2024届人教A版高考数学一轮复习第2章函数思维深化微课堂活用函数性质中的三个“二级结论”课件

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已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
类型二　抽象函数的周期性例2　已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 023)＋f(2 024)＝(　　)A．3B．2C．1D．0[思维架桥]　由f(x＋3)＝－f(x)，得f(x＋6)＝f(x)，即f(x)的周期为6.再通过f(x)为奇函数可得f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋f(2 024)＝－f(1)＋f(2)，得到答案．
C　解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 023)＝－f(2 023)．因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝3.故f(－2 023)＋f(2 024)＝－f(2 023)＋3＝1.
类型三　抽象函数的对称性例3　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则
A．－21　　　B．－22C．－23D．－24
[思维架桥]　由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，推出g(2－x)＝g(x＋2)；在g(x)－f(x－4)＝7中用x＋2代换x，与f(x)＋g(2－x)＝5结合推出f(x)＋f(x－2)＝－2；在g(x)－f(x－4)＝7中用x＋4代换x，与f(x)＋g(2－x)＝5结合推出g(2－x)＋g(x＋4)＝12，进而推出函数y＝g(x)图象的对称性；依据以上信息可求值．
D　解析：因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2)，因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7，即g(x＋2)＝7＋f(x－2)，因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(x)＋g(x＋2)＝5，代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2，所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10，f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10.
因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(0)＋g(2)＝5，即f(0)＝1，所以f(2)＝－2－f(0)＝－3.因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋4)－f(x)＝7，又因为f(x)＋g(2－x)＝5，联立得，g(2－x)＋g(x＋4)＝12，所以y＝g(x)的图象关于点(3，6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g(3)＝6.
因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1.所以 ＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24.故选D.