数学人教版21.1 一元二次方程巩固练习

第21章一元二次方程B卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若x1、x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是(      )

A．1 B．5 C．-5 D．6

2．在下列方程中，一元二次方程是（    ）

A． B．

C． D．

3．一元二次方程4x2﹣1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）

A．4，﹣1，5 B．4，﹣5，﹣1 C．4，5，﹣1 D．4，﹣1，﹣5

4．如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，那么代数式8﹣a2+3a的值为：

A．1 B．2 C．3 D．4

5．一元二次方程x（x-2）=0的解是（    ）

A．x1=1，x2=2 B．x=0 C．x=2 D．x1=0，x2=2

6．用配方法解方程x2-4x+3=0时，配方后的结果为（ ）

A．（x-1）（x-3）=0 B．（x-4）2 =13

C．（x-2）2 =1 D．（x-2）2 =7

7．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）

A． B． C． D．

8．某地年投入教育经费万元，预计年投入元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为，则下列方程正确的是（   ）

A．

B．

C．

D．

9．如图，平行四边形AOBC中，∠AOB＝60°，AO＝8，AC＝15，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，与BC交于点D，则的值为（　　）

A． B． C． D．

10．已知二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴有（    ）个交点．

A．1个 B．2个 C．无交点 D．无法确定

二、填空题

11．一元二次方程的解为        ．

12．若是关于的方程的一个解，则的值是          ．

13．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝    ．

14．已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a=             .

15．若m，n是方程的两个实数根，则的值为     ．

16．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程一个实数根，则.该三角形的周长是          ．

17．若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m-3=0有一个根为0，则m=      ，另一根为        ．

三、解答题

18．已知α，β为方程x2+4x+2=0的两实根，求α3+14β+50的值？

19．解方程：                                       

（1）-16=0；    

（2）=18．

20．解方程：3x（x﹣1）＝x﹣1．

21．解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．

22．将一段铁丝围成面积为150cm2的矩形，且它的长比宽多5cm，求矩形的长．

23．已知实数x，y满足x2﹣10x++25=0，则(x+y)2015的值是多少？

24．求证：对于任意实数k，关于x的方程没有实数根．

25．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．

（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE＝OG；

（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE＝OG，

①求证：∠ODG＝∠OCE；

②当AB＝1时，求HC的长．

参考答案：

1．B

【分析】依据一元二次方程根与系数的关系表示出两根和即可．

【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2−5x＋6＝0的两个根，

∴x1＋x2＝5，

故选B．

【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

2．C

【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件即可．

【详解】解：A选项：若，则不是一元二次方程.

B选项：化简后，得，不成立.

C选项：整理得，是一元二次方程.

D选项：，不是一元二次方程.

故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

3．B

【分析】将方程整理为一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．

【详解】∵一元二次方程4x2﹣1=5x，

∴整理为：4x2﹣5x﹣1=0，

∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：4，﹣5，﹣1．

故选B．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．

4．C

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-3a=5，再把8-a2+3a变形为8-（a2-3a），然后利用整体代入的方法计算即可．

【详解】把x=a代入x2−3x−5=0得a2−3a−5=0，

所以a2−3a=5，

所以8−a2+3a=8−(a2−3a)=8−5=3.

故答案为3.

【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义和代数式求值.需要求代数式的值时，有时不需要求单个字母的值，如果求得代数式的值（如本题中易得a2-3a=5），可整体代入.解决本题的关键是能利用加括号法则对代数式进行变形.

5．D

【分析】利用因式分解的方法求一元二次方程的解,先用因式分解将方程变为一元一次方程, 在进行求解;因为任何数与0相乘都得0,所以两式相乘等于0, 可得x=0或x-2=0, 然后再解这两个方程即可得到一元二次方程的解.

【详解】解:x(x-2)=0,

..x=0或x-2=0,

原方程的解为: x1=0，x2=2.

故选D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法, 需结合因式分解的方法进行求解.

6．C

【分析】利用配方法的步骤解答即可.

【详解】解： ，

移项，得：，

则，

∴，

故选C．

【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．

7．D

【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，

∴，，

∴=．

故选D．

8．B

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据2010年投入2100万元，预计2012年投入3500万元即可得出方程．

【详解】设教育经费的年平均增长率为x，

则2011的教育经费为：2100×(1+x)

2012的教育经费为：

那么可得方程：

故选B.

【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.

9．C

【分析】作于，于，解直角三角形易求得点的坐标，即可求得反比例函数的解析式，设点的纵坐标为，即可求得，从而求得点的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得的值，最后根据三角形相似即可求得结果．

【详解】解：作于，于，

，，

，，

，，

反比例函数图象经过点，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

设点的纵坐标为，

，

，

，

，，

点在反比例函数图象上，

，

解得，（舍去），

，

，，

，

，

故选．

【点睛】本题反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解直角三角形以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

10．B

【分析】根据一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的判别式的符号进行判定二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴交点的个数．

【详解】二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴交点的纵坐标是零，即当y=0时，x2-mx+m-2=0，

∵∆=（-m）2-4（m-2）=（m-2）2+4＞0，

∴一元二次方程x2-mx+m-2=0有两个不相等是实数根，即二次函数y=x2-mx+m-2的图象与x轴有2个交点．

故选B．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．∆=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．∆=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；∆=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；∆=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

11． ，

【分析】用公式法可求解，一元二次方程的求根公式为x=．

【详解】解：∵a= ，b=-1，c=-3，

∴△=b2-4ac=(-1)2-4× ×(-3)=7>0，

∴，

故答案为：，．

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．

12．

【分析】将代入方程中，解关于字母的一元一次方程即可解题．

【详解】将代入方程中得，

，

解得：，

故答案为：3．

【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元一次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

13．2018

【分析】把x=-1代入方程，整理即可求出a+b的值．

【详解】解：把x=-1代入方程有：

a+b-2018=0，

即a+b=2018．

故答案是：2018．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值．

14．-1

【分析】根据一元二次方程的定义即可得．

【详解】由一元二次方程的定义得：

解得

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键．

15．0

【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，

∴，，

则原式==1﹣1=0，

故答案为0．

16．20或

【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，即可确定出该三角形周长．

【详解】解：方程，

分解因式得：，

解得：x=6或x=10，

当时，三角形的周长为：；

当时，三角形的周长为：；

故答案为20或24.

【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

17．     1    

【分析】先把代入方程求出的值，再把的值代入方程求解即可．

【详解】把代入方程得：，

解得：或-3

∵，

∴

当时，原方程为：，

解得：，，

方程的另一根为．

故m的值是1，方程的另一根是．

故答案为：1，．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根和因式分解法解一元二次方程，注意．

18．2

【分析】由于为方程的两个实根，根据根与系数的关系和方程的解的意义知， 代入中，即可求解．

【详解】解：为方程的两个实根，

 ，即 ，

∴，

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟知根与系数关系是解答的关键．

19．（1）；（2）

【分析】（1）先移项，然后利用平方根的求法直接开平方解方程即可；

（2）等式两边先同乘，然后利用立方根的求法直接开立方解方程即可．

【详解】（1）解：方程整理得：，

开方得：；

（2）解：方程整理得：，

开立方得：，

解得：．

【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的求法，熟练掌握相关运算方法是解决本题的关键．

20．x1＝1，x2＝ ．

【分析】根据提取公因式法解一元二次方程即可.

【详解】解：3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，

（x﹣1）（3x﹣1）＝0，

x﹣1＝0或3x﹣1＝0，

所以x1＝1，x2＝．

【点睛】此题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.

21．当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b≤1时，原方程无实数解．

【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．

【详解】解：移项得：by2﹣y2＝2+1，

合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，

当b＝1时，原方程无解；

当b＞1时，原方程的解为y＝±；

当b＜1时，原方程无实数解．

【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．

22．矩形的长为15cm ．

【分析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（x-5）cm，根据矩形的面积公式可得x（x-5）=150，再解方程即可．

【详解】设矩形的长为 xcm  ， 则

解得： （不合题意，舍去），

答：矩形的长为15cm ．

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是正确理解题解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

23．1．

【分析】先将原式变形为（x﹣5）2+ =0，依据非负数的性质可求得x、y的值，将x、y的值代入计算即可．

【详解】解：∵x2﹣10x++25=0，

∴（x﹣5）2+=0．

∴x﹣5=0，y+4=0．

解得：x=5，y=﹣4．

∴x+y=1．

∴（x+y）2015=12015=1．

24．详见解析

【分析】根据根的判别式的正负性即可求证．

【详解】解：∵

＜0

∴对于任意实数k，关于x的方程没有实数根．

【点睛】本题考查根的判别式与根的关系，解题的关键是熟练掌握根的判别式与根的关系．

25．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②HC=．

【分析】（1）要证明OE=OG，只要证明△DOG≌△COE（ASA）即可；

（2）①要证明∠ODG=∠OCE，只要证明△ODG≌△OCE即可；

②设CH=x，由△CHE∽△DCH，可得=，即HC2=EH•CD，由此构建方程即可解决问题；

【详解】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OD=OC，

∴∠DOG=∠COE=90°，

∴∠OEC+∠OCE=90°，

∵DF⊥CE，

∴∠OEC+∠ODG=90°，

∴∠ODG=∠OCE，

∴△DOG≌△COE（ASA），

∴OE=OG．

（2）①证明：如图2中，

∵AC，BD为对角线，

∴OD=OC，

∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°，

∴△ODG≌△OCE，

∴∠ODG=∠OCE．

②解：设CH=x，

∵四边形ABCD是正方形，AB=1，

∴BH=1-x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°，

∵EH⊥BC，

∴∠BEH=∠EBH=45°，

∴EH=BH=1-x，

∵∠ODG=∠OCE，

∴∠BDC-∠ODG=∠ACB-∠OCE，

∴∠HDC=∠ECH，

∵EH⊥BC，

∴∠EHC=∠HCD=90°，

∴△CHE∽△DCH，

∴=，

∴HC2=EH•CD，

∴x2=（1-x）•1，

解得x=或（舍弃），

∴HC=．

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．