高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程精品课堂检测
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2.2.3直线的一般式方程同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 若直线：，与直线：互相平行，则m的值等于
A. 0或或3 B. 0或3 C. 0或 D. 或3
- 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是
A. 2 B. C. 3 D.
- 直线和直线互相平行，则实数m的值为
A. B.
C. D.
- 若直线l经过点，且原点到直线l的距离为2，则直线l的方程为
A. B.
C. 或 D. 或
- “直线：与直线：平行”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
- 已知，，点C为直线上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
- 已知，若两直线，满足，则的最小值为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
- 过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为
A. B. 10 C. D. 20
- 已知点，，若直线l：与线段MN相交，则k的取值范围是
A. B.
C. D.
- 设点P为直线l：上的动点，点，，则的最小值为
A. B. C. D.
- 光线通过点，在直线l：上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为
A. B.
C. D.
- 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 若一条光线由点射到直线上，反射后经过点，则反射光线所在的直线方程为 ．
- 已知入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 ．
- 已知直线：，直线：，若直线，与两坐标轴围成一个四边形，则当时，这个四边形面积的取值范围是 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知直线：，：，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当 时，四边形的面积最小，最小值为 ．
- 直线l过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，当面积取最小值时直线l的一般式方程是 ；
- 经过两条直线和的交点，平行于直线：的直线方程 ；垂直于直线：的直线方程 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知直线方程为．
为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
若直线分别与x轴的负半轴，y轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程．
- 已知直线l过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的．
求直线l的方程；
若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离是3，求直线m的方程．
- 已知的三个顶点分别为，，，求：
边所在直线的方程；
边上中线AD所在直线的方程；
边的垂直平分线DE的方程．
- 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，．
在中，求边AC中线所在直线方程；
求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；
求的面积．
- 已知的顶点，AB边上的高所在直线为，D为AC中点，且BD所在直线方程为．
求顶点B的坐标；
求BC边所在的直线方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了两条直线相互平行的条件，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
对m分类讨论，利用两条直线相互平行的条件即可得出．
【解答】
解：时，两条直线方程分别化为：，，此时两条直线不平行，不符合题意；
故，由于，则，解得或3，
当时，，，不重合，符合题意；
当时，，，不重合，符合题意．
综上可得：或3．
故选D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查两条直线垂直的判定及应用，直线过定点问题，利用基本不等式求最值，属中档题．
可知两直线垂直，可得，由基本不等式可得．
【解答】
解：由题意，可得动直线过定点，
直线可化为，
令，解得，即，故直线过定点，
又，故两直线垂直，且交点为P，
，
由基本不等式可得
，
，
解得：，
当且仅当时取等号．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了直线的一般式方程和两条直线平行的判定，考查了运算能力，属于基础题．
利用两条直线平行的判定得，解得或，再利用直线的一般式方程验证得结论．
【解答】
解：由，解得或．
当时，直线和直线互相平行，
当时，直线和直线互相平行，
经验证都满足两条直线平行，
或．
故选D．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查用点斜式求直线的方程，要注意斜率不存在的情况，点到直线的距离公式．
分类讨论直线的斜率，用点到直线的距离公式，先求出直线的斜率，即可得直线l的方程．
【解答】
解：当直线l的斜率不存在时，方程为，检验满足条件．
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，根据直线l经过点，
可得直线l的方程为，即．
再根据原点到直线l的距离为2，可得，求得，
故直线l的方程为．
综上可得，直线l的方程为或，
故选：D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的判断，属于一般题．
当时，代入可判断两直线平行，故必要性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到或，故充分性不成立，推出结果．
【解答】
解：当时，直线，即，直线，即，
显然两直线平行，故必要性成立；
当直线与直线平行时，
，或，
当时，直线，即
直线即，显然两直线平行
故由直线与直线平行推出充分性不成立．
综上命题“直线：与直线：平行”是“”的必要不充分条件．
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查两线段和的最小值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，属于中档题．
设点关于直线的对称点为，列方程组求出，从而，当B，D，C共线时，的最小值为．
【解答】
解：，，点C为直线上的动点，
设点关于直线的对称点为，
则，
解得，，，
，
当B，D，C共线时，的最小值为
．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查两条直线垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．
由题意利用两条直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式求得的最小值．
【解答】
解：，，
两直线，，且，
，即，
，得，
当且仅当时取等号，
则的最小值为8，
故选C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了直线系方程，相互垂直的直线的斜率的关系，两点之间的距离公式，属于拔高题．
动直线过定点，动直线过定点，由于此两条直线互相垂直，可得，即可得解．
【解答】
解：动直线过定点，
动直线化为，
令，解得，，故定点．
当时，直线方程为，，此时两直线垂直；
当时，由两直线的斜率可知两直线垂直，
这两条直线互相垂直，
，
故答案选：B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率的求法，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．
已知的直线l：过定点，画出图形，求出直线PM、PN的斜率，数形结合可得k的取值范围．
【解答】
解：直线l：过定点，
如图，，，
，．
直线l与线段MN相交，
则k的取值范围是．
故选：C．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了最小值问题转化为轴对称问题，考查了相互垂直的直线斜率之间的关系和中点坐标公式，属于中档题．
首先判断A，B在直线的同侧，求出A关于直线的对称点，的连线与直线的交点，即为所求点P，的最小值即为的值．
【解答】
解：由题可得，A，B在直线的同侧．
设点关于直线的对称点，
则
解得，即，
连接与直线相交于点P，则的最小值为
故选A
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了点关于直线对称，直线方程的两点式，属于中档题．
根据光学性质可知点关于直线的对称点在反射光线所在直线上，再根据两点式可得反射线所在直线方程．
【解答】
解：根据光学性质可设点关于直线的对称点，则点在反射光线所在直线上，
且，所以对称点为，
由两点式可得反射光线所在直线方程为：，化简得：．
故选：A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查点关于直线的对称点的计算，点到点的距离最值问题，属于中档题．
求出A关于的对称点，根据题意得为最短距离，求出即可．
【解答】
解：设点A关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为C，
根据题意，为最短距离，先求出的坐标，
的中点为，直线的斜率为1，
故直线为，
由，联立得，，
所以，
即，
故选：B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点关于直线的对称点的求法，考查方程组思想与运算能力，属于中档题．
依题意，设点P关于直线的对称点，的中点在直线上，且所在直线与直线垂直，据此列方程组，解得，从而可求得光线的反射线所在的直线方程
【解答】
解：设点P关于直线的对称点的坐标为，
则的中点，
直线的斜率，
依题意，的中点在直线上，且所在直线与直线垂直，
，
解得，
反射光线经过、Q两点，
反射光线所在直线的方程为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点关于直线的对称点问题以及直线方程的求解，属于中档题．
设关于直线l：的对称点为，经计算得点为，由题意知入射光线过点与点，由此得到入射光线所在直线的方程．
【解答】
解：设关于直线l：的对称点，
则反射光线所在直线必过，
，即
故，
反射光线所在直线过，
反射光线所在直线的方程是，
即．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程的应用，同时考查了二次函数性质的应用，属于中档题．
利用两条直方程可得直线过定点，然后分别求出直线与x轴的交点，直线与y轴的交点，然后将四边形的面积表示出来，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】
解：当时，，，，，
因为，过定点，
直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，
所以四边形的面积为
，
因为，
所以，
故．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用直线的方程，三角形的面积公式，二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】
解：由题意知直线，恒过定点，直线在y轴上的截距为，直线在x轴上的截距为，
所以四边形的面积，
故当时，四边形的面积最小，最小值为．
故答案为；．
17.【答案】8
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程和三角形的面积，属于中档题．
设直线l的方程为，a和b为正数，可得，由基本不等式可得，由等号成立的条件可得直线方程．
【解答】
解：由题意设直线l的方程为，其中a和b为正数，
直线l过点，
，
，
，
当且仅当，即且时取等号，
面积，即最小值为8，
此时直线方程为，
化为一般式可得；
故答案为：．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两直线的交点坐标，直线方程的求解，属于中档题．
由题意，求出两条直线和的交点坐标，求出所求直线的斜率，进而求得直线方程．
【解答】
解：由方程组
得交点．
因为所求直线平行于直线：，
故所求直线的斜率．
由点斜式得所求直线方程为，
即
垂直于直线：的直线的斜率 ，
由点斜式得所求直线方程为
即．
故答案为 ，
19.【答案】解：直线l方程为，
可化为，对任意m都成立，
所以，解得，
所以直线恒过定点；
点到直线的距离最大，
可知点Q与定点的距离就是所求最大值，此时直线l与直线PQ垂直，
即，
，
则直线l：的斜率为：，
可得，解得．
即时，点到直线的距离最大，最大值为．
若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，
由知直线恒过定点，
则设直线方程为，，
则，，
，
当且仅当时取等号，
故面积的最小值为4，此时直线的方程为．
【解析】本题考查直线系过定点，两点的距离公式，基本不等式的应用，属于中档题．
利用直线是直线系求出直线恒过定点， 点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．
若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，设出直线的方程，求出A，B，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．
20.【答案】解：直线的方程为，
斜率，倾斜角，
故所求直线的倾斜角为，即斜率为，
直线l经过点，
所求直线l方程为，
即．
直线m与l平行，可设直线m的方程为，
，即，
或，
所求直线m的方程为或．
【解析】根据直线的斜率求出直线的倾斜角，可得要求直线的倾斜角和斜率，从而用点斜式求出它的方程．
设直线m的方程为，根据点P到直线m的距离为3，求出c的值，可得结论．
本题主要考查直线的斜率和倾斜角，直线的点斜式方程，两直线平行的判定及应用，属于基础题．
21.【答案】解：因为直线BC经过和两点，
由两点式得BC的方程为，即
设BC中点D的坐标为，
则，，
BC边的中线AD过点，两点，
由截距式得AD所在直线方程为，即
的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率，
由斜截式得直线DE的方程为，即．
【解析】本题考查直线方程的两点式，斜截式，截距式，一般式方程，考查中点坐标公式，以及两直线垂直的性质，考查直线的斜率的求解，属于中档题．
由B和C的坐标直接利用直线方程的两点式求出直线方程即可；
根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标由直线的截距式写出中线方程即可；
求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为，求出BC垂直平分线的斜率，由中D的坐标，写出直线DE的方程即可．
22.【答案】解：设AC边的中点为M，则，
直线BM斜率，
直线BM的方程为，
化为一般式可得，
边中线所在直线的方程为：
设点D坐标为，由已知得M为线段BD中点，
有，解得，，
，，
；
由，可得直线BC的方程为，
点A到直线BC的距离，
的面积．
【解析】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及距离公式和三角形的面积，属中档题．
易得AC边的中点，可得直线BM斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；
设点D坐标为，有，解方程组可得，由距离公式可得BC；
易得直线BC的方程为，可得点A到直线BC的距离，由三角形的面积公式可得．
23.【答案】解：因为AB边上的高所在直线方程为且斜率为1，
所以AB所在直线的斜率为，
因为，
所以AB所在直线方程为，
即，
又BD所在直线方程为，
由，解方程得
所以；
设，
又，D为AC中点，则，
由已知得
解方程得，得，
又，
所以直线BC的方程为：，
化简得直线BC的方程为．
【解析】本题主要考查两条直线垂直关系的应用，点斜式方程，两条直线的交点，属于中档题．
由题意可得AB所在直线方程为，又BD所在直线方程为解方程组可得答案．
设，则，根据D在直线BD上、C在AB边上的高所在直线上列关于m、n的方程组，求解可得出点C的坐标，即可求出直线BC的方程．
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