2022-2023学年河北省保定市爱和城教育集团八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年河北省保定市爱和城教育集团八年级（下）期末数学试卷

1.下列分解因式正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

2.下列命题中，是真命题的是(    )

A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3.不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为(    )

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15

5.已知，下列式子一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.下列分式中，最简分式是(    )

A.  B.  C.  D.

7.若，，则的值为(    )

A.  B. 12 C.  D. 15

8.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是(    )

A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形
C. 矩形 D. 对角线相等的四边形

9.不等式组的解集表示在数轴上正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，在中，，，，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE、EF，则四边形ADEF的周长为(    )

A. 6
B. 9
C. 11
D. 13

11.如图.在中，，且，，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，则线段MN的最小值为(    )

A.  B. 5 C.  D.

12.若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

13.如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“
”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为(    )

 

A.  B.  C.  D.

14.某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

15.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，，且以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OC于点D、E；再分别以点D、点E为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点F，过点O作射线OF，交BC于点P，则点P的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

16.如图，四边形ABCD中，，，，M是BC上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是(    )

A.  B. 3 C. 3或 D. 或

17.分解因式：______ .

18.若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______ .

19.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在y轴上，顶点，，，，，，…在x轴上，已知正方形的边长为1，，，则正方形的边长是______ ，则正方形的边长是______ .

20.先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取；
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

 

21.已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．

22.如图，等腰中，，，点D在AC上，将绕点B沿顺时针方向旋转后，得到，连接
求的度数；
若，，求DE的长.

23.阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程.将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可.
解：设
原式第一步
第二步
第三步
第四步
问题：①该同学因式分解的结果不正确，请直接写出正确的结果______ ；
②根据材料1，请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
根据材料1，请你模仿以上方法尝试计算：
…………

24.如图，AD是的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点
求证：四边形AEDF是菱形．
若，求四边形AEDF的面积．

25.“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．
求A，B奖品的单价；
购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？

26.探究与应用
【操作发现】如图1，为等边三角形，点D为AB边上的一点，，将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF，连接AF、EF，请直接写出下列结果：

①的度数为______ ；
②DE与EF之间的数量关系为______ ；
【类比探究】如图2，为等腰直角三角形，，点D为AB边上的一点，，将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF，连接AF、
则线段AE，ED，DB之间有什么数量关系？请说明理由；
【拓展应用】如图3，是一个三角形的余料，小张同学量得，，他在边AB上取了D、E两点，并量得、，这样CD、CE将分成三个小三角形，则：：______ .

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：A、公因式是x，应为，错误；
B、符号错误，应为，错误；
C、提公因式法，正确；
D、右边不是积的形式，错误；
故选：
根据提公因式法和公式法进行判断求解．
本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．

2.【答案】A 

【解析】【分析】
本题考查了真命题的概念以及平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能正确的判断正误．
真命题就是判断事情正确的语句．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；两条对角线相等且平分的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．
【解答】
解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确．
B、两条对角线相等且平分的四边形是矩形；故本选项错误．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故本选项错误．
D、两条对角线互相垂直相等且平分的四边形是正方形．故本选项错误．
故选：

3.【答案】D 

【解析】解：A、当时，，故不合题意；
B、当时，，故不合题意；
C、当时，，故不合题意；
D、分子是1，而，则，故符合题意；
故选：
分别找到各式为0时的x值，即可判断．
本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为这两个条件缺一不可．

4.【答案】C 

【解析】解：依题意，得
多边形的边数，
故选：
正多边形的每一个外角都等于，而多边形的外角和为，则：多边形边数=多边形外角和一个外角度数．
本题考查了多边形内角与外角．关键是明确多边形的外角和为定值，即，而当多边形每一个外角相等时，可作除法求边数．

5.【答案】B 

【解析】解：A、，，故该选项不正确，不符合题意；
B、，，故该选项正确，符合题意；
C、，，故该选项不正确，不符合题意；
D、，当时，，故该选项不正确，不符合题意．
故选：
根据不等式的基本性质即可进行解答．
本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．

6.【答案】D 

【解析】解：中，分子和分母有公因数5，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.中，分子和分母有公因式a，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.中，分子和分母有公因式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D.中，分子和分母没有公因式，是最简分式，故本选项符合题意．
故选：
根据最简分式的定义：在化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，逐一判断即可．
此题考查的是最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解题关键．

7.【答案】C 

【解析】解：，，
，
故选：
把因式分解后，利用整体代入即可求得答案．
此题考查了用平方差公式因式分解以及代数式求值，熟练掌握是解题的关键．

8.【答案】D 

【解析】解：，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
，，，，，，，，
，，
四边形EFGH是平行四边形，
假设，
，，
则，
平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备即可推出四边形是菱形，
故选：
根据三角形的中位线定理得到，，，，要使四边形EFGH为菱形，得出，即可得到答案．
本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．

9.【答案】B 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
在数轴上表示为，
故选：
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

10.【答案】C 

【解析】解：点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
，，DE、EF是的中位线，
，，
四边形ADEF的周长，
故选：
根据线段中点的概念分别求出AD、AF，根据三角形中位线定理分别求出DE、EF，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

11.【答案】A 

【解析】解：，且，，
，
，，
，
四边形DMAN是矩形，
，
当时，AD的值最小，
此时，，
，
的最小值为，
故选：
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

12.【答案】A 

【解析】解：由题意得，一次函数的图象经过，，
，
，
不等式可化为：，
解得，
故选：
根据一次函数图象上点的坐标特征得到，，解不等式得到答案．
本题考查的是一次函数与不等式，掌握一次函数图象上点的坐标特征、一元一次不等式的解法是解题的关键．

13.【答案】B 

【解析】解：根据题意得新矩形的周长为：
故选：
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果.
此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

14.【答案】B 

【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化．根据采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间列出方程即可．
【解答】
解：采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．
方程可表示为：
故选

15.【答案】D 

【解析】解：延长BC交y轴于H，

由题意得：OP平分，
，
，
，
，
，
▱OABC的顶点A在x轴上，，，
轴，，
，
，，
点P点坐标为，
故选：
由作法得OP平分，结合平行线的性质证明得到，延长BC交y轴于H，可得轴，，进而可求得，，由此即可得到答案．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．

16.【答案】D 

【解析】解：①当点F在线段BM上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
②当F在线段CM上，时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故选：
分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．

17.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：，
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

18.【答案】且 

【解析】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
为非负数，
，解得，
，
，即，
的取值范围是且，
故答案为：且
先解分式方程，利用m表示出x的值，再由x为非负数求出m的取值范围即可．
本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键．

19.【答案】   

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
同理可求正方形的边长为，
正方形的边长为，
正方形的边长为，
故答案为：；
利用正方形的性质，结合含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．

20.【答案】解：



，
解不等式组，
解得：，
，，在分母上，
，0，
当时，原式；
，
移项得，，
合并同类项得，，
解得：，
在数轴上表示如图所示，
 

【解析】直接将括号里面通分化简，进而利用分式混合运算法则计算，进而解不等式组，得出符合题意的x的值，进而得出答案；
根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，再将解集表示在数轴上即可求解．
本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则以及解不等式组是解题的关键．

21.【答案】证明：如图所示，
点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
，
，H分别为OA，OC的中点，
，，

又，

在和中，

≌，

四边形EHFG为平行四边形． 

【解析】要证四边形EHFG是平行四边形，需证，，可分别由四边形ABCD是平行四边形和≌得出．
此题主要考查平行四边形的判定与性质，对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键.

22.【答案】解：等腰中，，，
，
将绕点B沿顺时针方向旋转后，得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
；
，，
，，
≌，
，
在中： 

【解析】根据题意证明≌，根据全等三角形的性质可得结论；
根据题意求出AD，CD的长度，然后根据中全等三角形的性质得出，根据勾股定理求解即可．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意证明≌，根据全等三角形的性质求解是解本题的关键．

23.【答案】①；
②设，
原式



；
设…，
原式……
………
…
…
……

 

【解析】①最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
②根据材料，用换元法进行分解因式；
设…，则原式…，再将y代入即可求解．
本题考查了因式分解-换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．

24.【答案】证明：，，
四边形AEDF是平行四边形．
是的角平分线，

又，



四边形AEDF是菱形．
解：连接EF交AD于点

四边形AEDF是菱形，



在中，由勾股定理得

四边形AEDF的面积 

【解析】先证明四边形AEDF是平行四边形．再证明可得则结论得证；
连接EF交AD于点求出，则四边形AEDF的面积可求出．
本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

25.【答案】解：设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元；
设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为件，
由题意得：
解得：，
为正整数，
的值为23，24，25，
有三种方案：
①购买A种奖品23件，B种奖品77件；
②购买A种奖品24件，B种奖品76件；
③购买A种奖品25件，B种奖品75件． 

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出不等关系，列出一元一次不等式组．
设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为元，由题意：预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．列出分式方程，解方程即可；
设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为件，由题意：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可．

26.【答案】：：2 

【解析】解：①的度数为，理由如下：
线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF，
，，
为等边三角形，
，，
，即
在与中，
，
≌，

为等边三角形，
，

故答案为：；

②结论：，理由如下：
线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF，
，，
，

在与中，
，
≌，

故答案为：；

结论：，理由如下：
是等腰直角三角形，，
，，
由旋转知，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
；
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
又，
；

如图，将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF，连接AF、EF，

是等腰三角形，，
，，
由旋转知，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
；
，，
，
，
在和中，
，
≌，

≌，

，，
，

≌，
，，
，
，
，，
，
在中，
≌，≌，
，，
，
：：：ED：AE，
：：：：
故答案为：1：：2
①根据旋转及等边三角形的性质，证明≌，再求得的度数为；②根据旋转及等边三角形的性质，证明≌，再求得；
根据旋转及等腰直角三角形的性质，证明≌，≌，再运用全等三角形的性质及勾股定理，证得；
将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CF，连接AF、EF，根据旋转及等腰三角形的性质，证明≌，≌，由全等三角形的性质推导出，，则，即得：：：：
本题考查了图形旋转的性质，三角形全等的证明及性质应用，以及等边三角形、等腰三角形等特殊三角形的性质，综合运用以上知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．