选择性必修 第一册4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系作业课件ppt

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1.若两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),则直线l1与l2的夹角为(　　)A.30°B.60°C.120°D.150°
解析 由题意,两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),
2.[2023福建厦门外国语学校高二期末]将正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD⊥平面CBD,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　)
解析 取BD中点为O,连接AO,CO,所以AO⊥BD,CO⊥BD,又因为平面ABD⊥平面CBD且交线为BD,AO⊂平面ABD,所以AO⊥平面CBD,OC⊂平面CBD,则AO⊥CO,设正方形的对角线长度为2,
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°
4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为(　　)A.30°B.45°C.60°D.90°
5.(多选题)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AE=BC=2, AB=AD=1,CF= ,则(　　)A.BD⊥ECB.BF∥平面ADEC.二面角E-BD-F的平面角的余弦值为D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
解析 以点A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为　　　　　. 
解析 如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为　　　　　. 
8.[2023江苏宝应高二期中]如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角A-BE-C的平面角的正弦值.
9.如图,在三棱锥C-OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE= CB,D,F分别为AB,BC的中点,则异面直线DF与OE所成角的余弦值为(　　)
11.(多选题)[2023湖北石首第一中学高二阶段练习]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,则(　　)A.点C1到平面A1B1C的距离为1
解析 如图,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
13.[2023重庆长寿高二期末]《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体PABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,则二面角A-PC-B的平面角的余弦值为　　　　. 
解析 依据题意建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),所以
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=AA1,且C1D与底面A1B1C1D1所成角为60°,则直线C1D与平面CB1D1所成角的正弦值为　　　　　. 
解析 由题意得∠DC1D1即为C1D与底面A1B1C1D1所成的角, ∴∠DC1D1=60°.
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
15.[2023河南信阳高二期末]如图1,在等边三角形ABC中,点D,E分别为边AB,AC上的动点且满足DE∥BC,记 =λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.
(1)当EN∥平面MBD时,求λ的值;(2)试探究:随着λ值的变化,二面角B-MD-E的平面角的大小是否改变?如果改变,请说明理由;如果不改变,请求出二面角B-MD-E的平面角的正弦值大小.
解 (1)取MB的中点为P,连接DP,PN,因为MN=CN,MP=BP,所以NP∥BC.又因为DE∥BC,所以NP∥DE,即N,E,D,P四点共面,又因为EN∥平面BMD,EN⊂平面NEDP,平面NEDP∩平面MBD=DP,所以EN∥PD,即四边形NEDP为平行四边形,
(2)取DE的中点O,连接MO,则MO⊥DE,因为平面MDE⊥平面DECB,平面MDE∩平面DECB=DE,且MO⊥DE,所以MO⊥平面DECB,建立空间直角坐标系,如图,
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD= ,BC=2 ,PA=2.(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.
(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45°?如果存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在,请说明理由.
(1)证明 取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).∵点N为PC的中点,