新教材2023_2024学年高中数学第一章数列3等比数列3.1等比数列第二课时等比数列的性质及应用课件北师大版选择性必修第二册

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第1章3.1　第2课时　等比数列的性质及应用基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引 基础落实·必备知识全过关知识点　等比数列{an}的常用性质1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则　　　　　　. 特例:若m+n=2p(m,n,p∈N+),则2.an=am·　　　　(m,n∈N+). 3.在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为　　　　. 4.数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an·bn}({bn}也是等比数列), 等也是等比数列.5.a1an=a2an-1=…=aman-m+1. 注意等式成立的前提和角标规律 此时ap是am和an的等比中项 am·an=ap·aq qn-m qn-m 名师点睛等比数列{an}的增减性(1)当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是递增数列.(　　)(2)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.(　　)(3)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列.(　　)(4)若数列{an}为等比数列,且m+n=p(m,n,p∈N+),则am·an=ap.(　　)√ ×××2.在等比数列{an}中,若am·an=ak·al,是否有m+n=k+l成立?提示 不一定成立,如数列{an}的通项公式an=2的常数列,公比为1,此时am·an=ak·al,但m+n=k+l不一定成立.重难探究·能力素养全提升探究点一　等比数列通项公式的推广应用【例1】 (1)已知在等比数列{an}中,若a3=2,a4a6=16,则 =(　　)A.16 B.8 C.4 D.2C(2)已知等比数列{an}中,若a4=2,a7=8,求an. 规律方法　1.应用an=amqn-m,可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式,不必再求a1.2.等比数列的增减性由a1,q共同确定,但只要数列递增或递减,必有q>0.变式训练1已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7等于(　　)A.21 B.42 C.63 D.84B解析 设等比数列{an}的公比为q,则由a1=3,a1+a3+a5=21,得3(1+q2+q4)=21,解得q2=-3(舍去)或q2=2,于是a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,故选B.探究点二　等比数列的性质及其应用【例2】 已知{an}为等比数列.(1)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.(2)根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.规律方法　巧用等比数列的性质解题 变式训练2在正项等比数列{an}中,若a6=3,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=(　　)A.5 B.6 C.10 D.11D 解析 因为a6=3,且{an}为等比数列,所以a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7= =32,所以log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a11=log3(a1a2a3…a11)=log3311=11.故选D.探究点三　由等比数列衍生的新数列【例3】 已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6等于(　　)D 解析 ∵{an}为等比数列,∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9也成等比数列,∴(a4a5a6)2=(a1a2a3)(a7a8a9)=5×10.又数列{an}各项均为正数,∴a4a5a6=5 .规律方法　借助新数列与原数列的关系,整体代换可以减少运算量. 变式训练3在等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为(　　)A.32 B.64 C.128 D.256B解析 由等比数列的性质可知,a12,a18,a24,a30,a36成等比数列,且 =2,故a36=4×24=64.探究点四　等比数列的实际应用【例4】 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值.(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他能得到多少钱?解 (1)n年后车的价值依次设为a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=13.5×(1-10%),a2=13.5×(1-10%)2,….由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,∴n年后车的价值为an=13.5×0.9n万元.(2)由(1)得a4=13.5×0.94=8.857 35(万元),∴用满4年时卖掉这辆车,能得到8.857 35万元.规律方法　1.等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型,即将实际问题转化成等比数列的问题,解数学模型,即解等比数列问题.2.发现和提出问题,建立和求解模型,是数学建模的核心素养的体现.变式训练4《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主贵之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马”,马主曰:“我马食半牛”,今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,苗主人要求赔偿五斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半”,马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半”.则牛主人比羊主人多赔偿粟的斗数是(　　)B解析 由题意,羊、马、牛的主人需赔偿的粟依次成等比数列{an},且公比q=2,因为一共赔偿五斗粟,所以a1+a2+a3=5,即a1+a1q+a1q2=5,即7a1=5,本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列通项公式的推广应用.(2)等比数列的性质及其应用.(3)等比数列的实际应用.2.方法归纳:化归转化、数学建模.3.常见误区:等比数列性质的错用,例如误用为a6=a2·a4.成果验收·课堂达标检测123451.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　)A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列D 解析 根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,k∈N+),则am,ak,an成等比数列.即a3,a6,a9成等比数列.故选D.123452.已知数列{an}是等比数列,满足a2+a4=10,a3+a5=20,则log2a1+log2a2+…+log2a10=(　　)A.55 B.45 C.16 D.32B解析 设等比数列{an}的公比为q,所以a10=1×29=29,因此,log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log2(a1a10)5=log2(29)5=45.故选B.123453.一张报纸的厚度为a,面积为b,现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的厚度和面积分别为(　　)C123454.在等比数列{an}中,a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=　　　　　.  480解析 根据等比数列的性质可知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列,即(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),123455.已知数列{an}为等比数列.(1)若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;(2)若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.12345