实战演练02 三次函数的图像与性质（4大常考点归纳）--备战2025年高考数学（新高考卷）

这是一份实战演练02 三次函数的图像与性质（4大常考点归纳）--备战2025年高考数学（新高考卷），文件包含实战演练02三次函数的图像与性质4大常考点归纳--备战2025年高考数学新高考卷原卷版docx、实战演练02三次函数的图像与性质4大常考点归纳--备战2025年高考数学新高考卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。

一、三次函数概念
定义：形如fx=ax3+bx2+cx+da≠0叫做三次函敞
f'x=3ax2+2bx+c，把Δ=4b2−12ac叫做三次函数导函数的判别式
当Δ>0时，令f'x=0，记两根为x1=−b−b2−3ac3a，x2=−b+b2−3ac3a
二、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
三、三次函数的零点个数
若三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下：
四、三次函数的韦达定理
设fx=ax3+bx2+cx+da≠0的三个零点分别为x1，x2，x3，则
(1)x1+x2+x3=−ba
(2)x1x2+x2x3+x3x1=ca
(3)x1x2x3=−da
(4)1x1+1x2+1x3=−cd
五、三次函数的对称性
结论1 三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图象关于点−b3a，f−b3a中心对称
结论2 已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0中心对称点的横坐标为x0，两个极值点分别为x1，x2，则fx1−fx2x1−x2=23f'x0=−a2x1−x22
结论3 若y=fx图像关于点m，n对称，则y=f'x图像关于轴x=m对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
①三次函数的零点
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖南长沙·一模）函数有3个零点的充分不必要条件是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
3．（2024·宁夏银川·三模）已知函数有3个零点，，，有以下四种说法：
①
②
③存在实数a，使得，，成等差数列
④存在实数a，使得，，成等比数列
则其中正确的说法有（ ）种.
A．1B．2C．3D．4
4．（23-24高三上·云南·阶段练习）关于函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．当时，函数在上恒成立
C．当或时，函数有2个零点
D．当时，函数有3个零点，记为，则
二、多选题
5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知三次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，单调递减区间为
B．当时，单调递增区间为
C．当时，若函数恰有两个不同的零点，则
D．当时，恒成立，则a的取值范围为
6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（ ）
A．
B．若成等差数列，则
C．若恰有两个不同的零点，则
D．若有三个不同的零点，则
三、填空题
7．（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）函数有且只有3个零点，则实数的取值范围是 ．
8．（2024高三下·全国·专题练习）已知，函数恰有两个零点，则的取值范围为 .
②三次函数的极值点
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知，是函数两个极值点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三下·全国·专题练习）若函数在处有极大值，则实数的值为（ ）
A．1B．或
C．D．
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设是函数的两个极值点，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·云南大理·模拟预测）若为函数（其中）的极小值点，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）若函数的两个极值点都大于2，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·全国·模拟预测）设为函数（其中）的两个不同的极值点，若不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数的两个极值点分别为，若过点和的直线与坐标轴围成三角形面积为，则直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）函数有三个不同极值点，且.则（ ）
A．B．
C．的最大值为3D．的最大值为1
11．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数，且满足，，对任意的恒有，且为的极值点，则下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·山西太原·三模）已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ）
A．的对称中心为B．
C．D．
三、填空题
13．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为 .
14．（2024·云南·一模）已知在上只有一个极值点，则实数的取值范围为 .
15．（2024·江苏南京·二模）已知函数的两个极值点为，，记，．点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴．若四边形为菱形，则 ．
③三次函数的切线
一、单选题
1．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（ ）
A．B．
C．或D．
二、多选题
4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．方程有3个解
C．当时，
D．曲线有且仅有一条过点的切线
三、填空题
5．（2024·广东深圳·一模）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ．
④三次函数的对称性
一、单选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）函数图象的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数，设数列的通项公式为，则（ ）
A．36B．24C．20D．18
3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知曲线与曲线交于点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·宁夏银川·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．B．1C．D．2
5．（23-24高三上·北京大兴·阶段练习）已知函数，且，下面四个判断，正确的个数为（ ）个.
①；
②若，则关于点对称；
③若，则对于R，；
④若，则
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．点是曲线的对称中心
C．有三个零点
D．直线是曲线的一条切线
7．（2023·山东·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上的最小值为
B．的图象与轴有3个公共点
C．的图象关于点对称
D．的图象过点的切线有3条
8．（23-24高二下·江西南昌·期末）设函数，则（ ）
A．是的极小值点
B．
C．不等式的解集为
D．当时，
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数下列结论中正确的是（ ）
A．若，则是的极值点
B．，使得
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．函数的图象是中心对称图形
10．（2024·贵州·模拟预测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为2
C．函数有三个零点D．在区间上单调递减
11．（2024·江西南昌·三模）已知函数，若的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象也关于直线对称B．的图象关于中心对称
C．D．
12．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，其中实数且，则下列结论正确的是（ ）
A．必有两个极值点
B．当，有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当，时，过点可以作曲线的2条切线
13．（2025·四川内江·模拟预测）定义：是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为.则下列选项正确的有（ ）
A．
B．的值是
C．函数有一个零点
D．过可以作三条直线与图象相切
①三次函数的零点
②三次函数的极值、极值点
③三次函数的切线
④三次函数的对称性
系数关系式
fx的图像
f'x的图像
fx的性质
a>0Δ≤0⇒a>0b2≤3ac
f'x≥0恒成立
fx在R上递增
fx无极值点
a