备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题8-证明不等式问题

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2024高考数学二轮复习重难点专题8证明不等式问题【方法技巧与总结】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形 【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）题型三：分析法题型四：凹凸反转、拆分函数题型五：对数单身狗，指数找朋友题型六：放缩法题型七：虚设零点题型八：同构法题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理题型十：分段分析法、主元法、估算法题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值题型十二：函数与数列不等式问题题型十三：三角函数 【典例例题】例1．设函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）当且时，证明：．                       题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）例2．已知函数．（1）当时，求在点，处的切线方程；（2）当时，若的极大值点为，求证：．                         例3．已知函数．（1）判断的单调性，并说明理由；（2）若数列满足，，求证：对任意，．           题型三：分析法例4．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．         题型四：凹凸反转、拆分函数例5．已知函数且（1）．（1）求函数的单调区间；（2）证明：．                                     题型五：对数单身狗，指数找朋友例6．已知函数．（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）当时，求证．           题型六：放缩法例7．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）解关于的不等式          题型七：虚设零点例8．已知函数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：当时，．参考数据：，．                        题型八：同构法例9．已知函数，．（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明．                          题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例10．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．                      题型十：分段分析法、主元法、估算法例11．设且，函数．（1）若在区间有唯一极值点，证明：，；（2）若在区间没有零点，求的取值范围．                         题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值例12．已知函数为自然对数的底数）．（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；（2）设方程有两个实数根，，求证：．            题型十二：函数与数列不等式问题例13．证明：．          题型十三：三角函数例14．已知函数.(1)设且，求函数的最小值；(2)当，证明：.