备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题6-双变量问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题06

双变量问题

【方法技巧与总结】

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【题型归纳目录】

题型一：双变量单调问题

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题

题型四：双变量不等式:中点型

题型五：双变量不等式:剪刀模型

题型六：双变量不等式:主元法

【典例例题】

题型一：双变量单调问题

例1．已知函数，其中．

（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数，若不能，请说明理由；

（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，，不等式恒成立．

【解答】解：（Ⅰ）．

假设函数的图象与轴相切于点，

则有，即．

显然，，代入方程中得，．

△，方程无解．

故无论取何值，函数的图象都不能与轴相切；

（Ⅱ）依题意，

恒成立．

设，则上式等价于，

要使对任意，恒成立，即使在上单调递增，

在上恒成立．

（1），则，

在上成立的必要条件是：．

下面证明：当时，恒成立．

设，则，

当时，，当时，，

，即，．

那么，当时，，；

当时，，，恒成立．

因此，的最大整数值为 3．

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

例2．设函数．

（1）当时，求的单调区间是的导数）；

（2）若有两个极值点、，证明：．

【解答】解：（1）当时，，

则，

，，

显然递减，且（1），

故当时，，时，，

故在递增，在递减；

（2）证明：，

，

由题意知有2个不相等的实数根，

即有2个不相等的实数根，，

则，令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递增，在递减，

故（1），而时，，

故的取值范围是，，

由，得，

故

，

令，则，

，，

故不等式只要在时成立，

令，

，，

故在上单调递增，即，

故在上单调递减，即，

故原不等式成立．

例3．已知函数，．

（1）讨论函数的极值点；

（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．

【解答】解：（1），

，

令，△，

当时，△，，无极值点，

当时，令，解得：，

当，，时，，递增，

，时，，递减，

故极大值点是，极小值点是；

综上：时，无极值点，

时，极大值点是，极小值点是；

（2）由，即，

令，

，令，得，

当时，，当时，，

在递减，在，上递增，

又有2个零点，

，即，解得：，

且，两式相减得：，

设，，

，要证明，

即证明，，

，

即证明，

令，

，

在上单调递减，

（1），

即．

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题

例4．已知函数．

（1）若，证明：当时，；当时，．

（2）若存在两个极值点，，证明：．

【解答】证明：（1）当时，，定义域为，

，在定义域上恒成立，

所以在上单调递减，

当时，（1），

当时，（1），原命题得证．

（2），

若存在两个极值点，则，解得，

由韦达定理可知，，，

，

原命题即证：，

不妨设，原命题即证：，

由知，，即证：，不妨令，

原命题即证：，记，

则，

当时，，在上单调递减，

（1），原命题得证．

例5．已知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．

【解答】解：（1）的定义域为，

，

①当时，令，得，

令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

②当时，令，得或，

令，得，

所以在，，上单调递增，在上单调递减，

③当时，则，

所以在上单调递增，

④当时，令，得或，

，得，

所以在，上单调递增，在，上单调递减，

综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，

当时，在，，上单调递增，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

当时，在，上单调递增，在，上单调递减．

（2）证明：，则的定义域为，

，

若有两个极值点，，

则方程的判别式△，且，，

解得，又，所以，即，

所以

，

设，其中，，

由，解得，又，

所以在区间内单调递增，在区间，内单调递减，

即的最大值为，

所以恒成立．

题型四：双变量不等式:中点型

例6．已知函数．

①讨论的单调性；

②设，证明：当时，；

③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．

【解答】解：①函数的定义域为，

，

当时，则由，得，

当时，，当，时，，

在单调递增，在，上单调递减；

当时，恒成立，

在单调递增；

②设函数，

则，

，

当时，，而，

，

故当时，；

③由①可得，当时，函数的图象与轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为，且，

不妨设，，，，，则，

由②得，，

又在，上单调递减，

，于是，

由①知，．

例7．已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．

【解答】解：（1），

①当时，，，单调递增；

②当时，，，单调递减；

，，单调递增，

综上，当时，在单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增．

（2）由（1）知，当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；

当时，在单调递减，在单调递增，则（a）．

不妨设，

要证，即证，即证，即证．

因为在单调递增，即证，

因为，所以即证，即证，

令

．

．

当，时，，单调递减，又，

所以，时，，即，

即，

又，所以，所以．

例8．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）函数的定义域为，

又，

对于方程，△，

①若△，即时，则恒成立，

所以在上单调递增；

②若△，即时，令，解得，或，

当和，时，，

当，时，，

所以在和，上单调递增，

在，上单调递减．

综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为和，，单调递减区间为，；

（2）由（1）可知，当时，，，

又，

故，

由，

可得，

两式相减，可得，

所以，

令，

所以，

则，

所以在上单调递减，

由的取值范围为，，可得的取值范围为，

所以，

又因为，

故实数的取值范围是．

题型五：双变量不等式:剪刀模型

例9．（2021春•道里区校级期中）已知函数，是的极值点．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方；

（Ⅲ）若关于的方程有两个不等实根，，求证：．

【解答】（Ⅰ）解：；

由题意知，；

；

（Ⅱ）证明：设曲线在，处切线为直线；

令；

；

；

在上单调递增，在，上单调递减；

；

，即，即上的点都不在直线的上方；

（Ⅲ）由（Ⅱ）设方程的解为；

则有，解得；

由题意知，；

令，；

；

在上单调递增；

；

的图象不在的下方；

与交点的横坐标为；

则有，即；

；

关于的函数在上单调递增；

．

题型六：双变量不等式:主元法

例10．已知函数，.

(1)讨论的单调性；

(2)任取两个正数，当时，求证：.

【答案】(1)答案见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性；

（2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立.

(1)

.

当时，，令，得；令，得.

所以在上单调递增，在上单调递减.

当，即时，令，得或；令，得.

所以在，上单调递增，在上单调递减.

当，即时，恒成立，所以在上单调递增.

当，即时，令，得或；令，得.

所以在，上单调递增，在上单调递减.

综上所述，

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时， 在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

(2)

证明：由题意得，.

要证，

只需证，

即证，

即证.

令，

所以只需证在上恒成立，

即证在上恒成立.

令，则，

令，则.

所以在上单调递减，即在上单调递减，

所以，所以在上单调递增，

所以.

所以.