人教部编办版九年级数学上册第二十四章第21课弧、弦、圆心角、圆周角含解析答案 试卷

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第二十四章第21课���弧、弦、圆心角、圆周角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列命题中，正确的是（    ）
A．和半径垂直的直线是圆的切线 B．平分直径一定垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧
2．如图，AB是⊙的直径，点D是弧AC的中点，过点D作于点E，延长DE交⊙于点F，若，⊙的直径为10，则AC长为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
4．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（    ）
A． B． C． D．
5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）

A．70° B．60° C．40° D．35°
6．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（    ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（    ）

A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
8．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（   ）

A． B．
C． D．
11．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（    ）

A．98° B．103° C．108° D．113°
12．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
13．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（    ）

A．7.5 B．15
C．16 D．18
14．如图，是的直径，且，点，在上，，，点是线段的中点，则（    ）

A．1 B． C．3 D．
15．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）
  
A．30° B．25° C．20° D．10°
16．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（   ）

A．25 B．25 C． D．
17．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（   ）

A．， B．，
C．， D．，
18．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（    ）.

A． B． C．4 D．3
19．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（   ）

A．∠ABC =70° B．∠BAD =80° C．CE =CD D．CE =AE
20．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①的长度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
21．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 ．

22．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC 2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）

23．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，且BC=2AD，则AD+BC的值为 ．

24．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为 °．

25．如图，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若，则长的最小值为 ．

26．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为 度．


三、解答题
27．如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．

(1)求证：；
(2)若，求弦的长．
28．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．

(1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
(2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD．
29．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD

30．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．

31．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．

32．如图，上依次有，，，四个点，弧弧，连接，，，延长到点，使，连接，是的中点，连接，求证：．

33．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．

34．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．


参考答案：
1．D
【分析】根据圆与直线间的关系，利用其性质定理及定义即可求解．
【详解】A项还可能与圆相交，故错误不选；
B项过圆心的直线都平分直径，但不一定垂直于弦，故错误不选；
C项如果半径不等，则对应的弧也不相等，故错误不选；
D项说法正确．
故答案选D．
【点睛】本题考查圆与直线间的关系，需牢记相应的性质定理及判定条件并灵活运用．
2．D
【分析】根据垂径定理求出，，求出，求出，求出的长，再求出长，即可求出答案．
【详解】解：连接，如图：

，过圆心，
，，
为弧的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．
3．D
【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．
【详解】解：连接OA，

∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OCr＝6（cm），OC⊥AB，
∴AC＝CB3（cm），
∴AB＝2AC＝6（cm），
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
4．D
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=90°，求得△AOB是等腰直角三角形，过点O做OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴,
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故选：D．

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意在“同圆或等圆”中才适用，这是此类问题的易错点．
5．D
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接OB，如图所示，

∵点B是的中点，∠AOC=140°，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了三角形的内切圆、圆周角定理、垂径定理以及弧与圆心角的关系的知识点，注意熟记定理是解此题的关键．
①根据确定圆的条件进行解答即可；
②利用直径所在的直线为圆的对称轴进行判断即可；
③根据垂径定理即可得出结论；
④根据三角形外心的性质可得出结论；
⑤根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误；
②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误；
③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；
⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误．
∴正确命题的个数为0个．
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆的对称性、垂径定理及三角形的外心的性质，难度不大．
7．B
【分析】回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，即可得出选项．
【详解】∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故选:B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
8．B
【分析】连接OA，OB，先根据圆心角定理可得∠AOC=∠BOC，再根据等腰三角形的三线合一可得OC⊥AB，AD=BD=AB=4，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理求得OD，即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，OB，

∵C是的中点，
∴=，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB=5，AB=8，
∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三线合一），
在Rt△AOD中
由勾股定理得：OD=，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握圆心角定理是解题关键．
9．D
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【详解】解：如图连接OB、OD；

∵AB=CD，
∴=，故①正确；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．
10．C
【分析】连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．
【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则，

四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．
11．C
【分析】先求出∠COB的度数，由圆周角定理求出∠BAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出∠ABD=45°，即可得到答案．
【详解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键．
12．D
【分析】在同圆中，根据圆心角、弧和弦之间的关系即可判断．
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
【点睛】本题考查圆的对称性，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键．
13．B
【分析】连接OF，首先证明AC=DF=12，设OA=OF=x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OF．

∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
∴AB=2x=15，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
14．B
【分析】先根据圆心角的性质可得，继而求出，根据等腰三角形的性质可得，根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆心角性质和含30°角的直角三角形性质以及勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握圆心角性质和含30°角的直角三角形性质以及勾股定理.
15．C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
  
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
16．D
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：连OC，如图，

∵C是的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC=．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
17．B
【分析】连接，，先求解， 可得，，再求解 可得， ，从而可得答案.
【详解】解：连接，，

直径，，，
，
，
，
，
，
直径，，，
，
，
，
，
所以B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．
18．D
【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=BF=3．
【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，

∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质，掌握以上知识是解题的关键．
19．C
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及等腰三角形的性质判断即可．
【详解】A.∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质得出∠CAB＝40°．
20．C
【分析】根据和点是点关于的对称点，求出，求出，即可判断①②；根据圆周角定理求出当和重合时即可判断③；求出点的位置，根据圆周角定理得出此时是直径，即可求出长，即可判断④．
【详解】解：，点是点关于的对称点，
，
，
的长度是，
①正确；
，
②正确；
的度数是，
的度数是，
只有当和重合时，，
，
只有和重合时，，
③错误；

作关于的对称点，连接，交于，连接交于，此时的值最短，等于长，
连接，
，并且弧的度数都是，
，，
，
是的直径，
即，
的最小值是10，
④正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，轴对称最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出的位置是解此题的关键．
21．
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴∠2=∠1=45°，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
22．
【分析】连接AB、BC，根据题意得AB=BC=CD，再根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：如图，连接AB、BC，

∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦，的关系，三角形的三边关系，熟练掌握同圆内，等弧所对的弦相等是解题的关键．
23．12
【分析】作直径BF，连接DF，FC．证明AD=FC，设FC=2k，BC=3k，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，作直径BF，连接DF，FC．

∵BF是直径，
∴∠BDF=∠BCF=90°，
∴BD⊥DF，
∵AC⊥BD，
∴DF∥AC
∴∠CDF=∠ACD，
∴，
∴AD=FC，
∵BC=2AD，
∴BC=2FC，
∴可以假设FC=k，BC=2k，
∴k2+（2k）2=（4）2，
∴k=4或-4（舍弃），
∴BC=8，FC=4，
∴AD=FC=4，
∴AD+BC=4+8=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦的关系，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．69
【分析】连接CD，由圆内接四边形的性质得∠BDC+∠BAC=180°，可得∠BDC =180°-42°=138°，再由垂径定理得出，则BD=CD，然后根据等腰三角形的性质即可求出∠BDE的度数．
【详解】解：如图，连接CD，

∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴，
∴BD=CD，
∴∠BDE=∠BDC=，
故答案为：69．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质及垂径定理等知识，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
25．
【分析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，长最小，此时的最小值为CD'的长度．
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，

由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=，
故答案为．
【点睛】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质及圆心角与圆弧的关系是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
26．128
【分析】连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
【详解】解：连接AD．

∵，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠CDE=2×64°=128°，
故选：128．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．(1)见解析
(2)弦BD的长为16cm

【分析】（1）根据垂径定理可得，进而可得∠ABD＝∠C，根据半径相等可得∠C＝∠CBO，等量代换即可得证；
（2）在Rt△OBE中，勾股定理求得，根据垂径定理可得BE＝DE，即可求解．
【详解】（1）∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
（2）∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中，，
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，掌握垂径定理是解题的关键．
28．(1)∠E＝35°
(2)见解析

【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案；
（2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可.
【详解】（1）连接AC，

∵为120°，为50°，
∴，，
∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°；
（2）证明：连接AC、BD，

∵，
∴∠A＝∠D，
在△ACE和△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（ASA），
∴BE＝CE，
∵AE＝DE，
∴AE-BE＝DE-CE，
即AB＝CD．
【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．
29．见解析
【分析】根据角之间的关系，得到，再根据弦与圆心角的关系，即可求解．
【详解】证：∵
∴
∴
【点睛】此题考查了弦、弧以及圆心角的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦相等，解题的关键是掌握它们之间的关系．
30．（1）65°；（2）．
【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．
【详解】解：（1）如图，连接AD．

∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE= (180°−50°) =65°；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．

∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵•AF•BC=•AC•AB，
∴AF=，
∴CF=．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
31．见解析
【分析】根据可得，，，根据半径相等，由等边对等角可得，等量代换可得，根据圆心角与弧长的关系可得，即可证明D为的中点．
【详解】，
，.
，
，
.
.
∴D为的中点．

【点睛】本题考查了平行线的性质，等边对等角，弧与圆心角的关系，掌握圆的相关知识是解题的关键．
32．证明见解析
【分析】连接AC，利用三角形中位线定理得出BF= AC，再利用得出，推出DB=AC，进而得出BF=BD．
【详解】证明：连接AC，

∵AB=BE，
∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，
∴BF为△EAC的中位线，
∴BF=，
∵，
∴ ，
∴BD=AC，
∴BF=．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题．
33．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；
（2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明，然后再证明，根据相似三角形的性质即可得出答案．
【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：

∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，

∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
34．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接，由为的中点，得，则，由等腰三角形的性质得，推出，即可得出结论；
（2）由垂径定理得，由平行线的性质得，则是等腰直角三角形，，易证是等腰直角三角形，得，再由，即可得出结果．
【详解】（1）证明：为的中点，
，
∴，
，
∴，
∴，
；
（2）解：为中点，
，
由（1）得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．