答】解：（1）由已知点应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由得，故．
由，所以所在直线方程为，所在直线的
方程为，由，得．
（2）由（1）知，所在直线方程，
所以所在的直线方程为，即．

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程、角平分线性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
35．已知三边所在直线方程为，，，求边上的高所在的直线方程．
【分析】先解方程组解出的坐标，再由高线和垂直，斜率之积等于，求出高线的斜率，点斜式写高线的方程，并化为一般式．
【解答】解：由得，
设边上的高为，由，可知的斜率等于，
用点斜式写出边上的高所在的直线方程为，即．
【点评】本题考查求两直线的交点坐标的方法，用点斜式求直线的方程．
36．已知直线，，求：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【分析】（1）对分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
（2）由，解得：或．
经过验证时两条直线重合，舍去．
【解答】解：（1）时，两条直线不垂直，舍去．
时，，，解得．
综上可得：．
（2）由，解得：或．
经过验证时两条直线重合，舍去．
时，．
【点评】本题考查了直线平行与垂直的充要条件、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
37．已知的顶点，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为．
（1）求直线的方程；
（2）求点的坐标；
（3）求直线的方程．
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件的应用求出直线的斜率，进一步求出直线 的方程．
（2）利用二元一次方程组的应用求出交点的坐标．
（3）利用到角公式和点斜式的应用求出直线的方程．
【解答】解：（1）边上的高所在的直线的方程为，
所以直线上的高的斜率，直线的斜率为．
所以直线的方程为，整理得．
（2）角的平分线所在直线的方程为．
所以，解得故．
由于直线的斜率，角的平分线的斜率，设直线的斜率，
利用到角公式：，解得，
所以直线的方程为，整理得．
【点评】本题考查的知识要点：直线方程的求法，直线垂直的充要条件，点斜式，到角公式，二元一次方程组的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
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