人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品课时训练

这是一份人教版九年级上册21.1 一元二次方程精品课时训练，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第二十一章一元二次方程第08课一元二次方程章末复习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（    ）
A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5
2．若是方程的一个根，则a的值为（    ）
A．-1 B．0 C．11 D．2
3．已知方程有一个根是（），则下列代数式的值恒为1的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，则x2+3x的值为（　　）
A．-3或1 B．-3 C．1 D．不能确定

二、填空题
5．方程化成一般形式为 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
6．填空：
（1）+ =（x+ ）2；
（2）+ =（x- ）2；
（3）+ =（x+ ）2；
（4）+ =（x- ）2．
7．如果m是方程x2＋2x－3＝0的实根，那么代数式m3－7m的值是 ．
8．若关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
9．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是 ．
10．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个数是78，则n的值是 ．


三、解答题
11．解方程
(1)x2﹣4x＝0；
(2)4x2﹣25＝0；
(3)2x(x﹣3)+x＝3．
12．解方程：
(1)x2﹣4x﹣5＝0；
(2)3x2﹣1＝2x+2
13．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
14．求下列方程两个根的和与积：
（1）；      （2）；
（3）；      （4）．
15．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
16．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
17．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．
18．一个矩形的长和宽相差，面积是．求这个矩形的长和宽．
19．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆，怎样围成一个面积为的矩形场地？

20．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
21．一个长方体的长与宽的比为5∶2，高为，表面积为，画出这个长方体的展开图．
22．一个直角梯形的下底比上底长，高比上底短，面积是．画出这个梯形．
23．一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长．
24．两个相邻偶数的积是168．求这两个偶数．
25．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
26．一个菱形两条对角线长的和是，面积是．求菱形的周长．
27．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？
28．青山村种的水稻2010年平均每公顷产，2012年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．
29．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？

30．要为一幅长，宽的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
31．如图，线段的长为1．

（1）线段上的点C满足关系式，求线段的长度；
（2）线段上的点D满足关系式，求线段的长度；
（3）线段上的点E满足关系式，求线段的长度．上面各小题的结果反映了什么规律？
32．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
(2)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？

参考答案：
1．C
【分析】根据配方法的一般步骤逐项判定即可．
【详解】解：A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
B、将该方程的二次项系数化为1，得x2-2x=，此方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项符合题意；
D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题词的关键．
2．B
【分析】将代入方程中即可求出a的值．
【详解】解：将代入方程中，可得

即
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的系数问题，掌握代入法是解题的关键．
3．D
【分析】由根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设该方程的另外一个解为，
，
，
将代入可得：，
，
故选：.
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数关系，本题属于基础题型．
4．C
【分析】采用换元法，设x2﹣3x＝y，将原方程变成一元二次方程求出y，然后根据一元二次方程的根的判别式舍去不成立的解即可；
【详解】设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+2y-3＝0

解得：y1＝﹣3，y2＝1
当x2﹣3x＝-3，即x2﹣3x+3=0时

方程无解
则x2+3x的值为1
故选C
【点睛】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式，灵活运用换元法和根的判别式是解题关键．
5． 1
【分析】方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．
【详解】解：
方程整理得：即为
∴二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为-4，
故答案为： ①；② 1；③ -5；④-4.
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
6． 25 5 36 6
【分析】根据配方法进行求解（1）（2）（3）（4）即可．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
故答案为25；5；36；6；；；；．
【点睛】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．
7．
【分析】先求出m的值，再代入代数式求解即可．
【详解】 x2＋2x－3＝0


m是方程x2＋2x－3＝0的实根

或
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式的计算问题，掌握解一元二次方程的方法、代入法是解题的关键．
8．k＜9，且
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，得到且，解不等式即可求解
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴， ，
∴k＜9且．
故答案为：k＜9，且
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当一元二次方程无实数根时，，注意本题为一元二次方程，故要注意这一隐含条件，这是易错点．
9．14
【分析】运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；
【详解】解：，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．
10．12
【分析】根据题意可发现第1个图形有1个小圆，第2个图形有3个小圆，第3个图形有6个小圆，第4个图形有10个小圆，可找的规律第n个图形有个小圆，令=78，解得n即为所求
【详解】解：第1个图象有1个小圆，
第2个图象有1+2＝3个小圆，
第3个图象有1+2+3＝6个小圆，
第4个图象有1+2+3+4＝10个小圆，
第n个图象有1+2+3+…+n＝个小圆，
∵第n个图形中“〇”的个数是78，
∴＝78，
解得n＝12，或n＝﹣13（不符合题意，舍去）
故答案为12．
【点睛】本题是一道找规律为背景的解一元二次方程题，解本题的关键是通过找到第n个图形含有的圆的规律性来解题.
11．(1)x1＝0，x2＝4
(2)x1＝﹣2.5，x2＝2.5
(3)x1＝3，x2＝

【分析】（1）根据因式分解法进行求解即可；
（2）根据平方差公式进行求解一元二次方程即可；
（3）将方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，然后可利用因式分解法进行求解．
【详解】（1）解：x2﹣4x＝0
x（x﹣4）＝0；
x＝0或x﹣4＝0；
所以x1＝0，x2＝4；
（2）解：4x2﹣25＝0
（2x+5）（2x﹣5）＝0，
2x+5＝0或2x﹣5＝0，
所以x1＝-2.5，x2＝2.5；
（3）解：2x(x﹣3)+x＝3
将方程整理得2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0；
（x﹣3）（2x+1）＝0；
x﹣3＝0或2x+1＝0；
所以x1＝3，x2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用因式分解法求解方程是解题的关键．
12．(1)x1＝5，x2＝﹣1
(2)

【分析】（1）根据因式分解法求解方程即可；
（2）根据公式法进行求解方程即可．
【详解】（1）解：x2﹣4x﹣5＝0
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）解：3x2﹣2x﹣3＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝﹣3，
Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
13．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，；
(5)，；
(6)，；
(7)，；
(8)，

【分析】（1）利用开平方即可求解，（2）、（5）、（6）、（8）利用因式分解法求解即可，（3）、（4）、（7）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：196x2－1 ＝ 0，
移项，得196x2＝ 1，
直接开平方，得14x＝，
x＝，
∴原方程的解为，；
（2）解：，
原方程化为，
，
∴或，
∴，；
（3）解：，
∵，，，
∴>0，
∴，
，；
（4）解：原方程化为，
∵，，，
∴>0，
∴ ，
∴，；
（5）解：，原方程化为，
因式分解，得，
∴或，
∴，；
（6）解：原方程化为，
∴或，
∴，；
（7）解：原方程化为，
∵，，，
∴>0，
∴，
∴，；
（8）解：原方程化为，
∴或，
∴，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解题的关键．
14．（1），；（2），；（3），；（4），
【分析】（1）直接根据根与系数的关系求解；
（2）直接根据根与系数的关系求解；
（3）先把方程化为一般式为，然后根据根与系数的关系求解；
（4）先把方程化为一般式为，然后根据根与系数的关系求解．
【详解】解：（1）设方程的两根为，，则， ．
（2）设方程的两根为，，则，．
（3）原方程化为，设方程的两根为，，则，．  
（4）原方程化为，设方程的两根为，，则，．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．
15．(1)x1＝0，x2＝−1；
(2)x1＝0，x2＝2；
(3)x1＝x2＝1；
(4)x1＝，x2＝；
(5)x1＝，x2＝；
(6)x1＝1，x2＝3

【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解；
（3）利用因式分解法即可求解；
（4）利用因式分解法即可求解；
（5）利用因式分解法即可求解；
（6）利用因式分解法即可求解；
【详解】（1）解：x（x＋1）＝0，
x＝0或x＋1＝0，
∴x1＝0，x2＝−1；
（2）解：，
，
x＝0或＝0，
∴x1＝0，x2＝2；
（3）解：，
，
，
∴x1＝x2＝1；
（4）解：（2x＋11）（2x−11）＝0，
2x＋11＝0或2x−11＝0，
∴x1＝，x2＝
（5）解：（2x＋1）（3x−2）＝0，
2x＋1＝0或3x−2＝0，
∴x1＝，x2＝；
（6）解：（x−4＋5−2x）（x−4−5＋2x）＝0，
（1−x）（3x−9）＝0，
1−x＝0或3x−9＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键．
16．24
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），
根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2），
整理得：3x2-5x-2=0，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去），
∴x+2=4，
∴这个两位数为24．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．10%．
【分析】设这两年的平均增长率为x，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入”列方程即可．
【详解】解：设这两年的平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意舍去），．
答：这两年的平均增长率为10%．
18．这个矩形的长为4 cm，宽为l cm
【分析】设矩形的宽为cm，则长为（） cm由矩形面积公式得到方程，故可求解．
【详解】解：设矩形的宽为cm，则长为（） cm
由矩形面积公式可知，
整理得，
解得，．
因为矩形的边长不能是负数，所以不符合题意，舍去，
所以．
所以．
答：这个矩形的长为4 cm，宽为1cm ．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的几何应用，解题的关键熟知矩形的面积公式．
19．用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m）
【分析】设与墙垂直的篱笆长为m，则与墙平行的篱笆长为m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．
【详解】解：设与墙垂直的篱笆长为m，则与墙平行的篱笆长为m，
根据题意，得，
整理得，，
解得，
．
答：用20m长的篱笆围成一个长为10 m，宽为5 m的矩形（其中一边长10m，另两边长5 m）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形场地的面积是解题关键．
20．6
【详解】试题分析：本题考查单循环的计算公式，带入公式即可.
试题解析：设应邀请x支球队参加比赛，根据题意得 解得 (舍去)，答：邀请6支球队参加比赛.
21．见解析
【分析】设这个长方体的长为cm，则宽为cm，根据表面积列出一元二次方程，故可求解．
【详解】解：设这个长方体的长为cm，则宽为cm，得，
整理，得，
解得，．
因为长方体的棱长不能为负数，所以不符合题意，舍去，所以，
所以这个长方体的长为（cm），宽为（cm）．
这个长方体的展开图如图所示（单位：cm）．

【点睛】此题主要考查一元二次方程的几何应用与几何体的展开图，解题的关键是根据表面积公式列出方程求解．
22．见解析
【分析】要求出该梯形，需要确定该梯形的四条边中的任意三条边的边长，由于该梯形是直角梯形，所以求出梯形的上、下底边和梯形直角边的长，根据梯形的面积公式即可列方程求解．
【详解】解；设梯形的上底长为cm，则下底长为（）cm．高为（）cm，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
因为梯形的边长不能为负数，所以不符合题意，舍去，
所以，，．
画出这个直角梯形如图所示．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．另外应注意要确定一直角梯形，需求出它的高和上、下底的长．
23．这两条直角边为，．
【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可．
【详解】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得：
x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8．
当x1=6时，14﹣x=8；
当x2=8时，14﹣x=6；
答：两条直角边的长分别为，．
24．－14，－12或12，14．
【分析】设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是x＋2．根据题意得x(x＋2)＝168，进而求解即可．
【详解】解：设两个相邻偶数中较小的一个是x，则另一个是x＋2．根据题意，得：
x(x＋2)＝168，
∴x2＋2x－168＝0，
∴ x1＝－14，x2＝12．
当x＝－14时，x+2＝－12；
当x＝12时，x+2＝14．
答：这两个偶数分别是－14，－12或12，14．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
25．9．
【分析】设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可．
【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去），
答：每个支干长出9小分支．
26．菱形的周长是cm．
【分析】设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为(10－x)cm，由菱形的性质可知：(10－x)＝12，然后根据勾股定理及菱形的性质可求解．
【详解】解：设菱形的一条对角线长为xcm，则另一条对角线长为(10－x)cm，由菱形的性质可知：
(10－x)＝12，整理，得x2－10x＋24＝0，
解得x1＝4，x2＝6．
当x＝4时，10－x＝6；当x＝6时，10－x＝4，
所以这个菱形的两条对角线长分别为6cm和4cm．
由菱形的性质和勾股定理得菱形的边长为＝(cm)，所以菱形的周长为cm．
答：菱形的周长是cm．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握菱形的性质及一元二次方程的应用是解题的关键．
27．共有10个队参加比赛．
【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设共有x个队参加比赛，
根据题意得：2×x（x﹣1）＝90，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．
故共有10个队参加比赛．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
28．水稻每公顷产量的年平均增长率为．
【分析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则根据题意易得7200(1＋x)2＝8450，然后求解即可．
【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则有：
7200(1＋x)2＝8450．
解得x＝或x＝（舍）．
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
29．1.8，1.4
【分析】封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7，设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是9∶7，设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为，根据题意可得，进而求解即可．
【详解】解：封面的长宽之比是，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7，设中央的矩形的长和宽分别是和，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是


．
设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央的矩形的长为，宽为．由题意得：
．
整理，得．
解方程，得．
∴上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
30．镜框边的宽度约是1.5cm．
【分析】设镜框边的宽度应是xcm，根据题意，得：(29＋2x)(22＋2x)－22×29＝×29×22，进而求解即可．
【详解】解：设镜框边的宽度应是xcm，根据题意，得：
(29＋2x)(22＋2x)－22×29＝×29×22，
整理，得8x2＋204x－319＝0，
解得x＝，
所以，，
因x＝<0，不符合题意，舍去，
所以x ＝≈1.5；
答：镜框边的宽度约是1.5cm．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
31．（1）；（2）；（2）．规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点．
【分析】（1）设线段AC的长度为，则，根据列方程进行解答即可得；
（2）设线段的长度为，则线段，根据列方程进行解答即可得；
（3）设线段的长度为，则线段，根据列方程进行解答即可得．
【详解】解：(1)设线段AC的长度为，则，
∵，
∴，
，
，
解得，  （舍），
∴；
(2)设线段的长度为，则线段，
∵，
∴，
，
解得，（舍），
∴  ；
(3) 设线段的长度为，则线段，
∵,
∴，
解得，(舍)，
∴；
规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点．
【点睛】本题考查了实际问题与一元二次方程，解题的关键是根据题中线段之间的关系列方程．
32．(1)450 kg；6750元
(2)80元

【分析】（1）当销售单价定为每千克55元时，相对原售价50元涨价了5元，则销售量减少了50kg，所以销售量为450 kg，月销售利润为(55-40)×450=6750元；
（2）设涨价x元，则销售量减少10xkg，则(50-40+x)(500-10x)=8000，解得x1=10，x2=30，又因为40×(500-10x)≤10000，进行取舍，再求出销售单价即可．
【详解】（1）55-50=5元
500-5×10=450 kg
(55-40)×450=6750元
答：当销售单价定为每千克55元时，销售量为450 kg，月销售利润为6750元．
（2）设涨价x元，则销售量减少10xkg，则
(50-40+x)(500-10x)=8000
解得x1=10，x2=30
又因为40×(500-10x)≤10000
解得x≥25
所以x=30，x+50=80
答：销售单价应为80元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程在销售问题中的应用，正确理解题意，合理设元并列出方程是解题的关键，同时要注意解题题意对答案进行取舍．