备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题4-三次函数的图像与性质

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2024高考数学二轮复习重难点专题04三次函数的图象和性质【考点预测】知识点一.基本性质设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：   图像 性质2：三次方程的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：(1) 若，则恰有一个实根；(2) 若,且，则恰有一个实根；(3) 若,且，则有两个不相等的实根；(4) 若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．【方法技巧与总结】1.其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；2.是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线 对称.  3.若图象关于直线对称，则图象关于点对称.  4.已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.   【题型归纳目录】题型一：三次函数的零点问题题型二：三次函数的最值、极值问题题型三：三次函数的单调性问题题型四：三次函数的切线问题题型五：三次函数的对称问题题型六：三次函数的综合问题题型七：三次函数恒成立问题  【典例例题】题型一：三次函数的零点问题例1．若，则函数在区间上恰好有　　A．0个零点 B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点   例2．已知函数．（Ⅰ）若，函数在区间上存在极值，求的取值范围；（Ⅱ）若，求证：函数在上恰有一个零点．          题型二：三次函数的最值、极值问题例3．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）设，若函数在区间有极值，求的取值范围；（3）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．         题型三：三次函数的单调性问题例4．已知三次函数在上是增函数，则的取值范围为　　．      题型四：三次函数的切线问题例5．已知函数．求曲线在点，处的切线方程；设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．        例6．已知函数．（Ⅰ）若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的取值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若时，过点，，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．           例7．已知函数（1）求曲线在点，处的切线方程（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（a）           题型五：三次函数的对称问题例8．已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点，、，，且恒有为定值，则的值为　　．      例9．已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点，，，，就恒有的定值为，则的值为　　．     例10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，是函数的导数，此时，称为原函数的二阶导数．若二阶导数所对应的方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设三次函数请你根据上面探究结果，解答以下问题：①函数的对称中心坐标为　　；②计算　　．        题型六：三次函数的综合问题例11．已知，，且（a）（b）（c）．现给出如下结论：①（1）；②（1）；③（3）；④（3）；⑤；⑥．其中正确结论的序号是　　A．①③⑤ B．①④⑥ C．②③⑤ D．②④⑥   题型七：三次函数恒成立问题例12．已知函数，其图象在点，处的切线方程为．（1）求，的值与函数的单调区间；（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．        例13．已知函数是上的奇函数，当时取得极值．（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，，不等式恒成立．          例14．设函数在处取得极值．（1）设点，，求证：过点的切线有且只有一条；并求出该切线方程．（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；（3）设曲线在点，，，处的切线都过点，证明：．          例15．已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在、处取得极值，记点，，，．证明：线段与曲线存在异于，的公共点．