初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆精品课堂检测

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.1 圆精品课堂检测，共42页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二十四章第26课�圆章末复习试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．图，菱形的三个顶点、、在上，则（    ）．

A．100° B．150° C．120° D．60°
2．如图，以C为圆心的圆过的中点 D，则（ ）．

A．2 B．3 C． D．
3．如图，已知、是的弦，，点C在弦上，连接CO并延长CO交于于点D，，则的度数是（    ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（   ）

A．1 B．2 C．2.5 D．5
5．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D ，且AB=6，OD=4，则DC的长为（   ）

A．1 B．2 C．2.5 D．5
6．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上且．AD与CO交于点E，∠DAB＝30°，若，则CE的长为（    ）

A．1 B． C． D．
7．已知：如图，是的两条半径，且，点在上，则的度数为（   ）

A． B． C． D．
8．已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的弧长是（   ）
A． B． C． D．
9．如图，，是的弦，，，则的直径等于（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形EBGF，再将矩形EBGF绕点G顺时针旋转得到矩形IHGJ，则点D在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　）

A． B． C． D．
11．如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．如图，正方形的边长为，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，分别以点A，B，C为圆心，AB的长为半径画弧，与该三角形的边相交，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．96﹣π B．96﹣25π C．48﹣π D．48﹣π
14．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，∠B+∠E=（    ）

A．325° B．145° C．215° D．395°
15．下列命题中的真命题是（　　）
①相等的角是对顶角 ②矩形的对角线互相平分且相等 ③垂直于半径的直线是圆的切线 ④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
16．下列命题中，
①直径是弦；
②平分弦的直径必垂直于弦；
③相等的圆心角所对的弧相等；
④等弧所对的弦相等．
⑤经过半径的一端并垂直于半径的直线是圆的切线．正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）

A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
18．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的⊙O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列判断：（1）AC与BD的交点是⊙O的圆心；（2）AF与DE的交点是⊙O的圆心；（3）AE=DF；（4）BC与⊙O相切，其中正确判断的个数是（    ）


A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题
19．如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为 ．

20．如图，中，，O是的中点，以O为圆心，长为半径画弧，分别交于点D，E，连接，测量的度数是 ．

21．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E、F分别为AB、CD的中点，若AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则线段EF长的最大值为 ．
22．如图，已知半圆直径，点C、D三等分半圆弧，那么的面积为 ．

23．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，，则∠B等于 ．

24．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．

25．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）

26．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．

27．在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，过点D作DE切圆O于点F，交BC于点E，正方形的边长为2，求阴影面积 ．

28．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）


三、解答题
29．如图，在平行四边形ABCD中，AD是⊙的弦，BC是⊙的切线，切点为点B．

(1)求证：；
(2)若，，求⊙的半径．
30．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，若，求的度数；

31．如图，线段过圆心交于，两点，交于点，且．

（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
32．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．

（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC//AE，求证：BC=BE．
33．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，

(1)求∠ADB的度数；
(2)若OE＝3，OA＝5，求BC的长．
34．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．

(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
(3)求证：CD＝HF．
35．已知为三角形的内心，连接交三角形的外接圆于点，如图所示，连接和．

(1)求证：．
(2)，，，求AD．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
36．如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．

(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
37．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，AB=8．

(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．
38．如图，直线经过上的点C，并且，，交直线于E、D，连，．

(1)求证：直线是的切线；
(2)试猜想，，三者之间的等量关系，并加以证明；
(3)若，的直径为5，求的长．

参考答案：
1．C
【分析】连结OC，根据圆的半径相等得出OA=OB=OC，根据菱形性质得出OA=AC=CB=OB=OC，可证△OAC和△OBC均为等边三角形，得出∠ACO=∠BCO=60°即可．
【详解】：连结OC，
∵点、、在上，
∴OA=OB=OC，
又∵四边形OACB为菱形，
∴OA=AC=CB=OB=OC，
∴△OAC和△OBC均为等边三角形，
∴∠ACO=∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=120°．
故选：C．

【点睛】本题考查圆的基本性质，菱形性质，等边三角形的判定与性质，掌握圆的基本性质，菱形性质，等边三角形的判定与性质是解题关键．
2．D
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出以及，然后用勾股定理解答即可．
【详解】解：如图示，连接，

在中，点D是的中点，则，
∴
∴依据勾股定理可得：．
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的的一半，勾股定理等的知识，熟悉相关性质是解题的关键．
3．C
【分析】连接OA，根据圆的半径相等证明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案．
【详解】解：连接OA，

∵OA=OB， ∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD， ∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．
4．A
【分析】连接AO，根据垂径定理得到AD长，再用勾股定理求出圆的半径，DC用半径减去OD得到．
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．

【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的内容，并能够结合勾股定理进行计算求解．
5．A
【分析】连接AO，根据垂径定理得到AD长，再用勾股定理求出圆的半径，DC用半径减去OD得到．
【详解】解：如图，连接AO，
∵半径与点D，
∴，
∵，
∴根据勾股定理，，
∴，
∴．
故选A．

【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的内容，并能够结合勾股定理进行计算求解．
6．C
【分析】先由得出再利用∠DAB＝30°通过解直角三角形AOE求出OE的长即可得到CE的长．
【详解】解：∵
∴
又∵∠DAB＝30°
∴
由勾股定理得，
∴
∴(负值舍去)
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系和勾股定理等知识，熟练掌握树敌太多一口价解答本题的关键．
7．A
【分析】判断出∠AOB＝90°，再利用圆周角定理求解．
【详解】解：，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
8．B
【分析】直接根据弧长公式计算即可．
【详解】解：由弧长公式可知，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是nº，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：．
9．C
【分析】连接OB、OC，如图，利用圆周角定理得到∠BOC＝60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB＝2．
【详解】解：连接OB、OC，如图，

∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝2，
∴⊙O的直径等于4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形判定，掌握这些知识点是解题关键．
10．D
【分析】根据题意知，第一次旋转时，点D绕点B旋转90°，旋转半径为BD，到达点F处，第二次旋转时，点F绕点G旋转90°，旋转半径为GF=AB=3，到达点J处，分别代入弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，

第一次旋转时，点D绕点B旋转90°，旋转半径为BD，到达点F处，
BD==6，
此时，点D运动的路径为：3π，
第二次旋转时，点F绕点G旋转90°，旋转半径为GF=AB=3，到达点J处，
点F运动的路径为：，
故点D在两次旋转过程中经过的路径的长为：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，明确点D的运动路径是解题的关键．
11．C
【分析】首先与∠BCE相等的角有对顶角∠DCA．由于AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°；已知AD=DE，证明△OAD≌△OED，因此∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；由AD=DE得出，得出∠ABD=∠DBE，得出∠DAB=∠BCE，因此与∠BCE相等的角有5个：∠DCA、∠OAD、∠ODA、∠ODE、∠OED．
【详解】解：∵在△ADO和△DOE中
，
∴△OAD≌△ODE（SSS），
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠AEB=90°，
∵AD=DE，
∴，
∴∠ABD=∠DBE，
∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，
∴∠DAB=∠BCE，
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，
则与∠ECB相等的角有5个．
图中与∠BCE相等的角除对顶角外还有4个
故选C．
【点睛】此题主要考查圆周角定理，以及等腰三角形的性质，关键是掌握同弧所对的圆周角相等．
12．C
【分析】利用正方形的性质可得弧长度最小时的状态．
【详解】解：当点与或点重合时，圆心角为，此时弧最长，
根据正方形和扇形的对称性可得，当点在中点时，此时弧的长度最短，且，
∵正方形的边长为，以为圆心的扇形与边相切，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长度为．
故选：C．

【点睛】本题考查切线的性质，正方形的性质，锐角三角形函数，弧长的计算．确定点为中点时，弧EF的长度最短是解题的关键．
13．D
【分析】根据勾股定理和等腰三角形的性质求出三角形的高AD，三个扇形的面积是一个半圆，根据面积公式即可解得．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，

∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BD＝CD＝6，
∴AD＝＝8，
∴＝×12×8﹣π×＝48﹣．
故选：D．
【点睛】此题考查了求阴影的面积，解题的关键是把不规则的面积转换成规则图形的面积之差．
14．C
【分析】连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
【详解】解：如图，连接CE，

∵五边形ABCDE是圆内接五边形，
∴四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠CED=∠CAD=35°，
∴∠B+∠AED=180°+35°=215°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
15．D
【分析】根据对顶角、矩形的性质、切线的判定、中点四边形有知识逐一进行判断即可得.
【详解】①相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②矩形的对角线互相平分且相等，故②正确；
③经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，故③错误；
④顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，故④正确，
所以正确的是②④，
故选D．
【点睛】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握切线判定、矩形的性质、中点四边形等相关知识是解决此题的关键.
16．B
【分析】由圆的性质和切线的判定定理问题可解.
【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；
平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③错误；
等弧所对的弦相等．所以④正确；
经过半径的外端并垂直于半径的直线是圆的切线．所以⑤错误．
故选B．
【点睛】本题考查了园的性质和切线的判定，解答关键是根据相关定义、定理解答问题.
17．D
【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定是解题的关键．
18．B
【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG＝DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG＝OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．
【详解】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，
∵G是BC的中点，
∴CG＝BG，
∵CD＝BA，根据勾股定理可得，
∴AG＝DG，
∴GH垂直平分AD，
∴点O在HG上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC与圆O相切；
∵OG＝OD，
∴点O不是HG的中点，
∴圆心O不是AC与BD的交点；
∵∠ADF＝∠DAE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形，
∴AF与DE的交点是圆O的圆心；AE=DF；
∴（1）错误，（2）（3）（4）正确．
故选：B．

【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了矩形的性质和三角形外心．
19．a
【分析】作出解图的辅助线，设PO=x，利用勾股定理得到PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，解方程得到x=a，再用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点E，F在⊙O上，
∴圆心O在EF的垂直平分线PQ上，连接OG、OE，

∵4个正方形的边长均为2a，
∴PQ=8a，EQ=a，PG=3a，
设PO=x，则OQ=8a-x，
∵OG=OE，即OG2=OE2，
∴PG2+PO2=OQ2+QE2，即(3a)2+x2=(8a-x)2+a2，
解得：x=a，即PO=a，
∴OG2=(3a)2+(a)2=a2，
∴OG=a，
故答案为a．
【点睛】本题考查了求圆的半径，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．/80度
【分析】首先根据圆的性质得到OC=OB=OD=OE，然后根据∠A=50°求得∠B+∠C=130°，从而得到∠CEO+∠BDO=130°，即∠AEO+∠ADO=230°，利用∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO求解．
【详解】解：如图，连接OE、OD，

根据题意得：OC=OB=OD=OE，
∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=130°，
∴∠CEO+∠BDO=130°，
∴∠AEO+∠ADO=230°，
∴∠EOD=360°-∠A-∠AEO-∠ADO=360°-50°-230°=80°，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是能够了解三角形的内角和定理和四边形的内角和的知识，难度不大．
21．7
【分析】连接OA、OD、OE、OF，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，OF⊥CD，根据勾股定理分别求出OE、OF，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：连接OA、OD、OE、OF，

∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AEAB＝4，OF⊥CD，DFCD＝3，
由勾股定理得，OE3，OF4，
当E、O、F在同一条直线上时，EF最大，最大值为3+4＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是垂径定理的推论、勾股定理，掌握垂径定理及推论是解题的关键．
22．
【分析】连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，点C、D三等分半圆弧，可知是等边三角形，从而可以证得CD∥AB，所以和的面积相等，利用30°所对的直角三角形的性质和勾股定理，即可求得面积．
【详解】解：连接OC，OD，过点O作OE⊥CD，垂足为点E，如图，

∵点C、D三等分半圆弧，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∵OC=OD，
∴是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠CDO=∠BOD，
∴CD∥AB，
∴，
∵OE⊥CD，
∴∠COE=∠COD=30°，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、30°所对的直角三角形的性质和勾股定理．
23．
【分析】如图，连接OA．利用切线的性质求得，再利用外角的性质即可求解 .
【详解】解：如图，连接OA．则OA⊥AB．
∴，
∵，

∴．
∵OA＝OC，
∴．
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质及三角形外角的性质，等边对等角，作出适当的辅助线是解题的关键．
24．
【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理的推论得出OD⊥AC，AF=CF，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=BC=DF，从而求得BC=DF，利用勾股定理即可求得AC．
【详解】解：如图，连接OD，交AC于F，

∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，
，  
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF=BC，
∴OF=DF，
∵OD=3，
∴OF=1，AB=2OD=6，
∴BC=2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和垂径定理及其推论是解题的关键．
25．
【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=3，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．
【分析】连接．根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短．
【详解】解：连接、．

是的切线，
；
根据勾股定理知，
当时，线段最短；
又，，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题．
27．1.5
【分析】先证明AD，BC是⊙O的切线，则BE＝EF，AD＝DF＝2，设CE＝x，则BE＝EF＝2－x，DE＝DF＋EF＝4－x，在Rt△CDE中，由勾股定理得，求得x的值，进一步得到答案．
【详解】∵四边形ABCD正方形，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，∠C＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD，BC是⊙O的切线，
∵DE切圆O于点F，交BC于点E，
∴BE＝EF，AD＝DF＝2，
设CE＝x，则BE＝EF＝2－x，DE＝DF＋EF＝4－x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
，
∴，
解得x＝1.5，
∴CE＝1.5，
∴阴影面积＝，
故答案为：1.5
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、勾股定理、正方形的性质等知识，熟练掌握切线长定理的应用是解题的关键．
28．②③④
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理得到BE＝AE，根据直角三角形的性质判断①错误；根据垂径定理可以证得OE⊥BD，然后证明，即可证得：BD⊥OE，则依据切线的判定定理可以证得④EM是⊙O的切线；利用EG是直角三角形的斜边上的高线，则∠BEG＝∠ECM，结合∠BCE＝∠ACE即可证得②∠ECA＝∠BEG；根据等角对等边，可以证得EH＝BH，EG＝FG即可求证③EH＝BF．
【详解】解：∵BC为⊙O直径，
∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC，
又∵AC＝BC，
∴AE＝BE，
∵EM⊥AC，
∴EM＜AE，
∴BE＞EM，
故①错误；
连接OE．
∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线，则∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE，
∴，
∴OE⊥BD，
∵BC是直径，
∴BD⊥AC
又∵EM⊥AC，
∴，
∴EM⊥OE，
∴EM是切线．
故④正确；
∵在直角△EBC中，EG⊥BC，∠BEC=90°，
∴，
∴∠ECG＝∠BEG，
又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA
∴∠ECA＝∠BEG．
故②正确；
∵∠EBD＝∠ECD（同弧所对的圆周角相等），∠BEG＝∠ECA（已证），
∴∠EBH＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴EH＝FH＝BH＝BF，即EH＝BF．
故③正确．
故答案为：②③④．

【点睛】本题考查了圆的综合题．其中涉及到了切线的性质、三线合一定理、圆周角定理、垂径定理等知识点；熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
29．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，交于点，由已知条件易证，由垂径定理进而可证明；
（2）设的半径为，则，在中，，由勾股定理可得：即，解方程即可求出圆的半径．
【详解】（1）证明：连接，交于点．

是的切线，切点为，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2）解：，过圆心
，
在中，，
，
设的半径为，则，
连接，

在中，，

即，
，
的半径为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂径定理以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记和圆有关的各种定理．
30．40°
【分析】先求出∠B，再根据半径相等得到CB=CD，利用等腰三角形的性质求出∠BCD即可解决问题．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=180°-65°-65°=50°，
∴∠DCE=90°-50°=40°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
31．（1）75°；（2）．
【分析】（1）连接OB，则由圆半径相等和已知可以求得∠E的度数，再根据三角形外角性质可以求得∠DOE的度数；
（2）由（1）及∠DOE=90°可得∠A=30°，再由直角三角形的性质和已知条件可以求得AB的长．
【详解】（1）连接．

∵，∴，
∵，∴，
∴．
（2）∵，∴（由（1）证明可知）
∴，
设，∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，灵活应用圆半径相等的性质、三角形外角性质、等腰三角形和直角三角形的性质求解是解题关键．
32．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据垂径定理，可得，从而得到 ，即可求证；
（2）根据，可得到，再由，即可求证．
【详解】（1）证明：，是直径，
．
，
平分；
（2）解：如图，

∵ ，
∴．
又∵，
  
．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
33．(1)
(2)8

【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，再求出答案即可；
（2）利用勾股定理求出BE即可．
【详解】（1）解：连接OB，

∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA过圆心O，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA＝5，OE＝3，
∴BE＝＝＝4，
∴BC＝2BE＝8．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，能熟记垂径定理是解此题的关键．
34．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析

【分析】（1）连接OE，根据∠BEF＝90°，证明BF是圆O的直径，说明OB＝OE，得出∠OBE＝∠OEB，根据BE平分∠ABC，得出∠CBE＝∠OBE，根据内错角相等，两直线平行，证明，得出∠AEO＝∠C＝90°，即可证明结论正确；
（2）先证明∠BEC＝∠BEH，再根据等角的余角相等证明∠FEH＝∠FEA，即可证明结论正确；
（3）连接DE，根据角平分线的性质，得出EC＝EH，根据“AAS”证明△CDE≌△HFE，即可证明结论．
【详解】（1）证明：连接OE，如图所示：

∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴∠BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）证明：连接DE，如图所示：

∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角和补角的性质，作出相应的辅助线，证明△CDE≌△HFE，是解题的关键．
35．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）连接，根据I为三角形ABC的内心，可得，，进而可得，进而证明，可得，即可得证；
（2）过点作于，过点作于点，解，勾股定理求得，进而求得，过点，作的垂线，垂足分别为，根据等面积法求得，进而求得，根据即可求解；
（3）设为三角形ABC的外接圆的圆心，连接，由（2）的条件求得圆的半径为，根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵为三角形的内心，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于，过点作于点，

，，，则，
，，则，
，
，
，
，，
，
，
过点，作的垂线，垂足分别为，如图，

I为三角形ABC的内心，
，
设，
，
即，
解得，
中，，
，
，
（3）如图，设为三角形ABC的外接圆的圆心，连接，

，
，
，
，且，
，
是等边三角形，
，
圆的半径为，



．
【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，垂径定理，勾股定理，求扇形面积，掌握三角形内心的性质是解题的关键．
36．(1)见解析
(2)20

【分析】（1）连接OD，BC，要证明DE是⊙O的切线只要证明OD⊥DE即可，根据已知条件可以证明OD⊥BC；
（2）由（1）可得四边形CFDE为矩形，从而得到CF=DE=6，BC=2CF=12，利用勾股定理即可求得AB的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，BC；

∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BCDE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB==20．
【点睛】本题主要考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
37．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圆周角定理得出∠BEA=∠ACD，再由同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，即可得出结论；
（2）连接OC，根据圆周角定理证明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．
【详解】（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴弧BE=弧FC
∴BE=CF．
（2）解：连接OC，如图所示：

∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝∠AOC，
∵，
∴，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°
∴，
∴AO＝CO＝5，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、余角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理，作出辅助线，证明△AOC是等腰直角三角形是解决问题的关键．
38．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)6.5

【分析】（1）利用等腰三角形底边上的中线也是底边上的高，得到OC⊥AB，证明AB是OO的切线；
（2）根据题意证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质，得到线段BC，BD和BE的数量关系；
（3）根据△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，列出方程求OA的长．
【详解】（1）证明：连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是的半径，
∴AB是的切线；
（2）解：，理由如下：
∵ED是直径，
∴∠ECD=90°．
∴∠E+∠EDC=90°，
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵△BCD∽△BEC，
∴，
设BD=2x，则BC=3x，
∵，
∴，
解得：x=2或0（舍去），
∴BD=2x=4，
∵的直径为5，
∴OD=2.5，
∴OA=OB=BD+OD=6.5．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及到的知识点有：等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、解一元二次方程等，综合性较强．