河北省保定市爱和城学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河北省保定市爱和城学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：考试时间120分钟，满分120分．
一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．方程的解是（ ）
A．B．C．D．，
2．已知：如图，正方形网格中，如图放置，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
3．如图，在6×6的菱形网格中，连结两网格线上的点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM：MN：NB为（ ）
A．3：5：4B．1：3：2C．1：4：2D．3：6：5
4．一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共10个，它们除颜色外其他都相同．小明多次摸球后记录并放回小球重复试验，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知盒子中黄色小球的个数可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．如图，在坡度为的山坡上种树，如果相邻两树之间的水平距离是4米，那么斜坡上相邻两树的坡面距离是（ ）
A．米B．米C．4米D．米
6．若点、都在反比例函数的图象上，则有（ ）
A．B．C．D．
7．大自然巧夺天工，一片小枫叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P是线段的黄金分割点，且，，则的长约为（ ）

A．B．C．D．
8．如图，点P是反比例函数图象上的一点，垂直y轴，垂足为点A，垂直x轴，垂足为点B.若矩形的面积为6，则k的值是（ ）
A．3B．－3C．6D．－6
9．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（ ）

A． B． C． D．
11．已知方程可以配方成，则（ ）
A．1B．－1C．0D．4
12．设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2021B．2020C．2019D．2018
13．如图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则（ ）.
A．B．20C．D．9
14．解是的一元二次方程是（ ）
A．B．C．D．
15．反比例函数与一次函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
16．对于一元二次方程，正确的结论是（ ）
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是一元二次方程的根，则．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本大题有3个小题，17、18每小题3分，19题每空2分，共12分，请把正确答案填在题中的横线上）
17．计算：tan60°﹣cs30°= ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为 ．

19．如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．
（1）若过点，则 ；
（2）若过点，则它必定还过另一点，则 ；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有 个．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．如图，在网格图中（小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上．

(1)以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，点B的对应点在第一象限；
(2)的内部一点M的坐标为，写出点在中的对应点的坐标；
(3)直接写出的面积是多少．
22．为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：

(1)在这项调查中，共调查了多少名学生？
(2)请将两个统计图补充完整；
(3)若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
23．淇淇和嘉嘉在习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆高度．
（1）如图1所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，已知淇淇的身高是1.54m，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是4cm，求旗杆DE 的高度．
（2）如图2所示，嘉嘉在某一时刻测得 1 m长的竹竿竖直放置时影长2m，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10m，落在斜坡上的影长为m，∠DCE=45°，求旗杆AB的高度？
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于第一象限内A，两点（B在A右侧），分别交x轴，y轴于C，D两点．

(1)求k和b的值；
(2)求点A的坐标；
(3)在y轴上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
25．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯应降价多少元？
26．问题提出（1）如图，在等腰直角中，，点D、E分别在边上，连接，有．求证：．
问题探究（2）如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点F处，若，__________；
变式拓展（3）如图，如果，将三角板的直角顶点E放在矩形纸片的边上移动，的长应为___________时，恰好存在两直角边所在的直线分别经过点A，D；
问题解决（4）如图，菱形是一座避暑山庄的平面示意图，其中米，现计划在山庄内修建一个三角形花园，点P、Q分别在线段上，根据设计要求要使，且，问能否建造出符合要求的三角形花园，若能，请直接写出的长，若不能，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
，
解得，，
故选：C．
2．D
【分析】由正方形网格图可直接进行求解．
【详解】解：由网格图可得：
CD=2，OD=1，
则OC=,
，
故选D．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．
3．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．
【详解】解：如图，
∵AE∥MF∥NG∥BH，
∴AM：MN：BN=EF：FG：GH=1：3：2
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4．D
【分析】本题考查了利用频率估计概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
【详解】解：设袋中有黄色小球x个，
由题意得，
解得：．
故选：D．
5．B
【分析】根据坡度的概念求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图，构造直角三角形，在中，
由题意可知，，
∵米，
米，
由勾股定理得：（米）.
故选：B.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．C
【分析】先根据反比例函数y＝中k＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出y1，y2，y3的大小．
【详解】解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y2＞y1＞0，
∵1＞0，
∴y3＜0，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．B
【分析】根据黄金分割的定义解答，即可得出答案．
【详解】解：为的黄金分割点，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
8．D
【分析】根据矩形的面积为6，得出，再根据反比例函数的图象得出，从而求出k的值．
【详解】∵矩形的面积为6，
∴，
∵反比例函数的图象过第二象限，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，用到的知识点是过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，注意k的取值范围．
9．C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可得：在和之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的取值范围为．
【详解】解：由题意得：
当时，，
当时，，
∴方程一个解x的取值范围为．
故选：C．
10．A
【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】根据题意得：，，，
，
A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似；
B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故选：A．
11．A
【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m、n的值，由此可求得答案．
【详解】解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2015＝1，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12．C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，结合，可得，即可得出答案．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查根与系数的关系，牢记：一元二次方程的两根之和为，两根之积为．
13．B
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵S主＝5x，S左＝4x，且主视图和左视图的宽为x，
∴俯视图的长为5，宽为4，
则俯视图的面积S俯＝5×4＝20，
故选：B．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
14．D
【分析】根据一元二次方程的求根公式进行作答即可．
【详解】解：A、因为，所以，故不符合题意；
B、因为，所以，故不符合题意；
C、因为，所以，故不符合题意；
D、因为，所以，故符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，难度较小，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
15．D
【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：当
∴比例函数的图象在一、三象限，
∴，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故A，B选项错误；
当，则，
∴反比例函数在二四象限，一次函数经过一、二、四象限，故C选项错误，D选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，一次函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
16．D
【分析】根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无实数根，以及求根公式和等式的性质逐个验证即可．
【详解】解：①若，则是原方程的解，即方程至少有一个根，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，
故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，
，
又方程的判别式为，
，
方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③若是一元二次方程的根，
则根据求根公式得：或，
或，
，
故③正确；
综上，①②③正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及求根公式，掌握根的判别式并灵活应用是解题关键．
17．
【详解】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可得tan60°﹣cs30°==．
故答案为．
18．
【分析】根据题意，位似中心在轴上，如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，运用待定系数法求出直线的解析式，令，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，

∵，，
∴设所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴位似中心的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查位似与一次函数的综合，掌握位似的定义，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
19． －16 5 7
【分析】（1）先确定T1的坐标，然后根据反比例函数（）即可确定k的值；
（2）观察发现，在反比例函数图像上的点，横纵坐标只积相等，即可确定另一点；
（3）先分别求出T1~T8的横纵坐标积，再从小到大排列，然后让k位于第4个和第5个点的横纵坐标积之间，即可确定k的取值范围和k的整数值的个数．
【详解】解：（1）由图像可知T1（-16,1）
又∵．函数（）的图象经过T1
∴，即k=-16；
（2）由图像可知T1（-16,1）、T2（-14,2）、T3（-12,3）、T4（-10,4）、T5（-8,5）、T6（-6,6）、T7（-4,7）、T8（-2,8）
∵过点
∴k=-10×4=40
观察T1~T8,发现T5符合题意，即m=5；
（3）∵T1~T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16
∴要使这8个点为于的两侧，k必须满足-36＜k＜-28
∴k可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35共7个整数值．
故答案为：（1）-16；（2）5；（3）7．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像上的点的横纵坐标积等于k是解答本题的关键．
20．(1)，
(2)，
(3)
(4)，
【分析】本题考查了直接开平方、公式法、因式分解法解一元二次方程．正确的选取合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）因式分解法解一元二次方程即可；
（3）公式法解一元二次方程即可；
（4）因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，，；
（2）解：，
，
，
或，
解得，，；
（3）解：，
，
∴，
解得，；
（4）解：，
，
，
或，
解得，．
21．(1)见解析
(2)
(3)8
【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；
（2）根据位似图形的定义可得横纵坐标都变为原来的2倍且符号相反，即可求解
（3）直接根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）如图所示：

（2）解：根据“以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，点B的对应点在第一象限”可知，横纵坐标都变为原来的2倍且符号相反，
∴；
（3）解：的面积：．
【点睛】本题考查作位似图形以及位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
22．(1)150名
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意计算即可得到总人数；
（2）先计算“立定跳远”的学生人数，进而求得其百分比，在两个统计图中补充两个数据即可；
（3）用树状图列出所有情况，再由概率计算公式即可得解.
【详解】（1）解：根据题意得：（名）．
答：在这项调查中，共调查了150名学生．
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是；（名），
所占百分比是：，
补充两个统计图如下：

（3）用，，分别表示三个男生，用，分别表示两个女生，画树状图如下：

由图知共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
故：刚好抽到同性别学生的概率是．
【点睛】本题考查统计图的综合运用以及用树状图求概率，考查运算求解能力，属于基础题.
23．（1）；（2）8m
【分析】（1）根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．
（2）延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，根据勾股定理求出ED的长，再由同一时刻物高与影长关系得出EF的长，进而求得BF的长，仍由同一时刻物高与影长关系即可得出AB的长．
【详解】解：（1）由题意可知：AB=1.54-0.04=1.5(m)；BC=0.5m；CD=4m
∵ΔABC∽ΔEDC
∴即
∴m
答：DE的长为12m．
（2）延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E
∵CD=m，∠DCE=45°
∴DE=CE=2m
∵同一时刻物高与影长成正比
∴
∴EF=2DE=4m
∴BF=EF+CE+BC=16（m）
∴AB=FB=8（m）
答：旗杆的高度约为8m．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，解方程即可得出结论；
（2）联立一次函数与反比例函数可得解方程组，解之即可求得点的坐标；
（3）由题意可得，，设，可知，当点在点上方时为钝角，显然不符合题意，则点在点下方，可知，根据图形可知，需要分两种情况，①当时，，②当时，，分别求解可得出结论．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于点，
∴，解得：，
∴，；
（2）由（1）知一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
解方程组，解得：，，
∴点的坐标为；
（3）∵∵一次函数与轴，轴交于，两点，
∴当时，，当时，，即：，，
∴，，
设，
∵，当点在点上方时为钝角，显然不符合题意，
则点在点下方，可知，
①当时，，
∵点的坐标为，
∴，，
∴点的坐标为；

②当时，，
∴，
∵，，，，
∴，解得，
∴点的坐标为；

综上，点的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)
(2)2元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用三月份的销售量一月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每台降价元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润二每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
【详解】（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：(不符合题意，舍去)．
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得(不符合题意，舍去)，
答：该这种台灯应降价2元．
26．（1）证明见解析；（2）；（3）2或8；（4）能，
【分析】（1）由，可得，证明即可；
（2）由矩形的性质可知，，，由折叠的性质可知，，，由勾股定理得，，则，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可；
（3）由矩形的性质可知，，由题意知，，，证明，
∴，即，整理得，，计算求出满足要求的解即可；
（4）由菱形，，可得，，，如图，在上截取，使，连接，则为等边三角形，则，，证明，则，即，解得，，由，可求，则，
如图，作的延长线于，，，，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴；
（2）解：由矩形的性质可知，，，
由折叠的性质可知，，，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，解得，，
故答案为：；
（3）解：由矩形的性质可知，，
由题意知，，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，整理得，，
解得，或，
故答案为：2或8；
（4）解：能，；
∵菱形，，
∴，，，
如图，在上截取，使，连接，则为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，，
∵，
∴，解得，，
∴，
如图，作的延长线于，
∴，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴能，．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，含的直角三角形等知识．熟练掌握一线三等角证明三角形相似是解题的关键．