这是一份新教材2023_2024学年高中数学第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系分层作业课件北师大版选择性必修第一册，共37页。
第三章4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系1234567891011121314151617181.[2023浙江高二期中]已知平面α的法向量为a=(2,3,-1),平面β的法向量为b=(1,0,k),若α⊥β,则k等于( )A.1 B.-1 C.2 D.-2C解析 由题知,a·b=2+0-k=0,解得k=2.故选C. 1234567891011121314151617182.已知平面α的法向量为n=(2,-2,4), =(-1,1,-2),则直线AB与平面α的位置关系为( )A.AB⊥α B.AB⊂α C.AB与α相交但不垂直 D.AB∥αA1234567891011121314151617183.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点,E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有( )A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E= EB D.E与B重合A1234567891011121314151617184.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t等于( )A.3 B.4 C.5 D.6C1234567891011121314151617185.(多选题)[2023江苏宿迁高二期中]下列说法正确的是( )A.若n是平面α的法向量,且向量a是平面α内的直线l的方向向量,则a·n=0B.若n1,n2分别是不重合的两平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1·n2=0C.若n1,n2分别是不重合的两平面α,β的法向量,则α∥β⇔|n1·n2|=|n1||n2|D.若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直ACD解析 对于A选项,由线面垂直的定义,若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直,则直线和平面垂直,所以a⊥n,所以a·n=0,A正确;对于B选项,两平面平行,则它们的法向量平行,所以B错误;对于C选项,两平面平行,则它们的法向量平行,所以
=0或π,所以|n1·n2|=|n1||n2|,C正确;对于D选项,两平面垂直⇔它们的法向量垂直,所以两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直,D正确.故选ACD.123456789101112131415161718123456789101112131415161718平行1234567891011121314151617187.[2023陕西武功普集高级中学高二期末]设u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则实数t的值是 . 4解析 因为u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量,且α⊥β,所以u⊥v,所以-2×6+2×(-4)+t×5=0,解得t=4.1234567891011121314151617188.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB.123456789101112131415161718(1)证明 如图,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则1234567891011121314151617181234567891011121314151617189.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ADEF是梯形,四边形ABCD为矩形, DE⊥平面ABCD,AF∥DE,AF=AD= DE=1,AB= .(1)求证:BF∥平面CDE;(2)点G为线段CD的中点,求证:AG⊥平面DBE.123456789101112131415161718证明 (1)如图,以D为原点,DA,DC,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,12345678910111213141516171812345678910111213141516171810.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是( )A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,3,1),则l1∥l2B.直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),则l⊥αC.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥βD.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),则l∥αC解析 对于A,a与b不平行,选项A错误;对于B,直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1)且a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l⊂α,选项B错误;对于C,两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),且u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,选项C正确;对于D,直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0)且u=- a,所以l⊥α,选项D错误.12345678910111213141516171812345678910111213141516171811.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E是棱BC的中点,则在棱CC1上存在点F,下面情况可能成立的是( )A.AF∥D1E B.AF⊥D1EC.AF∥平面C1D1E D.AF⊥平面C1D1EB12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为( )A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.位置关系不确定B123456789101112131415161718解析 由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA.以D为原点,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),12345678910111213141516171813.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E= A1D,AF= AC,则( )A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面B123456789101112131415161718ACD解析 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171815.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是 . 垂直 123456789101112131415161718解析 以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,12345678910111213141516171816.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 . 212345678910111213141516171817.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC, ∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC= AD.(1)求证:CD⊥平面PAC.(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.解 因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171818.如图,在三棱柱 ABC -A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°, AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是( )A.当Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BDB.当Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BDD123456789101112131415161718解析 以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则由已知得123456789101112131415161718
