最新高考数学二轮复习讲义重难点突破篇 专题04 三次函数的图象和性质

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专题04三次函数的图象和性质
【考点预测】
知识点一.基本性质
设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：
性质1： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①定义域为． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③单调性和图像：
性质2：三次方程的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数:，
判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;
(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;
(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
图像
【方法技巧与总结】
1.其导函数为 对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
2.是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线
对称.
3.若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
4.已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
【题型归纳目录】
题型一：三次函数的零点问题
题型二：三次函数的最值、极值问题
题型三：三次函数的单调性问题
题型四：三次函数的切线问题
题型五：三次函数的对称问题
题型六：三次函数的综合问题
题型七：三次函数恒成立问题
【典例例题】
题型一：三次函数的零点问题
例1．若，则函数在区间上恰好有
A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点
【解析】解：由已知得：，由于，
故当时，
即函数为区间上的单调递减函数，
又当时
（2），
故据二分法及单调性可知函数在区间上有且只有一个零点．故选：．
例2．设为实数，函数．
（1）求的极值；
（2）若恰好有两个零点，求的值．
【解析】解：（1）令得，
当时，，当时，，当时，，
故，（1）．
（2）当极大值或极小值为零时，恰有两个零点，
或，解得或．
例3．已知函数．
（Ⅰ）若，函数在区间上存在极值，求的取值范围；
（Ⅱ）若，求证：函数在上恰有一个零点．
【解析】（Ⅰ）解：由已知
令，解得或，
，不在内
要使函数在区间上存在极值，只需
解得（6分）
（Ⅱ）证明：，，在上恒成立，
即函数在内单调递减，
又，
函数在上恰有一个零点（12分）
例4．已知函数，．
（Ⅰ）若函数在，上单调递增，求的最小值；
（Ⅱ）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ），
因函数在，上单调递增，
所以在，恒成立，即，
的最小值为．（5分）（Ⅱ）
，△．
①若，则△，在上恒成立，
在上单调递增．，（3），
当时，函数的图象与轴有且只有一个交点．（9分）
②若，则△，
有两个不相等的实数根，不妨设为，，．
，．
当变化时，，的取值情况如下表：
，（12分）
．
同理．
．，
，
0
0
极大值
极小值
令，解得．
而当时，，（3），
故当时，函数的图象与轴有且只有一个交点．
综上所述，的取值范围是．（15分）
例5．已知函数在处有极值．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间，上有且仅有一个零点，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）
由题意知：，得，
，
令，得或，
令，得，
的单调递增区间是和，
单调递减区间是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
为函数极大值，为极小值．
函数在区间，上有且仅有一个零点，
或或或或，
即，
，即的取值范围是．
题型二：三次函数的最值、极值问题
例6．已知函数在上是增函数，在上是减函数，且的一个根为
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：还有不同于的实根、，且、、成等差数列；
（Ⅲ）若函数的极大值小于16，求（1）的取值范围．
【解析】（Ⅰ）解：求导函数，可得函数在上是增函数，在上是减函数，
是极大值点，
，（2分）
（Ⅱ）证明：令，得或
由的单调性知，
是方程的一个根，则
（4分）
方程的根的判别式△
又，
即不是方程的根，有不同于的根、．
，、、成等差数列（8分）
（Ⅲ）解：根据函数的单调性可知是极大值点
，，于是
令（b）（1）
求导（b）时，（b），
（b）在，上单调递减
（b）
即（1）（14分）
例7．已知函数，其中．
（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间，上的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，且．
当时，，（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）解：方程的判别式△，
令，得，或．和的情况如下：
，
，
故的单调增区间为，；单调减区间为．
①当时，，此时在区间上单调递增，
所以在区间，上的最小值是．
②当时，，此时在区间上单调递减，在区间，上单调递增，
所以在区间，上的最小值是．
③当时，，此时在区间上单调递减，
所以在区间，上的最小值是（3）．
综上，当时，在区间，上的最小值是；
当时，在区间，上的最小值是；
当时，在区间，上的最小值是．
例8．已知函数在与时都取得极值．
（1）求、的值与函数的单调区间；
（2）若，，求的最大值．
【解析】解：（1），（1分）
由，（1）得（3分）
解得：，（4分），与时，，
时，，
所以函数的递增区间是与递减区间是（6分）
（2），，0
0
由（1）可知：当时，为极大值（8分），
而（2）（10分），
则（2）是函数的最大值（12分）．
例9．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设，若函数在区间有极值，求的取值范围；
（3）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
【解析】解：（1）当时，，
．令，得，．
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，取得极大值为：；
当时，取得极小值为：．
（2）
问题转化为方程在区间内有解，
（1）或，
解得或，
故的取值范围为：，，．
（3），△．
①若，则△，在上恒成立，
在上单调递增．，（3），
当时，函数的图象与轴有且只有一个交点．
②若，则△，有两个不相等的实数根，不妨设为，，．
，．
当变化时，，的取值情况如下表：
，
．，
同理．
．
令，解得．
而当时，，（3），
故当时，函数的图象与轴有且只有一个交点．
综上所述，的取值范围是．
题型三：三次函数的单调性问题
例10．已知三次函数在上是增函数，则的取值范围为 ．
【解析】解：，
函数在上是增函数，
恒成立．
判别式△，
整理得，，
解得，，，
，
0
0
极大值
极小值
故答案为：，
例11．三次函数在上是减函数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】解：对函数求导，得
函数在上是减函数，
在上恒成立
即恒成立，
，解得，
又当时，不是三次函数，不满足题意，
故选：．
例12．已知函数在区间，上是增函数，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解析】解：函数，
可得，函数在区间，上是增函数，
可得，在区间，上恒成立，
可得，，当且仅当，时取等号、
可得．
故选：．
例13．已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为
A．，B．C．D．
【解析】解：依题意，在上恒成立，
△，解得，即实数的取值范围为．
故选：．
题型四：三次函数的切线问题
例14．已知函数．
求曲线在点，处的切线方程；设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）函数，
．
切线方程为，
即．
（Ⅱ）已知关于的方程
即有三个不等实根．
令，则．
可知在递减，
在递增，在递减，
的极小值为：，极大值为（a）．
结合图象知．
例15．已知函数．
（Ⅰ）若的图象在处的切线与直线垂直，求实数的取值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若时，过点，，可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ），，得．
（Ⅱ）当时，，
由解得，或，由解得，
所以在区间，，上单调递增，在区间上单调递减．
当时，，
由解得
由解得，或．
所以在区间上单调递增，在区间，上单调递减．
（Ⅲ）点，不在曲线上，
设切点为，．则．
，切线的斜率为．
则，即．
因为过点，，可作曲线的三条切线，
所以方程有三个不同的实数解．
即函数有三个不同的零点．
则．
令，解得或．
即解得．
例16．已知定义在上的函数，为常数，且是函数的一个极值点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，，求的单调区间；
（Ⅲ）过点，可作曲线的三条切线，求的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ），是函数的一个极值点，则（1），1
2
0
0
极大值
极小值
，．
又，函数在两侧的导数异号，
．（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
则，令，得，．
随的变化，与的变化如下：
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．（8分）
（Ⅲ），设切点为，，则切线的斜率为，（9分）
整理得，依题意，方程有3个根．（10分）
设，则．
令，得，，则在区间，，上单调递增，
在区间上单调递减．（11分）
因此，，解得．所以的取值范围为．（14分）
例17．设函数，其中．曲线在点，处的切线方程为．
（1）确定，的值；
（2）若过点可作曲线的三条不同切线，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）因为函数，所以导数，
又因为曲线在点，处的切线方程为，
所以，，即，．
（2）由（1）知，，0
0
极大值
极小值
设切点为，，
则，
切线的斜率为
所以切线方程为，
因为切线经过点，所以，
即
化简得：①，
因为过点可作曲线的三条不同切线，
所以①有三个不同的实根．
即函数有三个不同的零点．
导数得，或
可知只要极小值即，
所以．
故实数的取值范围是
例18．已知函数在处取得极值
（1）求函数的解析式；
（2）求证：对于区间，上任意两个自变量的值，，都有；
（3）若过点，可作曲线的三条切线，求实数的范围．
【解析】解：（1），依题意，（1），解得，．
（2），，
当时，，故在区间，上为减函数，
，（1）
对于区间，上任意两个自变量的值，，
都有
（3），
曲线方程为，点不在曲线上．设切点为，，切线的斜率为（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），
整理得．
过点可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件
设，则，
由，得或．
在，上单调递增，在上单调递减．
函数的极值点为，
关于方程有三个实根的充要条件是，解得．
故所求的实数的取值范围是．
例19．已知函数
（1）求曲线在点，处的切线方程
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：（a）
【解析】解：（1）求函数的导函数；．
曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2）如果有一条切线过点，则存在，使．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．
记，则．
当变化时，，变化情况如下表：
0
0
0
极大值
极小值
由的单调性，当极大值或极小值（a）时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当（a）时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即（a）．
题型五：三次函数的对称问题
例20．已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点，、，，且恒有为定值，则的值为 ．
【解析】解：，
函数单调递增，
则原函数关于对称，，
所以定点，
于是．
故答案为：．
例21．已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点，，，，就恒有的定值为，则的值为 ．
【解析】解：为定点，为定值，
两点关于点对称
，
三次函数的对称中心的二阶导数为0
（a）
故点为
故答案为：2
例22．已知函数，实数，满足，，则
A．6B．8C．10D．12
【解析】解：函数，
，
函数关于对称
实数，满足，，
，
根据对称性，得，
解得．
故选：．
例23．已知实数，分别满足，，则的值为 ．
【解析】解：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数．
将已知等式变形为，，
构造函数，
，
是奇函数
单调递增
是一个单调递增的奇函数，
因为，
所以，
从而有，
故答案为2
例24．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称，为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，解答以下问题（1）函数的对称中心为 ；
（2）计算 ．
【解析】解：（1），
，，
令，得，
，
的对称中心为，，
（2）的对称中心为，，
，
．
故答案为：，，2012．
例25．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，是函数的导数，此时，称为原函数的二阶导数．若二阶导数所对应的方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．
设三次函数请你根据上面探究结果，解答以下问题：
①函数的对称中心坐标为 ；
②计算 ．
【解析】解：①由，得，．
由，得．
所以函数的对称中心坐标为．
故答案为．
②因为函数的对称中心坐标为．所以．
由．
所以．
故答案为．
题型六：三次函数的综合问题
例26．已知函数在，上是增函数，在，上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是
A．5B．6C．1D．8
【解析】解：，
因为在，上是增函数，在，上是减函数，
所以，此时的另一个根，
所以，
因为方程有3个实数根，分别是，，2，
所以（2），即，
又，
所以，
则，
则，即最小值为5．
故选：．
例27．已知，，且（a）（b）（c），现给出如下结论；
①；②；③（1）；④（3）；⑤
其中正确结论的序号是 ．
【解析】解：求导函数可得，
当时，；当，或时，，
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以极大值（1），极小值（3）
要使有三个解、、，那么结合函数草图可知：
及函数有个零点在之间，所以（1），且（3）
所以
（1），（3）
故答案为：③④⑤．
例28．已知，，且（a）（b）（c）．现给出如下结论：
①（1）；
②（1）；
③（3）；
④（3）；
⑤；
⑥．
其中正确结论的序号是
A．①③⑤B．①④⑥C．②③⑤D．②④⑥
【解析】解：求导函数可得
当时，；当，或时，
所以的单调递增区间为和
单调递减区间为
所以极大值（1），
极小值（3）
要使有三个解、、，那么结合函数草图可知：
及函数有个零点在之间，所以（1），且（3）
所以
（1），（3）
故选：．
例29．已知，，且（a）（b）（c），现给出如下结论：
①（3）；②（1）；
③（1）（3）；
④．
其中正确结论个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解析】解：求导函数可得
当时，；当，或时，
所以的单调递增区间为和单调递减区间为
所以极大值（1），
极小值（3）
要使有三个解、、，那么结合函数草图可知：
及函数有个零点在之间，
所以（1），且（3）
所以
，
（3）
（1），（1）（3），
（a）（b）（c），
，
①，②，
把②代入①得：；
故选：．
题型七：三次函数恒成立问题
例30．已知三次函数的导函数且，．
（1）求的极值；
（2）求证：对任意，，都有．
【解析】解：依题意得，知在和上是减函数，在上是增函数
，（1）
（2）法1：易得时，，
依题意知，只要
由知，只要
令，则
注意到（1），当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，（1）
即，综上知对任意，，都有
法2：易得时，，
由知，，令
则
注意到（1），当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，
（1），所以，
即．
综上知对任意，，都有．
法3：易得时，，
由知，，令，则
令，则，
知在递增，注意到（1），
所以，在上是减函数，在是增函数，
有，即
综上知对任意，，都有．
例31．已知函数，其图象在点，处的切线方程为．
（1）求，的值与函数的单调区间；
（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），
，
函数的图象在点，（1）处的切线方程为．
（1），（1），
解得，．
，
令，解得或；令，解得．
函数的单调递增为，；单调递减区间为．
（2）由（1）可得：，．
由表格可知：当时，函数取得极大值，，又（4）．
函数在，上的最大值为8．
由，，不等式恒成立，，．
，
解得或．
的取值范围是．
例32．已知函数在处取得极值，其图象在点，（1）处的切线与直线平行．
（1）求，的值；
（2）若对，都有恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1）求导函数，可得，
由题意①
，
0

2
，

0
0

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
又②
联立得（5分）
（2）依题意得，即，对，恒成立，
设，则
解得
当时，；当时，；当时，（10分）
则
又，所以；
故只须（12分）
解得或
即的取值范围是（14分）
例33．已知函数在与时都取得极值．
（1）求，的值与函数的单调区间；
（2）若对，，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】解：（1），，
，1时两个根，
，，
解得，；
，函数的单调区间如下表：
，
1
0
0
极大值
极小值
函数的递增区间是和，递减区间是，．
（2）由（1）可得，
当时，由（1）知在，上的最大值为，
所以只需要，得；
当时，由（1）知在，上的最大值为（c），
只需要（c），解得或
，
综上所述，的取值范围为，，
例34．已知函数是上的奇函数，当时取得极值．
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意，，不等式恒成立．
【解析】解：（1）由奇函数的定义，应有，
即
因此，
由条件（1）为的极值，必有（1），故
解得，
因此，，（1）
当时，，故在单调区间上是增函数
当时，，故在单调区间上是减函数
当时，，故在单调区间上是增函数
所以，在处取得极大值，极大值为
（2）由（1）知，是减函数，
且在，上的最大值，在，上的最小值（1）
所以，对任意的，，恒有
例35．已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．
（1）求函数的单调区间和极大值；
（2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意，，，，都有成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）是上的奇函数，
，可得，即，
又当时，取得极值，，即，
解得，故函数，导函数，
令解得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取到极大值
（2），对任意，，都有成立，
只需，构造函数，，，，
令，可得或，当时，，单调递减
当，时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取到极大值（2），，故的最大值为8，
故实数的取值范围为：；
（3）若对任意，，，，都有成立，
即在区间，上的最大值都小于或等于的最小值，
由（1）可知：当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增，故当时，函数取到极小值，
也是该区间的最小值（1），
而为开口向上的抛物线，对称轴为，故当时取最大值（3），
由，解得
例36．设函数，其中为实数．
（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）已知不等式对，都成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ），
由于函数在时取得极值，
所以（1），即，
．
（Ⅱ）由题设知：，对任意，都成立，
即对任意，都成立，
令，
①当时，由解得，显然时不成立，故；
②当，即时，开口向下，的对称轴为，
在，上单调递减，
（1），解得，与矛盾，故不符合题意；
③当，即时，开口向上，的对称轴为，
若，即时，或，
；
若，即时，开口向上，
（1），解得，又，
．
综上所述，．
例37．设函数，其中为实数．
（1）已知函数在处取得极值，求的值；
（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1）
由于函数在时取得极值，
所以（1）
即，
（2）由题设知：
对任意都成立即
对任意都成立
于是对任意都成立，
即
于是的取值范围是．
例38．设函数在处取得极值．
（1）设点，，求证：过点的切线有且只有一条；并求出该切线方程．
（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；
（3）设曲线在点，，，处的切线都过点，证明：．
【解析】（1）证明：由，得：，
由题意可得，，解得，．
．
经检验，在处取得极大值．
设切点为，，则切线方程为
即为
把，代入方程可得，
即，所以．
即点为切点，且切点是唯一的，故切线有且只有一条．
所以切线方程为；
（2）解：因为切线方程为，
把代入可得，
因为有三条切线，故方程得有三个不同的实根．
设
，令，可得和．当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，当时函数取得极大值为．
当时函数取得极小值，
极小值为．
因为方程有三个根，故极小值小于零，，所以．
（3）证明：假设，则，
所以
因为，所以．
由（2）可得，两式相减可得．
因为，故．
把代入上式可得，，
所以，．
所以．
又由，这与矛盾．
所以假设不成立，即证得．
例39．已知在上是增函数，在，上是减函数，且方程有三个根，它们分别为，2，．
（1）求的值；
（2）求证（1）；
（3）求的取值范围．
【解析】解：（1）在，上是增函数，在，上是减函数；
是的根，又，，．
（2）的根为，2，，（2），，又（2），
，，又
（1），（2）
且，
（1）
（3）有三根，2，；
；
又，
例40．已知函数在，上为增函数，在，上为减函数，且方程的三个根分别为1，，．
（1）求实数的取值范围；
（2）求的取值范围．
【解析】解：（1），由题设两根为，，，
则，所以；
（2）由（1）和条件得（1），，
所以，是方程的两根，所以△，，
即得，又，，
所以，，
所以的范围是，
例41．已知函数．（Ⅰ）若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由；
（Ⅱ）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（Ⅲ）设，，为方程的三个根，且，，，，，求证：或．
【解析】（Ⅰ）解：当时，，
因为，
所以，函数的图象不能总在直线的下方．
（Ⅱ）解：法一、
由，得，
令，解得或，
①当时，由，解得，
所以在上是增函数，与题意不符，舍去；
②当时，由，
所以在上是减函数，与题意不符，舍去；
③当时，由，解得，
所以在上是增函数，
又在上是增函数，所以，解得，
综上，的取值范围为，．
法二、
由，得，
要使函数在上是增函数，
则需对任意恒成立，
即对任意恒成立，
也就是对任意恒成立，
因为在上为增函数，所以．
所以，的取值范围为，．（Ⅲ）证明：因为方程最多只有3个根，
由题意，方程在区间内仅有一根，
所以，
方程在区间内仅有一根，
所以（1），
当时，由得，，即，
由得，，即，
因为，所以，即；
当时，由得，，即，
由得，，即，
因为，所以，即；
当时，因为，所以有一根0，
这与题意不符．
或．
例42．已知函数，且．
（1）试用含的代数式表示；
（2）求的单调区间；
（3）令，设函数在、处取得极值，记点，，，．证明：线段与曲线存在异于，的公共点．
【解析】解：解法一：（1）依题意，得
．
由得．
（2）由（1）得，故．
令，则或．
①当时，．
当变化时，与的变化情况如下表：
单调递减
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
②当时，．此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为．
③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为．
综上所述：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为．
（3）当时，得．
由，得，．
由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，
所以函数在，处取得极值．故，．
所以直线的方程为．
由得．
令．
易得，（2），而的图象在内是一条连续不断的曲线，
故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于，的公共点．
解法二：（1）同解法一．
（2）同解法一．
（3）当时，得．
由，得，．
由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在，处取得极值，
故，．
所以直线的方程为．单调递增
单调递增
由．
解得，，．
，，
所以线段与曲线有异于，的公共点．
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·山东泰安·高三期中）过曲线外一点作的切线恰有两条，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出切点，求出切点处的导函数即切线的斜率，据点斜式写出切线的方程，将切点代入，列出关于切点横坐标的方程，据题意此方程有两个根，构造函数，通过导函数求出两个极值，令极值为0，求出，的关系.
【详解】
，过点作曲线C的切线，
设切点，则切线方程为：，
将代入得：
即（*） 由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．
令，，
显然有两个极值点与，于是或
当时，；
当时，，此时经过与条件不符，所以，
故选：A.
2．（2022·河南洛阳·三模（理））若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，设出切点，然后写出切线方程，把点P带入切线方程中，然后对式子进行整理，分别设出两个函数，与，借助导数研究函数的单调性和极值，然后作图，看两个函数图象的交点情况即可完成求解.
【详解】
由已知，曲线，即令，则，
设切点为，切线方程的斜率为，
所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，
设函数，过点可作出曲线的三条切线，
可知两个函数图像与有三个不同的交点，
又因为，由，可得或，
所以函数在，上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为，
如图所示，
当时，两个函数图像有三个不同的交点.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把题意转化为在内应有异号实数根，利用零点存在定理列不等式即可求得.
【详解】
∵，∴
∵函数在区间上不是单调函数
∴在区间上有根
∴当a＝0时，x＝－1不满足条件
当时，∵，∴，
∴.
故选：D．
4．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数在R上单週递增，则（ ）
A．B．0C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
依据导函数列出关于a的不等式，解之即可得到a的值
【详解】
，
∵函数在R上单调递增，
∴在R上恒成立，
∴，且，解得，
故选：A．
5．（2022·吉林·模拟预测（理））若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围（ ）A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件转化为恒成立，即可求解.
【详解】
恒成立，即，解得：.
故选：A
6．（2022·广东·广州市玉岩中学高三期中）函数在区间是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，依题意在上恒成立，参变分离即可得到在恒成立，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为，所以，依题意可得在上恒成立，
即在恒成立，因为在上单调递增，所以，
所以．
即的取值范围是．
故选：C．
7．（2022·四川省峨眉第二中学校高三阶段练习（文））已知函数为单调递增函数，求的范围（ ）
A．(-3，2)B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求导，导函数小于等于0恒成立，从而求出的范围.
【详解】由题意得：在R上恒成立，即在R上恒成立，又，故，故的范围是.
故选：C
8．（2022·全国·高三课时练习）若函数在内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
f(x)在(0，1)内单调递减等价与＜0在(0，1)内恒成立，据此即可求解.
【详解】
，∵在内单调递减，
∴＜0在(0，1)内恒成立，
即在内恒成立，
即在内恒成立，
∵在单调递增，∴，
∴，∴﹒
故选：A﹒
二、多选题
9．（2022·全国·高三专题练习）定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（ ）
A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心
C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心
D．若函数，则
【答案】BCD
【解析】【分析】
根据题干中三次函数的对称中心的定义与性质判断A,C选项；求出的对称中心，可以验证此点是的一个对称中心，即可判断B；求出函数的对称中心，可得，进而求得进而判断出D.
【详解】
解：对于A.设三次函数，
易知是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A不正确；
对于B.由，得，由，得，函数的对称中心为，
又由，得，∴的对称中心是函数的一个对称中心，故B正确；
对于C.设三次函数，
所以
联立得，
即当时，存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心，故C正确.
对于D.∵，∴，
令，得，∵，
∴函数的对称中心是，∴，
设，所以所以，故D正确.
故选:BCD.
三、双空题10．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数，，则__________，当，时，函数的极值点的个数为__________．
【答案】 2
【解析】
【分析】
（1）代入得到，进而代入化简计算即可；
（2）易得，再将题意转换为与的图象交点个数分析即可
【详解】
由得，所以．由题知，则．作出与的大致图象如图所示．由图可知，的解即为两函数图象交点的横坐标，记为，，且．当时，，则；当时，，则；当时，，则，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数的极值点的个数是2．
【点睛】
试题考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力．属于中档题
四、填空题
11．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知直线与函数在上的图象只有一个交点，利用导数分析函数在上的单调性与极值，数形结合可求得的值，再利用导数可求得函数在上的最大值和最小值，即可得解.
【详解】
当时，由可得，令，其中，
则，由，可得，列表如下：
如下图所示：
因为在内有且只有一个零点，则，
所以，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
则当时，，
又因为，，所以，，
因此，在上的最大值与最小值的和为.
故答案为：.
12．（2022·辽宁·辽师大附中高三阶段练习）已知过点P(0，a)可作出曲线y=2x3–3x2的3条不同的切线，则实数a的取值范围是_______________ .增
极大值
减
【答案】
【解析】
【分析】
设切点为，写出切线方程，将点P坐标代入得到，构造函数，由题意函数的图象与x轴有三个交点，求导判断单调性，由单调性和极值可得答案.
【详解】
函数,求导得,设切点为，
可得切线方程为，
又切线过点P(0，a)代入得，即
，由题意可得此方程有三个根，
令，，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
可得函数的极大值为，极小值为，若方程有三个根即函数的图象与x轴有三个交点，只需满足，即，
故答案为：.
13．（2022·陕西·长安一中高三期末（理））已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
设过M的切线切点为，求出切线方程，参变分离得，令，则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点，根据导数研究g(x)的图像即可求出m的范围．
【详解】
，
设过点的直线与曲线相切于点，则，
化简得，，令，
则过点存在三条直线与曲线相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点．
∵，
故当x1时，，g(x)单调递增；当0