初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程学案

第01讲 一元二次方程

知识点01  一元二次方程的概念

1. 一元二次方程的概念：

只含有1个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

题型考点：①根据定义判断方程是否为一元二次方程．②根据二次项系数不为0.未知数的最高次数为2求未知字母的值．

注意：一定先将一元二次方程化为一般形式在判断是否为一元二次方程．

【即学即练1】

1．下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A． B．

C． D．

【即学即练2】

2．关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ）

A． B．3 C．1 D．1或

知识点02  一元二次方程的一般形式

1. 一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式是．其中是二次项，是二次项系数．是一次项， 一次项系数．是常数项．

题型考点：①把一元二次方程的其他形式化为一般形式并根据一般形式判断项与项的系数．

【即学即练1】

3．方程化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（    ）

A． B． C． D．

知识点03  一元二次方程的解

1. 一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边的成立的未知数的值是一元二次方程的解．

题型考点：将一元二次方程的解带入方程中使方程左右两边成立得到新的方程求字母或式子的值．

【即学即练1】

4．已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【即学即练2】

5．已知m是方程的一个根，则代数式的值应在（    ）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间

题型01  一元二次方程的定义及根据定义求字母的值

【典例1】

6．下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．（a，b，c均为常数）

C． D．

【典例2】

7．若方程是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．k为实数

变式1：

8．若是关于x的一元二次方程，则m的值是（    ）

A．2 B． C．0 D．2或

变式2：

9．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（    ）

A． B．2

C． D．以上选项都不对

题型02  判断一元二次方程的项与项的系数

【典例1】

10．把方程化成一般式的形式，则a、b、c的值分别是（    ）

A． B．

C． D．

题型03  根据一元二次方程的解求值

【典例1】

11．若关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（　　）

A． B．2021 C．2022 D．2023

变式1：

12．已知a是方程的一个解，则的值为（    ）

A．2023 B．2022 C．2021 D．2020

变式2：

13．若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为（    ）

A． B．3 C． D．9

14．下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

15．将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ）

A．2，1，3 B．2，，3 C．2，， D．2，，1

16．关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（    ）

A． B． C．3 D．0

17．若是关于x的一元二次方程的解，则（   ）

A． B． C． D．

18．对于题目：“先化简再求值：，其中是方程的根．”甲化简的结果是，求值结果是；乙化简的结果是，求值结果是．下列判断正确的是（    ）

A．甲的两个结果都正确

B．乙的两个结果都正确

C．甲的化简结果错误，求值结果正确

D．甲的化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案

19．已知是方程的一个根，则代数式的值应在（    ）

A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间

20．若是关于x一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ）

A．4046 B． C． D．0

21．若关于x的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（    ）

A． B． C． D．

22．若是关于x的一元二次方程的解，则           ．

23．若关于x的方程的一个解为，则        ．

24．已知m是方程的解，求式子的值．

25．已知关于x的方程．

(1)m为何值时，此方程是一元一次方程？

(2)m为何值时，此方程是一元二次方程？

参考答案：

1．B

【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．

【详解】解：A．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

B．方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意．

C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；

D．方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程是一元二次方程．

2．C

【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．

【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，

∴且，

解得：．

故选C．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．

3．C

【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．

【详解】解：方程整理得：，

则二次项、一次项、常数项分别为．

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项时带着前面的符号．

4．B

【分析】把代入方程计算即可求出a的值．

【详解】解：把代入方程得：，

解得：．

故选：B．

【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，将方程的根代入原方程是解题的关键．

5．C

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式，再估算出，据此求解即可．

【详解】解：∵m是方程的一个根，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴代数式的值应在3和4之间，

故选：C．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，无理数的估算．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．

6．C

【分析】根据形如（a，b，c均为常数）的整式方程判断即可．

【详解】A、中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；

B、是一元二次方程，故不符合题意；

C、整理得是一元二次方程，故符合题意；

D、整理得不是一元二次方程，故不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如（a，b，c均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．

7．B

【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．

【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，

∴．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如（a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程．

8．D

【分析】根据一元二次方程的定义列方程求解即可．

【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，

∴，即，

∴或，

故选：D．

【点睛】本题考查一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0，还考查解一元二次方程．

9．C

【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．

【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，

∴，

解得，

故选：C．

【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．

10．D

【分析】先去括号，再移项、合并同类项，化为的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．

【详解】解：去括号得，，

移项得，，

所以a、b、c的值可以分别是1，，6．

故选：D．

【点睛】一元二次方程的一般形式为，为常数，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．

11．B

【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到，再由进行求解即可．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．

12．A

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，变形得到，，然后利用整体代入的方法进行计算．

【详解】解：由题意得：，

∴，，

∴原式．

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形能力．

13．A

【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入关于x的一元二次方程得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案．

【详解】解：由题意得：

把代入方程，得：

，整理得

解得：，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．

14．B

【分析】根据一元二次方程的定义解答．

【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；

②当时不是一元二次方程；

③去括号化简后可得：，不是一元二次方程；

④分母里含有未知数，不是一元二次方程；

⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；

故选：B．

【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键．

15．C

【分析】把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．

【详解】解：由方程可得：，则有；

故选C．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．

16．A

【分析】把代入方程，解得的值，注意方程中二次项系数不为0的情况，即可解答．

【详解】解：把代入，

可得：，

解得，

当时，，

此时方程不为一元二次方程，与题意不符，

故，

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，熟知上述概念是解题的关键．

17．C

【分析】将代入原方程即可求出，然后整体代入所求的代数式进行求值即可．

【详解】解：将代入中，得：，

，

．

故选：C．

【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．

18．D

【分析】根据分式的混合运算化简，然后根据一元二次方程方程的根的定义，得出，代入化简结果即可求解．

【详解】解：

，

∵是方程的根．

∴，

∴原式，

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．

19．B

【分析】将带入方程得，然后整体代入得结果，最后根据得范围确定结果的范围即可；

【详解】解：是方程的一个根，

将带入方程成立，得：

，

即：，

将上式代入中得：，

，

．

故选：B

【点睛】本题考查了一元二次方程的根，判断无理数的范围，整体代入等知识点，整体代入的运用是解题关键．

20．C

【分析】把a代入方程整理得，把代数式适当变形，再整体代入求值即可．

【详解】解：把a代入方程中，得，

移项得得：；

则；

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，注意整体思想的运用．

21．D

【分析】把化为： 再结合题意可得，从而可得方程的解.

【详解】解：可化为：

关于的一元二次方程有一个根为，

把看作是整体未知数，则

即有一根为.

故选D.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键.

22．2

【分析】把代入到方程中得到关于k的方程，解方程即可．

【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解，

∴，

解得：，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．

23．2022

【分析】先把方程的解代入方程，得到，再求代数式的值．

【详解】解：把代入方程得，

即，

所以．

故答案为：2022．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，“知解必代”是解题的关键．

24．

【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．

【详解】解：∵m是方程的解，

∴，即：，

∴

．

【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．

25．(1)

(2)

【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案；

（2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案；

【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程，

∴，

解得；

（2）解：∵关于x的方程是一元二次方程，

∴，

解得；

【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式．