北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题当堂达标检测题

2.1　实际问题的函数刻画　2.2　用函数模型解决实际问题

A级 必备知识基础练

1.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是(　　)

A.75,25 B.75,16

C.60,25 D.60,16

2.在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为              (　　)

A.120 B.210

C.225 D.300

3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是(　　)

4.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)

A.6 B.9 C.8 D.7

5.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点,此时球高3 m,已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行,　　　　　踢进球门(填“能”或“不能”). 

6.某市环保部门近年来利用水生植物(例如浮萍、蒲草、芦苇等),对国家级湿地公园——东昌湖进行进一步净化和绿化.为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例,对水生植物的生长进行了科学管控,并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查,测得该水域二月底浮萍覆盖面积为45 m2,四月底浮萍覆盖面积为80 m2,八月底浮萍覆盖面积为115 m2.若浮萍覆盖面积y(单位:m2)与月份x(2020年1月底记x=1,2021年1月底记x=13)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mlog2x+n(m>0)可供选择.

(1)你认为选择哪个模型更符合实际?并解释理由.

(2)利用你选择的函数模型,试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148 m2?

可能用到的数据:log215≈3.9,≈1.37,≈66.72

B级 关键能力提升练

7.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是(　　)

A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元

B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元

C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用

D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km

8.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为(　　)

A.亏5.20元 

B.亏5.92元

C.盈6元 

D.盈5元

9.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是y2=a-ae-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过　　　　 min,桶A中的水只有 L. 

10.如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

图①

图②

图③

由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A,点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是　　　　　　　　　　,图③方案是　　　　　. 

11.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2万元.

(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;

(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?

12.科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.

(1)已知生活中几种声音的强度如下表:

求a和m的值;

(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.

C级 学科素养创新练

13.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.

按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).

(1)求θ关于x的函数关系式;

(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值?

参考答案

§2　实际问题中的函数模型

2.1　实际问题的函数刻画

2.2　用函数模型解决实际问题

1.D　由题意知,组装第A件产品所需时间为=15,故组装第4件产品所需时间为=30,解得c=60.将c=60代入=15,得A=16.

2.C　设矩形的长为x,宽为y,则以x为底的三角形和该锐角三角形相似,可得y=30-x,则矩形面积S=xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,当矩形长x=15时,面积S最大,为225.故选C.

3.D　设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.

4.BC　设经过n次过滤,产品达到市场要求,则n,即n,

由nlg-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n7.4.

5.能　建立如图所示的坐标系,拋物线经过点(0,0),顶点为(6,3).

设其解析式为y=a(x-6)2+3,把x=0,y=0代入,得a=-,∴y=-(x-6)2+3.

当x=10时,y=-(10-6)2+3=<2.44.

∴球能射进球门.

6.解 (1)若选择数据(2,45)和(4,80),

由解得

则y=35log2x+10.

当x=8时,y=35log28+10=115,与实际情况相符.

由解得则y=()x.

当x=8时,y=()8=>115,与实际情况差别较大.

故选函数模型y=35log2x+10.

(2)因为35log215+10≈35×3.9+10=146.5,35log216+10=150,而146.5<148<150,

所以至少经过16个月该水域的浮萍覆盖面积能达到148m2.

7.BCD　在A中,出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A错误;在B中,出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;在C中,乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶xkm时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.

8.B　可设A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.

9.10　因为5min时,桶A和桶B中的水量相等,

所以a·e-5n=a-a·e-5n,

所以e-5n=令a·e-nt=,

则e-nt==e-15n,

故有t=15.

所以再过10min,桶A中的水只有L.

10.降低成本,票价不变　增加票价　由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价.

11.解(1)当0<x≤5时,产品全部售出,

当x>5时,产品只能售出500件.

所以,f(x)=

即f(x)=

(2)当0<x≤5时,f(x)=-x2+4.75x-0.5,

所以当x=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125.

当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).

故当年产量为475件时,当年所得利润最大.

12.解(1)将I0=1×10-12瓦/平方米,I=1×10-11瓦/平方米代入L=a·lg,

得10=alg=alg10=a,

即a=10,m=10lg=10lg100=20.

(2)由题意得L≤50,

得10lg50,

得lg5,即105,

即I≤105×10-12=10-7.

所以此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.

13.解(1)由题意得30=θ(10+x)+2(10-x),

所以θ=(0<x<10).

(2)花坛的面积为(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50(0<x<10).

装饰总费用为9θ(10+x)+8(10-x)=170+10x,

所以花坛的面积与装饰总费用的比y==-

令t=17+x,则y=,当且仅当t=18时,等号成立,此时x=1,θ=

所以当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.